4.3.1 一元线性回归模型（课时1）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.3.1一元线性回归模型(课时1) 1、 学习目标 1. 了解两个变量之间的相关关系的含义,知道线性相关关系及正相关、负相关、散点图等概念 2. 了解一元线性回归模型的概念及最小二乘法原理,掌握回归直线方程的求法 3. 结合直线方程的性质,了解回归直线方程的性质及模型参数的统计意义,会用回归模型对实际问题进行预测 2、 重难点 重点:会判断线性相关关系及正相关、负相关,回归直线方程的性质及模型参数的统计意义 难点:会求回归直线方程,会用回归模型对实际问题进行预测 新知识导入 自行选择标准,将下列变量之间的关系分为两类,并分别阐述每一类中变量关系的特点: (1)圆的面积S与半径r之间的关系; (2)16岁学生的体重w与身高h之间的关系; (3)商品销售量Q与销售价格P之间的关系; (4)匀速运动的物体,其运动的路程S与时间t之间的关系; (5)平均学习时间t与学习成绩f之间的关系. 两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系.这些关系常见的有两类 1.具有确定性:当一个变量确定后,另一个变量就确定了, (1)(4)所描述的就是这一类的代表. 2.有一定关系,但不能互相确定:它们之间的关系带有一定的随机性, (2)(3)(5)所描述的关系都是如此. 三、知识梳理 1.两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系.这些关系常见的有两类,一类是变量之间的关系具有确定性,当一个变量确定后,另一个变量就确定了;另一类是变量之间确实有一定的关系,但没有达到可以互相决定的程度,它们之间的关系带有一定的随机性.这些两个变量之间的关系,统计学上都称为 . 2.一般地,如果收集到了变量 x 和变量 y 的 n 对数据(简称为成对数据),如下表所示. 则在平面直角坐标系 xOy 中描出点 ,就可以得到这 n 对数据的散点图. 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量 x 与变量 y 之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称 x 与 y . 如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量 ;如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量 . 3.一般地,已知变量 x 与 y 的 n 对成对数据 .任意给定一个一次函数 ,对每一个已知的 ,由直线方程可以得到一个估计值 ,如果一次函数 能使残差平方和即 取得最小值,则 称为 y 关于 x 的 (对应的直线称为 ). 因为是使得平方和最小,所以其中涉及的方法称为 . 4.给定两个变量 y 与 x 的一组数据之后,回归直线方程 总是存在的,而且,,其中,称为 . 它实际上也就是回归直线方程的 .回归直线方程确定之后,就可用于预测. 指的是 的 ,即;类似地, 是 的 ,即 5.回归直线方程的性质: (1)将 代入 后,整理可得 ,这说明回归直线一定过点 . (2)一次函数 的单调性当然是由 的符号决定的,函数递增的充要条件是 ,这说明:y 与 x 正相关的充要条件是 ;y 与 x 负相关的充要条件是 . (3)对于,当 x 增大一个单位时, 增大 ,这就是回归系数 的实际意义. 四、例题讲解 例 如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示. 数学x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关: (1)判断正相关还是负相关; (2)求出y关于x的回归直线方程; (3)该同学的数学成绩每提高3分,物理成绩估计能提高多少分? 五、课堂练习 1.对四组数据进行统计,获得如图散点图,其中线性相关性比较强且负相关的是( ) A. B. C. D. 2.某零售行业为了解宣传对销售额的影响,在本市内随机抽取了5个大型零售卖场,得到其宣传费用x(单位:万元)和销售额y(单位:万元)的数据如下: x(万元) 3 4 5 6 7 y(万元) 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程,其中,当宣传费用时,销售额y的估计值为( ) A.89.5 B.90.5 C.92.5 D.94.5 3.根据一组样本数据,,,,求得经验回归方程为,已知,,则( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 4.某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归直线方程,则=_. 5.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表: 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y(万元) 50 60 70 80 100 若y关于t的线性回归方程为,则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是( ) A.84万元 B.96万元 C.108万元 D.120万元 六、课后练习 1.随着“一带一路”经贸合作持续深化,西安某地对外贸易近几年持续繁荣,2023年6月18日,该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查,得到该商品的售价x(单位:元)和销售量y(单位:百件)之间的一组数据: x 20 25 30 35 40 y 5 7 8 9 11 用最小二乘法求得y与x之间的经验回归方程是,当售价为45元时,预测该商品的销售量件数大约为( )(单位:百件) A.11.2 B.11.75 C.12 D.12.2 2.生活经验告诉我们,儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高,得到的数据如表: 父亲身高 166 169 170 172 173 儿子身高 168 170 171 175 176 并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为,根据该经验回归方程,已知某父亲身高为,预测其儿子身高为( ) A. B. C. D. 3.为了研究某产品的年研发费用x(单位:万元)对年利润y(单位:万元)的关系,该公司统计了最近8年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据,根据统计数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知,,.若该公司对该产品预投入的年研发费用为25万元,则预测年利润为( ) A.55万元 B.57万元 C.60万元 D.62万元 4.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为( ) A. B. C. D. 5.某单位为了制定节能减排的目标,先调查了用电量与气温之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制成了对照表: 气温/ 18 13 10 用电量/ 24 34 38 64 由表中数据,得线性回归方程.当气温为时,预测用电量约为_. 6.已知y与x具有相关关系,且y关于x的回归直线方程中,回归系数为1.3,则当x每减少3个单位时,y将怎样变化? 7.某商店在2020年上半年前5个月的销售额如下表所示: 月份 1 2 3 4 5 销售额(千元) 8 13 17 22 25 (1)若从这5个月中随机选取1个月计算销售纯收入,求选取月份的销售额不低于2万元的概率; (2)求销售额(千元)关于月份的回归直线方程,并预测该商店2020年上半年的销售总额. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 8.随着科技的进步,近年来,我国新能源汽车产业迅速发展,2006年,在国家节能减排的宏观政策指导下,科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起,国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展,也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力,在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计,具体数据见下表: 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 求广告费投入y(亿元)与年销售量x(十万辆)之间的线性回归方程(精确到0.01); 参考数据:,. 附:回归直线中,,. 答案及解析 三、知识梳理 1.相关关系 2.线性相关 正相关 负相关 3.回归直线方程 回归直线 最小二乘法 4.回归系数 斜率 平均数 平均数 5. 个单位 四、例题讲解 例题 解:(1)根据数据可作出散点图,如图所示从图上可以直观地看出,y与x正相关. 解:(2)将每个x的值都减去80可得-4,2,-8,7,13,-2,9,-14,1,-4. 这些数字的平均数为0,因此 x = 80. 将每个y的值都减去80可得0,7,-5,6,20,-1,13,-12,5,-3. 这些数字的平均数为3,因此 y = 83. 因此 回归直线方程为 (3) 由回归系数 可知,x 每增大1个单位时, 增大1.1个单位 因此,数学成绩每提高3分,物理成绩估计能提高的分值为1.1 3=3.3 五、课堂练习 1.答案:B 解析:由散点图知,相关系数对应的散点图呈负相关,线性相关性比较强. 故选:B. 2.答案:B 解析:由表中数据可知,,, 所以,解得, 所以当宣传费用时,销售额y的估计值为. 故选:B. 3.答案:C 解析:因为,,所以样本中心点, 因为回归方程过样本中心点,所以,解得. 故选:C. 4.答案:0.08/ 解析:由表格可得, , 由于回归直线过点, 故,解得, 故答案为:0.08. 5.解析:依题意, 又线性回归方程为必过点, 所以,解得,所以, 2025年的年份代号为6,所以当t=6时,, 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选:C. 六、课后练习 1.答案:D 解析:因为, , 所以回归直线过点, 故,解得, 所以, 将代入中, 得, 即当售价为45元时,该商品的销售量件数大约为12.2百件. 故选:D. 2.答案:C 解析:因为,, 所以,解得,所以,当时,, 故选:C. 3.答案:A 解析:,, . y关于x的经验回归方程为. 故当时,. 故选:A. 4.答案:C 解析:由回归直线的斜率的估计值为1.23, 设回归直线方程为,代入, ,解得:, 回归直线方程是. 故选:C. 5.答案:70 解析:由表格中的数据,得,,即样本中心点坐标为.又点在回归直线上,,解得,.当时,,即气温为时,预测用电量约为. 6.答案:y减少3.9个单位 解析:设y关于x的回归直线方程为, 所以x每减少3个单位时,y将减少个单位. 7.答案:(1) (2)回归直线方程为,该商店2020年上半年的销售总额为11.49万元. 解析:(1)因为这5个月中销售额不低于2万元的只有4月和5月, 所以所求概率. (2), 故销售额y(千元)关于月份的回归直线方程为. 当时,(千元). 故该商店2020年上半年的销售总额为千元,即11.49万元.(注:单位写千元或万元都可以) 8.答案: 解析:,, 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. 学科网(北京)股份有限公司 $