四川省泸州市龙马潭区4校2025-2026学年高三上学期入学联合检测数学试题

2025年秋季高三入学联测 数学试题（3+1+2) 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1、答题前，请务必将自己的班级、姓名、考号用黑色字迹签字笔或钢笔填写在答 题卡的规定位置。 2、作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用黑色字迹签 字笔或钢笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 3、本试卷共5页，满分150，考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答 题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上， 1.已知集合A={x∈ZI-3<x<4},B={y∈RI1≤y≤9}，则A∩B=() A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,1,2}C.{1,2}D.{1,2,3} 2.已知复数z满足z1+)=3-i,z=() A.1-2i B.1+2i C.2-2i D.2+2i 3.已知日-峒=反，a与方的夹角为买，则a在6上的投影狗量为 A: B.=2 c.2 2 D.8 4.已知a,B∈(0，，且tana= +sin B 2 B 则2a-B=() cos 2 -sin 2 A日 B.π 4 c D,π 5.在等比数列{an}中，a2,ao是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点，则a6=() A.±5 B.-5 C.5 D.25 6.将甲，乙等5人全部安排到A,B,C,D四个工厂实习，每人只去一个工厂，每 个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去A工厂，则不同的安排方法有( 第1页，共5页 A.72种 B.108种 C.126种 D.144种 7.P是圆(x-a)2+(y-a2)=1上的动点，2是直线y=x-2上的动点，则P2的 最小值为() A.√2-1 B.√2 75-1 8 D.72 8 8.如图，在外接球体积为VBm的正方体ABCD-4B,CD,中，B是线段DD上的动 2 点（不包括端点），过A,B,E三点的平面将正方体截为两个部分，且交CD于 DF 点B,当截得的较小部分的几何体的体积为。时，DC =() 32 E B B A 5 B. c D.分 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知有四个数从小到大排列为12,4，b号这四个数的80%分位数是4，则 a+b可能是 A7.5 C.5.5 D.4 10.已知函数f(x)=sin(or+p)(ωeN',0<p<元的图象关于直线x= 铅对称，最 小正周期T∈ 若将了（问）的图象向左华移去个单长度后，得到函数 12 g(x)的图象，则( A间-2x+) B8=o2+） 第2页，共5贡 cg)在[0上的值域为-D.&(在子引 上单调递增 1.已知双曲线E:×-广=16>0)的南近线与圆C:×+0-2}=1相切，R,B分 别为E的左、右焦点，动点P在E的左支上，则() A.b=3 B.△CFF为等腰直角三角形 C.|CP+|PF的最小值为22+2 D.CP的最小值为√2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 2.若2m+5n则18,4×32） 13.若函数f(x)=ae2x-(2+5a)e*+5x在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围 是 14.已知圆台的上、下底半径分别为r和R(R>r),若圆台外接球的球心在圆台外， 则圆台的高的取值范围是 ;若R=2r=2,圆台的高为h,且1≤h≤√2， 则圆台外接球表面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且 CD=2AD,AC=33,c0sZADC=1 (1)求CD; (2)若sinB= ,求BD. 第3页，共5页 16.(I5分)如图，在正四棱锥S-ABCD中，已知SA=AB=√2，SO⊥平面ABCD, 点O在平面ABCD内，点P在棱SD上. S D B (1)若点P是SD的中点，证明：平面SAD⊥平面PAC; (2)若3P=}SD,求二面角S-AC-P的余弦值. 17.(5分)尼知函数f(-号式+号r+2x+simr(a,beR). (1)当b=0时，若∫(x)存在极大值，且存在极小值，求a的取值范围： (2)证明：当a=2b=2时，x∈Rf'(x)>0. 第4页，共5页 18.(17分)已知椭圆C: 2+1(a≥b之0)的左焦点为F(-0，过点F且不与书 轴重合的动直线与C交于P,2两点，且当PQ1x轴时，|Pg=3.9 (1)求C的方程： (2)若D(-2,0),R(-3,0),直线DP,DQ分别与直线x=-3交于点M,N,证明： MRWR为定值 19.(17分)将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛 n次(n为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，P为抛正四面体一 次与桌面接触的数字为偶数的概率， （1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差： (2)若正四面体有瑕疵，即p≠} 2 ①设pn是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证： Pn=p+(1-2p)Pn-(n≥2)； ②求抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率. 第5页，共5页2025年秋季髙三入学联测参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1、【答案】C 【解析】由题可得：A={-2,-1,01,2,3},B=y∈R1≤y≤35，所以A∩B={1,2}, 故选：C 2.【答茶】B 3.【答案】D 4.【答案】C 【解析】由Be0,),得cos >0,由tana= 2 2 B. 得 B cOS -sin 2 tan B tana = =tan一+ 1-tan 42 而a∈(0，交. (0，则+∈，因此a+9 兀、 2 42 42 42 所以2a-B= 2 故选：C 5.【答案】B 【解析】因为a2,a。是函数f(x)=x2+20x+25的两个婴点， 所以a,a1o是方程x2+20x+25=0的两个根，则41+41o=-20,a410=25, 所以2,4都为负数，又因为{an}是等比数列，a。=a29<0, 所以a记=44u=25,圳a。=-5,故选：B 6.【答案】C 【解析】由题意可知，分两种情况讨论 (4)A⊥厂安排1人，有C,×C,2×A,'=108种，(2)A)‘安排2人，行(2×A,=18种， 所以不同的安排方法有108+18=126种. 第1页，共9页 7.【答案】C 由题意得， 圆(x-a)}2+(y-a2)2=1的圆心为(a,a2),半径r=1 阴为a,a)到直线y=x-2的距离： d=口-a2-2 2 4 7 ->1 8 当L仅当1=号时等号成立，所以直线与该圆相离， 72 所以P2的最小值为d-r= P -1,故选：C 8.【答案】B 【解析】设方体校长为x,则外接球半径为，所以号B)=B,解得 2 3 x=1.在C,D,上取一点F,使得EFI1CD,连接B,F,设D,E=a(0<a<), 由EF/1C,DI1AB,可得平面AB,FE为过A,B,E三点的截面，DF=4. -Lxaxatl=1(Q+a). ×1X1×1=6·Ve-Mn三3xaX号 32 26 由题意知(a2+a+ 6 32·整理为16a2+160-5=0,解得u=或a=-三 (舍) 4 故 DF 1 故选：B. DC 4' D B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9.【答案】AB 10.【答案】ACD 【解析】依题意山T∈ 3 ,2 22π<2π，解得1<w<3, 可得< 3(w 第2前，共9页 义0∈N可知aw=2; 将x=匹代入可得2×5西+0=+m,ke乙，又因为0<0<r可得0=2 12 12 内此可得f(x)=sin2.r+ 2π 即A正确： 3 对于B,将∫(x)的图象向左平移汇个单位长度后，得到函数 12 因此B错误： 对C,当x0, 时可得2x+[5 根据余弦函数性质可得cos 可得C正确： 对于D,令-+2≤2x+≤2km,kEZ,解得-2红+km≤x≤-元+m,ke乙： 6 场知当k=0时，可得g(x)在 2ππ -36 上单调递增，即D正 故选：ACD 11.【答案】BCD 【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y=士bx,取其中y+bx=0与圆心为(0,2)， 半径为的质相切， 2 可得+b =1,由于b>0,解得b=√3，所以A错误： 可得双曲线方程为x上=l,设双曲线的半焦距为c, 则c=+3=2,所以F(-2,0),F(2,0), 因为C(o,2),所以CFl=CF=22,FF=4,可知lCr+CF=FF，所 以△CFF为等腰直角三角形，B正确： 动点P在E的K女上，则PF引-PF=2,则PF=2+PF, 第3页，共9贞 所以CP+PF=CP+PF+2,当C,PF三点共线时，CP+PF最小，此时 ICP+PF=212, 此时CP+PF=2V2+2,所以CP+PF的最小值为2√2+2，所以C正确： 设P(),得石-=1，即x=1+ 3 3 答+-4，+4=得-4%+5= 4 3 则CPl=Vx6+0y。-2)2=、 1+ 当y号、QP的最小值，此时c=反，所以D正确： 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】 1或0.5 【解析】因为4"×32”=(22)”×(2)°=2m×2”=25=22, 所以10g,4×32'）=og,2-分故答案为：月 13.【答案】 【解析】由题意有∫'(x)=2ae2-(2+5a)e+5=(ae-(2c-5)≥20在(1,2)上.恒 成立， 义e<e<e2,所以5<2e<2e<2e2,即2e-5>0, 所以只需ae'-1≥0在(1,2)上恒成立即可， 即a≥。在(4,2)上恒成立， 义y=在(，2)上单调递减，所以a≥。， 故答案为 [+ 14.【答案】①0.√R2-r2） ②20π 第4页，共9的 【解析】圆外接球的球心O必在圆台的轴线上，内为O在圆分外，则球心布下 底面卜方，设O到下底面的距离为x,则r2+(h+x)2=R2+x2,所以 X安 82-r-h >0,所以0<h<√R2-r2, 2h 所以台的外接球浓i积为 S=4πR2+x2)=4R2+4m2=4R2+4π R2-r2-h2 2h 易知4= 3-h在1Sh52时单调递减，1“m 3 =6+元 -1=2, h 所以Sm=16π+元×22=20元.故答案为：(0，VR2-2),20元. 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.【解析】(1)设AD=x,则CD=2x, H余弦定跸可得AC2=AD+CD2-2AD,CDCOSLADC, 即33=2+4x-4x2×写，得x=3, 3分 所以CD=2x=6, .5分 2)由os∠4DC得cos4A0B=-3,则si咖ZADB2V2 …7分 AB AD 由正弦定可得 sin∠ADB sinB 22 3× 解得AB= ADsin∠ADB 3=2W6 sinB 10分 3 山余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD×BDcos.∠ADB, 即BD2+2BD-15=0,而BD>0,所以BD=3. .3分 16.【解析】 (1)明：出题意可得正四棱锥所有棱长均为√2，而P是SD的叶点， 所以CP⊥SD,AP⊥SD, …2分 义因为AP∩(P=P,HAP,CPc平而PAC,所以SD⊥平而PAC, 第5近，共9贞 义为SDc平iSAD,所以平hi SAD⊥平而PAC 5分 (2)1,连接OB,易知OB,OC,OS两两互相垂直，分别以OB,OC,OS为r轴， 少轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-z, 则A(0,-1.0)C(0.10),S(0,0,1),D(-1,0.0), i可得AC=(0,2,0),SD=(-1,0.-1) .7分 由5亚=0，得亚（0，-4 所以P(0》而( 9分 =-x+y+ 3 2=0 设平面PAC的法向量为万=(x,y,z),则 4 4 n.AC=2y=0 令z=1,则x=3,所以平而PAC的一个法向量为方=(3,0，I) 易知平面S4C的-个法问壁为OB=(1,0,0), .13分 0B. 3 设二面角S-AC-P的平面角为6，则cos6=cos<OB,i>= 3v0 OBV32+12 10 故-而角S-AC-P的余弦值为3四 10 .15分 二A B 17.【解析】 (1)出b=0时，f(x)=x+9x2+2x,定义域为R, 3 2 所以f'(x)=x2+ax+2, …2分 第6页，代9 因为f(x)存在极人值，且存在极小值， 所以∫'(x)=x+2x+2必须有两个不同的零点， 所以△=a2-4×2>0, .5分 所以a>22或u<-2√2， 所以a的取值范闹(-0，-2V2)U(2V2,+∞). ..6分 2)当a=2动=2时，f()-号++2x+mc, 定义域为R, 所以(x)=x2+2x+2+cosx=(x+I)2+(1+cosx), .8分 当x∈R时，(x+1)2≥0,1+cosx≥0， ...10分 所以f(x)≥0， x=-1, 当山仪当 =2+π(ke乙)时，政等号， .12分 x=-I, 因为 r=2a+π(keZ)无解， 所以'(x)>0. .15分 18.【解析】 x=-1 (1)由焦点F(-1,0),得a2-b2-1,由 1 得1y= a2-1, 则2bva2- =3, .2分 0 0 联立解得a2=4,b2=3, 所以C的方程为子+上=1. 5分 43 (2)依趣您，直线P?不垂直于P轴，设直线P№的方程为 x=y-1,P(x,y),2(x22), 第7项，共9页 x=y-1 13r+4y2=12消去x得(32+4y-6-9=0, 1 ,7分 △=(-61)-4(31+4)·(-9)=36(412+4)>0 -9 则八+片 61 3r2+44.5= .9分 32+4 直线DP的方种为y=片。K+2, x+2 .1】分 令x=3,得点M的纵坐标y4=上 x+2y+1’ 同理得点N的纵坐标w=业 ...14分 y2+11 yy 所以|MRI-INRHy.ywH 0+0西+司 9 312+4 9 9 9r2+602 +1-912+62+3r2+44,为定值. .17分 3t2+432+4 P R 19.【解析】 (1)因为正四面体的质地是均匀的，P为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为 供数的概率，所以p=42 21 .2分 进·步得，X~ B 15 所以E(X)=np=5×三= 22 .1.15 D(X)=p(1-P)=5x。× 224' .4分 所以X的数学期望和方差分别为和3 .5分 第8页，共9页 (2)(①因为P,是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 所以p,是抛止四而体n-1次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 出n≥2时，当在前-1次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数子为偶数出现奇数 次时， 第n次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前n次抛掷中与桌接触的数子为偶 数出现奇数次，所以Pn=P(（1-p), .7分 当在前n一1次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数：现偶数次时， 第n次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前n次抛掷中与桌面接触的数字为偶 数出现奇数次，所以Pn=(1-Pn-)P, .9分 由互斥中件概率的加法法则得Pn=P-1(1-p)+(1-p-)p=p+P.-(1-2P), 即Pn=p+p-（1-2p)(n≥2) .11分 ②设月-=0-2p2-小，结合@所得关系，则x“分 n.古-2pje,a2.又-p-安 .13分 所以e--2p, 所以R,-0,2p(eN): 2 .15分 所以抛掷止：四而体n次中与桌而接触的数字为偶数出现偶数次的概率为 1-p.=I+2p以(aeN). ..17分 2 第9页，共9页