精品解析：湖北省十堰市东风高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

东风高中2024级高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于0与说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知 .则（ ） A. 5 B. 11 C. 18 D. 21 4. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的解集为，关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”. 如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组中表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 11. 函数，以下四个结论正确的是（ ） A. 的值域是 B. 对任意，都有 C. 若规定，则对任意的 D. 对任意的，若函数恒成立，则当时，或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 13. 已知，则的单调递增区间为______． 14. 记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 16. 已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t. （1）求实数m的值； （2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 17. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 18. 已知函数． （1）若，解方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东风高中2024级高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于0与说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在题词命题的否定写出结果即可. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：“，”的否定是：，. 故选：B 3. 已知 .则（ ） A. 5 B. 11 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知,将代入中，即可求得答案. 【详解】由题意令，则， 故， 故选：A. 4. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【详解】∵函数的定义域为，∴，∴，∴的定义域为，是由向左平移1个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的，故值域不变，其值域为，故选C. 点睛：本题主要考查抽象函数的定义域和值域，要紧扣函数定义域的定义以及函数左右平移值域不变的性质，属于基础题；根据函数的定义域的定义，自变量的取值范围为函数的定义域，由函数的定义域为，得到求解，函数左右平移值域不变，从而得到正确选项. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD， 由，，故C错误， 故选：A. 6. 已知的解集为，关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定解集可得，再代入分式不等式求解即得. 【详解】因为的解集为，则，且，即. 故，即，则， 故，解得或；或，无解. 综上有. 故选：A 7. 定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再利用性质求解不等式作答. 【详解】因，，则在上单调递增， 又，则函数是R上的奇函数，因此在上单调递增， 显然，不等式化为：或，即或， 解得或，所以不等式的解集是或. 故选：A 8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”. 如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案. 【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根， 即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或， 又，所以，则当时，有最大值. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组中表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足：定义域相同，化简后的对应法则相同，对选项逐一分析即可. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为，，所以A符合题意； B选项的定义域均为，，故B选项符合题意； C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以C错误； D选项，的定义域均为，，，，所以D符合题意. 故选：ABD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】ACD 【解析】 【分析】作差比较判断A、C；运用基本不等式并验证等号成立的条件，可判断B；利用重要不等式可判断D. 【详解】对于A：若，由， 因，故，又，即，.故A正确； 对于B：当时，，则， 当且仅当，即时取等号， 因，则有，故B错误； 对于C：若，则， 故由，可得，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时取等号， 因，故，即有最大值，故D正确. 故选：ACD. 11. 函数，以下四个结论正确的是（ ） A. 的值域是 B. 对任意，都有 C. 若规定，则对任意的 D. 对任意的，若函数恒成立，则当时，或 【答案】ABC 【解析】 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域；构造函数判断函数的奇偶性和单调性即可判断选项B；根据C中的描述结合归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象： ∴的值域是，故该选项正确； 对于B，由题得，所以函数是奇函数. 因为，不妨设，只需证明，只需证明，设，只需证明函数单调递减. 所以，所以函数是上的奇函数. 所以只要证明函数在上单调递减. , 由复合函数的单调性原理得函数在上单调递减.所以该选项正确. 对于C，有，若， ∴当时，，故有.所以该选项正确. 对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上， ∴时，，有或（舍去）； 时，，故恒成立； 时，，有或（舍去）； 综上，有或或；所以该选项错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性； 2、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 13. 已知，则的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】∵，∴，求得，或， 故函数的定义域为或 由题即求函数在定义域内的增区间． 由二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题． 14. 记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由， 所以， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，， 因此函数的图象如下图所示： 因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最小值为1，最大值为26. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设出二次函数，，由已知条件求出、、的值，求出的解析式； （2）由在上单调性，确定最值点，求最值. 【小问1详解】 设，． ，， 又， 可得，，，，， . 【小问2详解】 二次函数，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，∴在上单调递减，在上单调递增， 时，，，∴在上的最小值为1，最大值为26. 16. 已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t. （1）求实数m的值； （2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5 【解析】 【分析】(1)利用幂函数的性质即可求解; (2)先求出,的值域,,再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出“A⫋B,”,由此即可求解. 【详解】(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴m=1; (2)由(1)可得, 当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3], g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45], ∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45]; ∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件, ∴A⫋B, ∴, 故实数t的取值范围为. 【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题. 17. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）若，解方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）当时，， 故有 ， 当时，由，有，解得或 当时，恒成立 ∴ 方程的解集为或 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 当时，在上单调递增 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $