第23章 旋转 单元培优-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 一、选择题 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失（　　） A．顺时针旋转90°，向下平移 B．逆时针旋转90°，向下平移 C．顺时针旋转90°，向右平移 D．逆时针旋转90°，向右平移 3．如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 4．如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠COD＝60°，则∠COB的度数是（　　） A．13° B．15° C．20° D．25° 5．如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△M'P'N'，其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　） A．点B B．点C C．点D D．点E 7．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　） A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D．M（﹣1，3），N（1，﹣3） 8．定义：在直角坐标平面内的机器人接受指令[α，m]（0°＜α＜180°，m≥0）后的行动结果为：在原地顺时针旋转α后，向正前方直行m个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[60°，2]后位置的坐标为（　　） A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．，1） D．，﹣1） 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AB'C'，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　） A．8 B．5 C．4 D．6 10．把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′（如图乙），此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．如图是在2022年北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，该图案至少旋转 　 　 °能与原图案重合． 12．若点A（2，a）关于原点的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好落在AB边上，则BB'的长为 　 　 ． 14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2023的坐标为　 　 ． 三、解答题 16．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标． 17．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？ 18．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）平移△ABC，使点A移到点A2（0，2），画出平移后△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标； （3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与　 　 成中心对称，其对称中心坐标为　 　 ． 19．阅读下列材料，完成学习任务： 某校有一块正方形花坛，现要将它分成面积相等的八块，分别种上不同颜色的花卉．学校向全校师生公开征集设计方案．小聪设计了如图（1）、图（2）所示的两种方案，它们都是由“两个面积相等的基本图形”经过图形变换而得的[如：图（1）是由图（3）中的两个基本图案各经过3次图形变换得到的]． （1）从“对称性”的角度考虑，写出图（1）和图（2）的相同点和不同点． 相同点：　 　 ； 不同点：　 　 ． （2）请你在图（4）、图（5）所示的正方形网格中用“线段”为学校再设计两种不同的方案．要求：①图案也是由两个不同的基本图形分别经过3次图形变换而得到的；②所设计的图案经过图形变换后不得与已有图形相同． 20．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A1BC1的位置，如图，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点． （1）观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）若将△ABC绕点B顺时针旋转至△A1BC1的位置，如图2，当DC1＝BC1时，求证AC∥BC1． 21．（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． 填空：①旋转角为　 　 °； ②线段OD的长是　 　 ； ③∠BDC＝　 　 °； （2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由． 第23章 旋转 参考答案与试题解析 一、选择题 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：A． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失（　　） A．顺时针旋转90°，向下平移 B．逆时针旋转90°，向下平移 C．顺时针旋转90°，向右平移 D．逆时针旋转90°，向右平移 【答案】C 【分析】根据小方格体的两格与三格的不同，结合要填入的空格的形状解答． 【解答】解：观察图形可知，出现的小方格需顺时针旋转90°，向右平移至边界． 故选：C． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，认准小方格的特征与需要填入的空格的形状是解题的关键． 3．如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 【答案】B 【分析】利用中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型． 4．如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠COD＝60°，则∠COB的度数是（　　） A．13° B．15° C．20° D．25° 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质可以得到∠AOC＝40°，∠AOB＝∠COD＝60°，由此即可求解． 【解答】解：∵△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOC＝40°，∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝20°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 5．如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△M'P'N'，其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】连接PP'、NN'，分别作PP'、NN'的垂直平分线，两者的交点就是旋转中心． 【解答】解：如图，由旋转可知：P和P'为对应点，N和N'为对应点， 连接PP'、NN'，作PP'、NN'的垂直平分线， 可得：点B为旋转中心， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转变换的性质，根据对应点连线的平分线的交点即为旋转中心解答，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】以O为圆心，5为半径作⊙O，即可判断． 【解答】解：观察图象可知，点D不在⊙O上． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣性质，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　） A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D．M（﹣1，3），N（1，﹣3） 【答案】C 【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答． 【解答】解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），∴M（﹣1，﹣3）； ∵A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），∴N（1，﹣3）． 故选：C． 【点评】两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 8．定义：在直角坐标平面内的机器人接受指令[α，m]（0°＜α＜180°，m≥0）后的行动结果为：在原地顺时针旋转α后，向正前方直行m个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[60°，2]后位置的坐标为（　　） A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．，1） D．，﹣1） 【答案】D 【分析】根据已知画出图形，由含30°角的直角三角形三边关系可得答案． 【解答】解：设机器人完成指令[60°，2]后位置为A，过A作AB⊥y轴于B，如图： 根据题意得：∠BOA＝60°，OA＝2， ∴∠BAO＝30°， ∴OBOA＝1，ABOB， ∴A的坐标为（，﹣1）， 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解决问题． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AB'C'，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　） A．8 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接PC，首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝4，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，即可得PM的最大值为PC+CM． 【解答】解：如图连接PC． 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°，BC＝4， ∴AB＝8， 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∵P是A'B'的中点， ∴PCA′B′＝4， ∵M是BC的中点， ∴CM＝BM＝2， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤6， ∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 10．把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′（如图乙），此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，可求∠COB＝90°，由等腰直角三角形的性质可求AO＝CO＝BO＝3cm，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， ∴∠DCE＝60°，∠B＝45°， ∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'， ∴∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°， ∴∠OCB＝45°， 又∵∠B＝45°， ∴∠COB＝90°， 又∵△ACB是等腰直角三角形， ∴AO＝CO＝BO＝3cm， ∴D'O＝4cm， ∴AD'5cm． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题 11．如图是在2022年北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，该图案至少旋转 　60　 °能与原图案重合． 【答案】60． 【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题． 【解答】解：“雪花图案”可以看成正六边形， ∵正六边形的中心角为60°， ∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合． 故答案为：60． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质． 12．若点A（2，a）关于原点的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是 　﹣6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（2，a）关于原点的对称点是B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝﹣2， 则ab的值是：﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好落在AB边上，则BB'的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据旋转的性质得到CA＝CA'，CB＝CB'，∠ACA'＝∠BCB'，则可判断△CAA′为等边三角形，推出∠ACA'＝60°，证明A'B＝A'C＝1，求出AB，BC，然后判断△CBB'为等边三角形，从而得到BB'的长． 【解答】解：∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上， ∴CA＝CA'，CB＝CB'，∠ACA'＝∠BCB'， ∵CA＝CA'，∠A＝60°， ∴△CAA′为等边三角形， ∴∠ACA'＝60°，AA'＝AC＝1， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°， ∴A'B＝A'C＝1， ∴AB＝2， ∴BCAC， ∵CB＝CB'，∠BCB'＝60°， ∴△CBB'为等边三角形， ∴BB′＝BC， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质及勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【解答】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2， ∴AB＝2， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 15．如图，在平面直角坐标系中点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2023的坐标为　（2，0）　 ． 【答案】（2，0）． 【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论． 【解答】解：观察，发现规律： P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…， ∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）． ∵2023＝6×337+1， ∴P2023（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点评】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 三、解答题 16．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别将B，A绕C逆时针旋转90°，得出B′，A′点坐标即可． 【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求， A′的坐标为：（﹣3，3）， B′的坐标为：（1，4）． 【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，根据题意得出对应点坐标是解题关键． 17．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？ 【答案】解：∠B与∠F相等，理由见解答． 【分析】根据旋转的性质，可得△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质，可得∠B＝∠DEC，根据平行线的性质，可得∠F＝∠DEC，根据等量代换，可得答案． 【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下： ∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC， ∴∠B＝∠DEC， ∵AF∥BE， ∴∠F＝∠DEC， ∴∠B＝∠F． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型． 18．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）平移△ABC，使点A移到点A2（0，2），画出平移后△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标； （3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与　△A1B1C1　 成中心对称，其对称中心坐标为　（1，﹣1）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）根据平移的性质，作出平移后△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标即可； （3）在△A2B2C2中与△A1B1C1中心对称，连接A2A1，B2B1，C2C1，三条线段恰好经过点D，则点D即为中心对称点． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求： （2）如图所示：△A2B2C2即为所求： 由图可知：B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣1）． （3）∵连接A2A1，B2B1，C2C1，三条线段恰好经过点D， 由图象可知DA2＝DA1，DB2＝DB1，DC2＝DC1， ∴△A2B2C2中与△A1B1C1中心对称，点D即为对称中心， 由图象可知D（1，﹣1）． 故答案为：△A1B1C1，（1，﹣1）． 【点评】本题考查的是旋转变换及平移变换，熟知图形经过旋转及平移后与原图形全等是解答此题的关键． 19．阅读下列材料，完成学习任务： 某校有一块正方形花坛，现要将它分成面积相等的八块，分别种上不同颜色的花卉．学校向全校师生公开征集设计方案．小聪设计了如图（1）、图（2）所示的两种方案，它们都是由“两个面积相等的基本图形”经过图形变换而得的[如：图（1）是由图（3）中的两个基本图案各经过3次图形变换得到的]． （1）从“对称性”的角度考虑，写出图（1）和图（2）的相同点和不同点． 相同点：　图（1）和图（2）都是中心对称图形　 ； 不同点：　图（1）是轴对称图形，图（2）不是轴对称图形　 ． （2）请你在图（4）、图（5）所示的正方形网格中用“线段”为学校再设计两种不同的方案．要求：①图案也是由两个不同的基本图形分别经过3次图形变换而得到的；②所设计的图案经过图形变换后不得与已有图形相同． 【答案】（1）图（1）和图（2）都是中心对称图形； 图（1）是轴对称图形，图（2）不是轴对称图形． （2）见解答． 【分析】（1）从“对称性”的角度考虑，写出图（1）和图（2）的相同点是都是中心对称图形，不同点图（1）是轴对称图形，图（2）不是轴对称图形； （2）根据题意设计图形，注意图案也是由两个不同的基本图形分别经过3次图形变换而得到的；②所设计的图案经过图形变换后不得与已有图形相同． 【解答】解：（1）从“对称性”的角度考虑，图（1）和图（2）都是中心对称图形，但图（1）是轴对称图形，图（2）不是轴对称图形， 故答案为：图（1）和图（2）都是中心对称图形； 图（1）是轴对称图形，图（2）不是轴对称图形． （2） （答案不唯一．） 【点评】本题考查理由轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称和中心对称的相关知识． 20．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A1BC1的位置，如图，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点． （1）观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）若将△ABC绕点B顺时针旋转至△A1BC1的位置，如图2，当DC1＝BC1时，求证AC∥BC1． 【答案】（1）EA1＝FC，理由见解析过程； （2）见解析过程． 【分析】（1）由旋转可得AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，由“ASA”可证△ABE≌△C1BF，可得BE＝BF，即可求解； （2）由“AAS”可证△A1DE≌△CDF，可得DE＝DF，由“SSS”可证△ADB≌△C1DB，可得∠ADB＝∠C1DB，由等腰三角形的性质可得∠C1DB＝∠C1BD＝∠ADB，可得结论． 【解答】（1）解：EA1＝FC，理由如下： ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． 由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF， 在△ABE和△C1BF中， ， ∴△ABE≌△C1BF（ASA） ∴BE＝BF， 又∵BA1＝BC， ∴BA1﹣BE＝BC﹣BF， 即EA1＝FC． （2）证明：如图2，连接BD， 在△A1DE和△CDF中， ， ∴△A1DE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF， ∵△ABE≌△C1BF， ∴AE＝C1F， ∴AD＝C1D， 在△ADB和△C1DB中， ， ∴△ADB≌△C1DB（SSS）， ∴∠ADB＝∠C1DB， ∵DC1＝BC1， ∴∠C1DB＝∠C1BD＝∠ADB， ∴AC∥BC1． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． 填空：①旋转角为　60　 °； ②线段OD的长是　4　 ； ③∠BDC＝　150　 °； （2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°； ②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4； ③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°； （2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则ODOB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°． 【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°， ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴旋转角的度数为60°； ②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴BO＝BD， 而∠OBD＝60°， ∴△OBD为等边三角形； ∴OD＝OB＝4； ③∵△BOD为等边三角形， ∴∠BDO＝60°， ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴CD＝AO＝3， 在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5， ∵32+42＝52， ∴CD2+OD2＝OC2， ∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°； 故答案为：60；4；150； （2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，理由如下： ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO， ∴△OBD为等腰直角三角形， ∴ODOB， ∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴OA2+2OB2＝OC2， ∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠BDC＝135°． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $