第1章 二次函数 单元培优-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第1章 二次函数 一、选择题 1．（3分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣2a﹣3经过坐标原点，那么a等于（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣1 2．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+c＝b，则其图象必经过点（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（﹣1，1） 3．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4 4．（3分）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2021的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（　　） A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c 5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 则代数式9a﹣3b的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 7．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 8．（3分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为（　　） A．或 B．±或± C．或± D．± 10．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 其中真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．（3分）若抛物线y＝ax2+k的顶点在直线y＝﹣2上，且当x＝1时，y＝﹣3，则a＝　 　 ，k＝　 　 ． 12．（3分）二次函数yx2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的纵坐标为2，则AB的长为 　 　 ． 13．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是 　 　 m． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣4 6 下列结论： ①a＞0； ②当x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小； ③方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根． ④当x＝﹣2时，函数有最小值﹣6． 其中，正确结论的序号是 　 　 （把所有正确结论的序号都填上）． 15．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，b＝　 　 ；m＝　 　 ；将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 　 　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 　 　 ． 三、解答题 17．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）． （1）求a，b的值； （2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值． 18．（10分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）． （1）求m，c的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 19．（10分）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m． （1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 20．（10分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 21．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）． 第1章 二次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（3分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣2a﹣3经过坐标原点，那么a等于（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣1 【答案】A 【分析】把原点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值，再结合开口向下可求得答案． 【解答】解： ∵抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣2a﹣3经过坐标原点， ∴a2﹣2a﹣3＝0，解得a＝﹣1或a＝3， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用抛物线过原点求得a的值是解题的关键． 2．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+c＝b，则其图象必经过点（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（﹣1，1） 【答案】B 【分析】当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c 且a+c＝b，则y＝0，所以图象过（﹣1，0） 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c 且a+c＝b ∴y＝0 ∴抛物线图象过点（﹣1，0） 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，关键是熟练运用坐标特征解决问题． 3．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4 【答案】C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2； 再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．（3分）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2021的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（　　） A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c 【答案】A 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由1≤a＜2进行判断即可． 【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2﹣2021， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵1≤a＜2， ∴﹣1≤a﹣2＜0． ∴A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离， ∴b＜c． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 则代数式9a﹣3b的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由表格的数据可以看出，x＝﹣2和x＝0时y的值相同，所以可以判断出，点（﹣2，2）和点（0，﹣2）关于二次函数的对称轴对称，可求出对称轴；然后得到x＝﹣3时的函数值等于x＝1时的函数值，即可求得9a﹣3b+c＝1，由抛物线经过点（0，﹣2）得到c＝﹣2，即可求得9a﹣3b＝3． 【解答】解：∵x＝0和x＝﹣2时y的值相同都是﹣2， ∴点（﹣2，2）和点（0，﹣2）关于二次函数的对称轴对称， ∴对称轴为：x1， ∴点（﹣3，1）和点（1，1）关于二次函数的对称轴对称， ∴x＝﹣3时对应的函数值y＝1， ∴9a﹣3b+c＝1， ∴x＝0时，y＝c＝﹣2， ∴9a﹣3b＝1+2＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点是解题的关键． 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【答案】C 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 7．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 【答案】B 【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长． 【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4）， 得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4）， 解得a， ∴y（x+4）（x﹣4）． 令x＝0得y，即（0，）， ∴OE ∴门的高度约为m． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 8．（3分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【答案】B 【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，由此能得到最佳加工时间． 【解答】解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）， 代入得：， 解得：， ∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125， ∴得到最佳加工时间为3.75分钟． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键． 9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为（　　） A．或 B．±或± C．或± D．± 【答案】A 【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣2、m＞1和﹣2≤m≤1三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2， ①若m＜﹣2，当x＝﹣2时，y＝4+4m＝﹣2， 解得：m； m2（舍去）； ②若m＞1，当x＝1时，y＝1﹣2m＝﹣2， 解得：m； ③若﹣2≤m≤1，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2， 解得：m或m1（舍）， ∴m的值为或， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 10．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 其中真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号； ②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2； ④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答． 【解答】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误； ②二次函数对称轴为x1，当a＝﹣1时有1，解得b＝3，故本选项错误； ③∵x1+x2＞2， ∴1， 又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1， ∴Q点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确； ④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当m＝2时，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y＝﹣1+2+3＝4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）； 则DE；D′E′； ∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注． 二、填空题 11．（3分）若抛物线y＝ax2+k的顶点在直线y＝﹣2上，且当x＝1时，y＝﹣3，则a＝　﹣1　 ，k＝　﹣2　 ． 【答案】﹣1，﹣2． 【分析】根据抛物线y＝ax2+k的顶点在直线y＝﹣2上，且当x＝1时，y＝﹣3，可以得到关于a、k的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+k的顶点在直线y＝﹣2上，且当x＝1时，y＝﹣3， ∴， 解得， 故答案为：﹣1，﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出a、k的值． 12．（3分）二次函数yx2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的纵坐标为2，则AB的长为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】求出A、B坐标，即可得到答案． 【解答】解：在yx2中，令y＝2得：x2＝2， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴B（﹣2，2），A（2，2）， ∴AB＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数的图象，求出A、B坐标是解题的关键． 13．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是 　150　 m． 【答案】150． 【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后10s滑行的距离． 【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60tt2（t﹣20）2+600， 此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当t＝10时，y＝450， 所以600﹣450＝150（m）， 答案：150． 【点评】此题考查二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣4 6 下列结论： ①a＞0； ②当x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小； ③方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根． ④当x＝﹣2时，函数有最小值﹣6． 其中，正确结论的序号是 　①②③　 （把所有正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③． 【分析】任取表格中三组对应值即可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的图象与系数之间的关键进行判断即可． 【解答】解：将（﹣4，0）、（0，﹣4）、（2，6）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，得： ， 解得：， 故此二次函数解析式为y＝x2+3x﹣4， ∴a＞0，①正确； 对称轴为x，当x函数值最小，④错误； 当x时，y随x的增大而减小，故x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小， ②正确； 令x2+3x﹣4＝﹣5，整理得：x2+3x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0， 故方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根，③正确． 故正确序号有：①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 15．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，b＝　﹣4　 ；m＝　6　 ；将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 　4　 ． 【答案】﹣4，6；4． 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则2，解得b＝﹣4，再把（﹣1，m）代入y＝x2﹣4x+1中求出m的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值． 【解答】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点， ∴点A和点B为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 即2，解得b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1， 把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6； 抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n， ∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0， 解得n＞3， ∵n是正整数， ∴n的最小值为4． 故答案为﹣4，6；4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A， ∴A（0，3），抛物线的对称轴为x＝1， ∴顶点P坐标为（1，3﹣a），点M坐标为（2，3）， ∵点M为线段AB的中点， ∴点B坐标为（4，3）， 设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）， 将点P（1，3﹣a）代入得3﹣a＝k， ∴y＝（3﹣a）x， 将点B（4，3）代入得3＝（3﹣a）×4， 解得a， 故答案为：． 【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等． 三、解答题 17．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）． （1）求a，b的值； （2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值． 【答案】（1）； （2）m＝﹣1． 【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论； （2）根据抛物线的对称性得到2，即可得到结论． 【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，， 解得：； （2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1， ∴对称轴是直线x2， ∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同， ∴（5，n），（m，n）是对称点， ∴2， 解得m＝﹣1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 18．（10分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）． （1）求m，c的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式，求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式，就可以求出c的值； （2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式，就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，m）代入正比例函数y＝5x，得m＝﹣5， 所以点A坐标为（﹣1，﹣5）； 把点A坐标（﹣1，﹣5）代入二次函数y＝﹣x2+2x+c，得：﹣5＝﹣1﹣2+c， 解得c＝﹣2． （2）把c＝﹣2代入二次函数，得y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x2﹣2x+2）＝﹣（x2﹣2x+1﹣1+2）＝﹣（x﹣1）2﹣1， 所以二次函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣1）． 【点评】本题是一道二次函数和正比例函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求点的坐标的值以及二次函数的图象性质，运用了正比例函数和二次函数的有关知识． 19．（10分）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m． （1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：yt2+5t，当t时，y最大＝4.5； （2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，当t＝2.8时，y2.82+5×2.82.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门． 【解答】解：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yt2+5t， ∴当t时，y最大＝4.5； （2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8， ∴当t＝2.8时，y2.82+5×2.82.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键． 20．（10分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解； （2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），即可求解． 【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得， 答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元； （2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数）， ∵﹣1＜0．故w有最大值，当a＝5时，w的最大值为265，当a＝11时，w的最小值为229， 故本次购买至少准备229元，最多准备265元． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x时取得． 21．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0）； （2）； （3）存在，（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），推出DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c，则有， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3或1， ∴A（﹣3，0）； （2）如图1，过点D作x轴的垂线交AC于点G，DH⊥AC于点H，则DH即为点D到AC的距离， ∵OA＝OC＝3， ∴∠OAC＝45°， ∴∠DGH＝45°， ∴DHDG， 设直线AC解析式为：y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3）， ∵点D在第三象限， ∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x， ∴DHDG（﹣x2﹣3x）（x）2， ∴当x时，DH最大， 此时点D（，）， ∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（，）； （3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3）， 当OB为对角线时，点N″的横坐标为2， x＝2时，y＝4+4﹣3＝5， ∴N″（2，5）． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $