精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题

重庆西南大学附属中学高2027届高二上开学质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 6. 在中，设，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则解的个数为2 8. 在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 10. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当M，P分别为线段，中点时，， B. 取得最小值 C. 当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D. 对任意点M，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且若，则与的夹角的余弦值为______． 13. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角对应的边分别是、、，且． （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点． （1）求证：平面； （2）求与面所成角的正弦值． 17. 在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△面积. （1）若，求； （2）若，求当取得最小值时△的周长. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． （1）求证：； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西南大学附属中学高2027届高二上开学质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意，高二年级应抽取的人数是：人. 故选：A 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义可得结果. 【详解】由，可得，所以， 在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】若，分析出有或相交或异面三种情况，即可判断A；若，过做平面，设，根据线面平行的性质定理得到，进而得到，再根据面面垂直的判定定理得到，即可判断B；若，，分析出有或与相交或三种情况，即可判断C；若，分和两种情况讨论的位置关系即可判断D. 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【详解】由，则 . 故选：B. 5. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 6. 在中，设，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解. 【详解】由题意 . 故选：D. 7. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则解的个数为2 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，得到或，A错误；B选项，由向量数量积法则得到，结合余弦定理得到；C选项，由锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式得到；D选项，，三角形无解. 【详解】A选项，若，则或， 故或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； B选项，，即， 由余弦定理得，故， 所以，B正确； C选项，若为锐角三角形，则，即， 又在上单调递增，故，C错误； D选项，，故，则无解，D错误. 故选：B 8. 在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】从盒内随机抽取2张卡片，有以下情况：（意气风发、风平浪静）， （意气风发、心猿意马），（意气风发、信马由缰），（意气风发、气壮山河）， （意气风发、信口开河），（风平浪静、心猿意马），（风平浪静、信马由缰）， （风平浪静、气壮山河），（风平浪静、信口开河），（心猿意马、信马由缰）， （心猿意马、气壮山河），（心猿意马、信口开河），（信马由缰、气壮山河）， （信马由缰、信口开河），（气壮山河、信口开河），共有15种情况， 其中这2张卡片上的2个成语有相同的字的情况有（意气风发、风平浪静），（意气风发、心猿意马）， （意气风发、气壮山河），（心猿意马、信马由缰），（信马由缰、信口开河）， （气壮山河、信口开河），共6种情况， 所以该游戏的中奖率为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据向量加法运算的概念进行判断；B选项，根据向量数量积的概念进行运算并判断；C选项，反向共线；D选项，根据向量数量积的概念知向量的夹角是钝角或. 【详解】A选项，，A错误； B选项，在边长为1的等边中，，B错误； C选项，若，则，C正确； D选项，若，则向量的夹角是钝角或，D错误. 故选：ABD 10. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当M，P分别为线段，中点时，， B. 取得最小值 C. 当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D. 对任意点M，平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.首先判断和的关系，即可判断A；B.将三角形和三角形展成一个平面，根据，即可求解；C.利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断C；根据几何关系，判断平面，判断D. 【详解】对于A.如图，，， ，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误； 对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为， ，， ，故B正确； 对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球， 可以将四棱锥补成如图的长方体， 所以外接球的直径，即， 所以外接球的体积，故C正确； 对于D.如图，平面，平面，所以， 且，且，且平面，所以平面， 平面，所以， 同理， 且，且平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且若，则与的夹角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的公式直接求解即可. 【详解】，则，又，则， 故，即，故，解得. 故答案为： 13. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算的几何意义求解. 【详解】因为， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 如图： 又因为表示点到的距离， 且， 所以. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出． 【详解】在中，由余弦定理得， 且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解. 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角对应的边分别是、、，且． （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，求出，再由余弦定理，结合，求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内角和为，结合，化简可得，再由锐角三角形求出，然后求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点． （1）求证：平面； （2）求与面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而可证平面； （2）利用等积法可求到平面的距离，从而可求与面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为分别为所在棱的中点，故， 而，，故， 故四边形为平行四边形，所以， 而平面，平面，故平面. （2）设，连接，设到平面的距离为. 因为底面，平面，故，同理， 而，故. 故，同理. 因为，而，故平面， 而平面，故，所以， 故， 又， 因为，故，故， 设与面所成角为，则. 17. 在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△面积. （1）若，求； （2）若，求当取得最小值时△的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角形面积公式求解即可； （2）利用基本不等式以及向量的线性运算，求出取得最小值时等号成立的条件，并结已知条件即可求出三角形的周长. 【小问1详解】 由三角形面积公式可知，即， ∵，∴由正弦定理得， 两边同时平方得①， 由余弦定理得，即②， 将①②联立得，解得； 【小问2详解】 ∵, ∴, ∴， ∴由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时的最小值为， ∵，∴由正弦定理得，∴， ∴, 又∵,∴, ∴△为直角三角形， 又∵且，解得，，， ∴△的周长为. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）73分合理 （2） （3）22.25 【解析】 【分析】（1）由题意知可得，计算可求得；根据小长方形的面积和为1求得，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可； （2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，， 解得， 又，解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：，设第60百分位数为， 则，解得，所以晋级分数线划为73分合理； 【小问2详解】 由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自不同小组”， 则共8个样本点， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差： 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． （1）求证：； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】（1） 由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $