21.2.3因式分解法　同步练习　2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.2.3因式分解 1、 选择题 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 2.用因式分解法解一元二次方程，变形后正确的是(    ) A. B. C. D. 3.用因式分解法解下列方程，正确的是(    ) A. ， B. ， 或 C. ，或 D. ， 或 4.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 5.一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 6.若，则 的值为(    ) A. 或 B. C. D. 二、填空题 7.一元二次方程的解是：          ． 8.解方程：． 解：将方程两边约去，得 所以 以上解答错在第          步，正确的答案是          ，          ． 9.已知方程，则           ． 10.对于任意实数，，定义一种运算：若，则的值为          ． 三、计算题 11.解下列方程： ． ； 12已知关于的方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根． 13.若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”．           填“是”或“不是”代数式的“优值”； 判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； 代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 21.2.3因式分解 2、 选择题 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.用因式分解法解一元二次方程，变形后正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.用因式分解法解下列方程，正确的是(    ) A. ， B. ， 或 C. ，或 D. ， 或 【答案】D  4.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  解：， ， 或， ，． 5.一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查用因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长． 【解答】 解：解方程， 解得，； 当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； 等腰三角形的底为，腰为； 三角形的周长为． 故选：． 6.若，则 的值为(    ) A. 或 B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是换元法解一元二次方程，由题意设，则可变形为，然后利用因式分解法解方程即可求解． 【解答】 解：设， 可变形为： ， 整理得： ， ， 解得：或不合题意，舍去， 则． 故选B． 二、填空题 7.一元二次方程的解是：          ． 【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 利用因式分解法解方程即可． 【解答】 解：， ， ， 解得：，． 故答案为：，． 8.解方程：． 解：将方程两边约去，得 所以 以上解答错在第          步，正确的答案是          ，          ． 【答案】 9.已知方程，则           ． 【答案】或  10.对于任意实数，，定义一种运算：若，则的值为          ． 【答案】或  三、计算题：本大题共9小题，共54分。 11.解下列方程： ． ； 【答案】解：原方程可变形为 ， ， 解得，； 原方程可变形为 ， ， ， 解得，； 原方程可变形为 ， ， ， 解得，   ； 原方程可变形为 ， ， 解得．  (5)解：3（x＋2）2＝（x－2）2， 3x2＋12x＋12＝x2－4x＋4， x2＋8x＋4＝0， （x＋4）2＝12， ， ∴，； (6) 解：2(x-2)2-3(2-x)＝0，  2(x-2)2+3(x-2)＝0，  [2(x-2)+3](x-2)＝0，  ​(2x-1)(x-2)＝0， ∴，x2＝2．  12已知关于的方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根． 【答案】证明：由于是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有，， 所以方程总有两个不相等的实数根． 解：把代入方程， 有， 整理，得 ． 解得 ， 此时方程可化为 ． 解此方程，得 ，． 所以方程的另一根为．  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 根据进行判断； 把代入方程即可求得，然后解这个方程即可． 13.若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”．           填“是”或“不是”代数式的“优值”； 判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； 代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 【答案】(1)是  (2)不存在“x优值”．理由如下：  假设存在“x优值”为x，则有x2-x+n2+2＝x．  整理，得x2-2x+n2+2＝0．  则b2-4ac＝(-2)2-4(n2+2)＝-4n2-4．∵无论n取何值时，-4n2-4＜0，∴方程没有实数根，即代数式x2-x+n2+2不存在“x优值”．  (3)设“x优值”为x，则有x2-n2+n＝x．  整理，得(x-n)(x+n)-(x-n)＝0．∴(x-n)(x+n-1)＝0．∴x1＝n，x2＝1-n，∵两个“x优值”差为5，∴n-(1-n)＝5或(1-n)-n＝5．∴n＝3或n＝-2．    第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $