专题22.4 二次函数的图象与性质（3）（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题22.4 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握与之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 型二次函数的性质； （2） 型二次函数的图象； （3）与之间的平移规律； 2. 难点 （1）函数图象的共存问题； （2）函数图象上的点的特征； （3）与之间的平移。 知识点01 1. 函数平移规律： 函数分为 平移和 平移； 左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进行加减，规律为 。 2. 与之间的平移： 由函数的平移可知： ①若，可将向 平移 个单位得到函数。 ②若，可将向 平移 个单位得到函数。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 知识点02 图象与性质 由的图象与性质可得到函数的图象与性质如下： 大致图象 （向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移） 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数轴最 值 这个值是 。 函数轴最 值 这个值是 。 【即学即练1】 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【即学即练3】 4．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 【即学即练4】 5．已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　 　 ．（填“增大”或“减小”） 【即学即练5】 6．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝3 C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（﹣2，﹣3） 【即学即练6】 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【即学即练7】 8．若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 题型01 的性质 【典例1】二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标为 　 　 ． 【变式1】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（　　） A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1 C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1 【变式2】对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 【变式3】已知二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数），当x＞3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　 　 ． 题型02 的图象 【典例1】二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝m（x+n）2和一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型03 的图象上的点的特征 【典例1】点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝（x+1）2的图象上，则（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1 【变式1】已知二次函数y＝（x﹣1）2，（0，y1），（2，y2），（3，y3）为该二次函数图象上的点，则y1，y2，y3为的大小关系为（　　） A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2 【变式2】抛物线y＝2（x﹣1）2的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【变式3】若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A． y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 题型04 之间的平移 【典例1】二次函数y＝2（x+3）2的图象是由函数y＝2x2的图象向 　左　 （左、右、上、下）平移3个单位长度而得到． 【变式1】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝（x+3）2平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【变式2】将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【变式3】将函数y＝x2的图象向左、右平移后，得到的新图象的解析式不可能是（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+4 1．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0） 2．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1 3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2 4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0） 5．由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（　　） A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 6．如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 … 则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6 8．已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 9．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 10．设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（　　） A．x3＝x1+x2 B．x3 C．x1x2＝x2x3+x3x1 D．x1x3＝x2x3+x1x2 11．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为 　 ． 12．下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与y＝﹣2x2的相同；乙：顶点在x轴上；丙：对称轴是直线x＝﹣3．请你写出这个二次函数 　 　 ． 13．如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是　 　 ． 14．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ． 15．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 　 　 ． 16．请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点． 17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内． （1）求m的值； （2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积． 18．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3． （1）求当x＝﹣2时，y的值； （2）写出它的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）将y＝ax2的图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到新图象，求新图象的函数表达式． 19．若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交于点A（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出它的顶点坐标和开口方向； （3）当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大． 20．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求b的值； （3）若点D（2，y1），E（3，y2）在此抛物线上，比较y1与y2大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.4 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握与之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 型二次函数的性质； （2） 型二次函数的图象； （3）与之间的平移规律； 2. 难点 （1）函数图象的共存问题； （2）函数图象上的点的特征； （3）与之间的平移。 知识点01 1. 函数平移规律： 函数分为 左右 平移和 上下 平移； 左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上进行加减，规律为 上加下减 。 2. 与之间的平移： 由函数的平移可知： ①若，可将向 右 平移 个单位得到函数。 ②若，可将向 左 平移 个单位得到函数。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为：y＝（x+1）2． 故选：A． 知识点02 图象与性质 由的图象与性质可得到函数的图象与性质如下： 大致图象 （向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移） 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数轴最 小 值 这个值是 0 。 函数轴最 大 值 这个值是 0 。 【即学即练1】 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的顶点坐标为（﹣h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选：C． 【即学即练2】 3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，当x＝0时，y＝﹣1， ∴抛物线一定经过第三，四象限． 故选：D． 【即学即练3】 4．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 【答案】A 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣3）2∴顶点坐标为（3，0）． 故选：A． 【即学即练4】 5．已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　增大　 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大． 【解答】解：∵y＝（x+1）2， ∴该函数图象开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 【即学即练5】 6．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝3 C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（﹣2，﹣3） 【答案】C 【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下， 对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0）， x≤﹣3时y随x增大而增大， x＞﹣3时y随x增大而减小． 故选：C． 【即学即练6】 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象， ①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意； ④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意； 故选：B． 【即学即练7】 8．若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】A 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ∵点C离着对称轴最远，点A在对称轴上， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 题型01 的性质 【典例1】二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标为 　（1，0）　 ． 【答案】（1，0）． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2， ∴该函数图象的顶点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 【变式1】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（　　） A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1 C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1 【答案】B 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2， ∴顶点坐标为（1，0），对称轴为x＝1． 故选：B． 【变式2】对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：因为二次函数的表达式为y＝5（x+3）2， 所以抛物线的开口向上． 故A说法正确； 又抛物线的对称轴是直线x＝﹣3， 故B说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0）， 故C说法正确； 因为抛物线对称轴为直线x＝﹣3，且开口向上， 所以当x＜﹣3时，y随x的增大而减小． 故D说法不正确； 故选：D． 【变式3】已知二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数），当x＞3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　a≤3　 ． 【答案】a≤3． 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝a， 而抛物线开口向下， 所以当x＞a时，y随x的增大而减小， 又因为x＞3时，y随x的增大而减小， 所以a≤3． 故答案为：a≤3． 题型02 的图象 【典例1】二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，0）， 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵y＝﹣x+1的图象过第一、二、四象限，y的开口向下，顶点在点（1，0）， ∴同时符合条件的图象只有选项D． 故选：D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝m（x+n）2和一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：从一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象开始： A、由图可知，一次函数中，m＜0，n＞0， ∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＜0可知，抛物线开口向下；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，m＞0，n＞0， ∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＞0可知，抛物线开口向上；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，m＞0，n＜0， ∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＞0可知，抛物线开口向上；由n＜0可知，抛物线对称轴x＝﹣n＞0，对称轴在y轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，m＜0，n＞0， ∴对于二次函数y＝m（x+n）2，由m＜0可知，抛物线开口向下；由n＞0可知，抛物线对称轴x＝﹣n＜0，对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 题型03 的图象上的点的特征 【典例1】点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝（x+1）2的图象上，则（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1 【答案】D 【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝（x+1）2的图象上， ∴y1＝（﹣3+1）2＝4，y2＝（﹣2+1）2＝1， ∴0＜y2＜y1． 故选：D． 【变式1】已知二次函数y＝（x﹣1）2，（0，y1），（2，y2），（3，y3）为该二次函数图象上的点，则y1，y2，y3为的大小关系为（　　） A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2 【答案】A 【解答】解：由条件可知该抛物线图象开口向上，对称轴为直线x＝1， 开口向上的抛物线，离对称轴的距离越远，函数值越大可得： ∵|0﹣1|＝|2﹣1|＜|3﹣1|， ∴y1＝y2＜y3， 故选：A． 【变式2】抛物线y＝2（x﹣1）2的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【答案】D 【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴离对称轴越远的点，函数值越大． ∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2上的点，且|﹣3﹣1|＝4，|1﹣1|＝0，|4﹣1|＝3，0＜3＜4， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 【变式3】若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【解答】解：∵y＝a（x+1）2（a＜0）， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大． ∴C（2，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣4，y3）， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞y3， 故选：D． 题型04 之间的平移 【典例1】二次函数y＝2（x+3）2的图象是由函数y＝2x2的图象向 　左　 （左、右、上、下）平移3个单位长度而得到． 【答案】左． 【解答】解：由“左加右减”的原则，将二次函数y＝2x2的图象向左平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝2（x+3）2． 故答案为：左． 【变式1】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝（x+3）2平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【答案】D 【解答】解：由抛物线y＝（x+3）2向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：y＝x2，此时抛物线y＝x2经过原点． 故选：D． 【变式2】将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】D 【解答】解：由“左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移1个单位得到抛物线， 故选：D． 【变式3】将函数y＝x2的图象向左、右平移后，得到的新图象的解析式不可能是（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+4 【答案】C 【解答】解：将函数y＝x2的图象向左平移1个单位得到y＝（x+1）2； 将函数y＝x2的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2，即y＝x2+4x+4； 将函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4； 将函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝（x+2）2﹣1，即y＝x2+4x+3． 故选：C． 1．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0） 【答案】B 【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）． 故选：B． 2．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1 【答案】A 【解答】解：y＝3x2向左平移1个单位长度得到y＝3（x+1）2， 故选：A． 3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2 【答案】D 【解答】解：A和B的对称轴为y轴，C的对称轴为直线x＝﹣1，D的对称轴为直线x＝1， 故选：D． 4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0） 【答案】D 【解答】解：把（0，0）点代入，二次函数，发现﹣（0﹣2）2≠0， ∴图象不经过原点，故A不正确； 对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，y＝﹣（x﹣2）2二次项系数a＝﹣1， ∴图象开口向下，故B不正确； 二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝h，y＝﹣（x﹣2）2中，h＝2， ∴对称轴是直线x＝2，故C不正确； ∵a＝﹣1＜0，二次函数开口向下， ∴函数有最大值，当x＝h＝2时，y取最大值k＝0，即最高点是（2，0），故D正确． 故选：D． 5．由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（　　） A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝x2向左平移4个单位长度得到抛物线y＝（x+4）2， 故选：A． 6．如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确． 故选：D． 7．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 … 则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6 【答案】C 【解答】解：设y＝ax2+bx+c，将点（1，1）、（2，6）、（﹣2，﹣2）代入得： ，解得， ∴y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， ∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），开口向上， 当x＝﹣4时，y＝6， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴当﹣4＜x＜0时，﹣3≤y＜6； 故选：C． 8．已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝（x+2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， （﹣3，y1）距离对称轴1个单位长度， （0，y2）距离对称轴2个单位长度； （1，y3）距离对称轴3个单位长度， 根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：y1＜y2＜y3． 故选：A． 9．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【答案】C 【解答】解：由题意可得： A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 则c1＜c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 10．设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（　　） A．x3＝x1+x2 B．x3 C．x1x2＝x2x3+x3x1 D．x1x3＝x2x3+x1x2 【答案】C 【解答】解：由题意得x1和x2为方程kx+b＝ax2的两个根，即ax2﹣kx﹣b＝0， ∴x1+x2，x1x2； ∴； ∵直线与x轴交点的横坐标为：x3， ∴． ∴x1x2＝x2x3+x3x1． 故选：C． 11．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为　y＝（x﹣3）2　 ． 【答案】y＝（x﹣3）2． 【解答】解：由平移特征可知：平移后所得的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2， 故答案为：y＝（x﹣3）2． 12．下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与y＝﹣2x2的相同；乙：顶点在x轴上；丙：对称轴是直线x＝﹣3．请你写出这个二次函数 　y＝﹣2（x+3）2　 ． 【答案】y＝﹣2（x+3）2． 【解答】解：设函数解析式为y＝a（x﹣h）2，根据题意得，a＝﹣2，h＝﹣3， 二次函数解析式是：y＝﹣2（x+3）2， 故答案为：y＝﹣2（x+3）2． 13．如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是　a＞0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴a＞0， 故答案为a＞0． 14．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＜y1＜y3　 ． 【答案】y2＜y1＜y3． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则y的值越大， ∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|2﹣（﹣1）|＝3， ∴1＜2＜3， ∴y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 15．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 　27　 ． 【答案】27． 【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x5， ∵当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等， ∴当x2时，此时函数值为27， 故答案为：27． 16．请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图： ， ①向右平移两个单位得到②， ②的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，0）． 17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内． （1）求m的值； （2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点， ∴a＝a（m﹣1）2， 解得：m＝2或m＝0， ∵点P在第一象限内， ∴m＝2； （2）∵a的值为3， ∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2， ∵点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3， ∴点P的坐标为（2，3）， ∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q， ∴3＝3（x﹣1）2， 解得：x＝2或x＝0， ∴点Q的坐标为（0，3）， ∴PQ＝2， ∴S△PQO3×2＝3． 18．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3． （1）求当x＝﹣2时，y的值； （2）写出它的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）将y＝ax2的图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到新图象，求新图象的函数表达式． 【答案】（1）； （2）图象开口向上；对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）； （3）． 【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2， 得，a•32＝3， 解得， 所以这个二次函数的表达式为； 当x＝﹣2时，； （2）∵， ∴图象开口向上；对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）． （3）把该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为：，即． 19．若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交于点A（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出它的顶点坐标和开口方向； （3）当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大． 【答案】（1）y＝﹣3（x+1）2； （2）它的顶点坐标为（﹣1，0），开口向下； （3）x＜﹣1． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）2， 把A（0，﹣3）代入得a×（0+1）2＝﹣3， 解得a＝﹣3， 所以抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）2； （2）它的顶点坐标为（﹣1，0），开口向下； （3）当x＜﹣1时，y随x增大而增大． 20．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求b的值； （3）若点D（2，y1），E（3，y2）在此抛物线上，比较y1与y2大小． 【答案】（1）y＝﹣（x+1）2； （2）b＝﹣4； （3）y1＞y2． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A， ∴A（﹣1，0），则OA＝1， ∵OA＝OB， ∴B（0，﹣1），代入y＝a（x+1）2中， 得：﹣1＝a（0+1）2， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2； （2）将C（﹣3，b）代入y＝﹣（x+1）2中， 得：b＝﹣（﹣3+1）2， 解得：b＝﹣4； （3）∵抛物线y＝﹣（x+1）2的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵2＜3， ∴y1＞y2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$