专题2.3 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质（一课一讲•考点题型精讲）-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

专题2.3 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 2大知识点梳理+1大易错点分析+8大常考题型精练+中考真题小练 · 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； · 熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； · 经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 要点一、函数y=a(x-h)²( a≠0)与函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质 （1）函数y=a(x-h)²( a≠0)的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． （2）函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【注意】二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 要点二、二次函数的平移 （1）平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）. （2）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）. 易错点一、未理解二次函数的平移变换规律（正向/逆向推导） 错因分析：未理解二次函数的平移的规律，无法判别二次函数之间的平移规律而出错，二次函数的平移规律——在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”. 【典例1】将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，求原来的抛物线为（    ） A． B． C． D． 分析：平移规律为“左加右减，上加下减”；根据抛物线的平移规律，逆向推导原抛物线的表达式即可. 【典例2】将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是 （    ） A． B． C． D． 分析：本题考查了二次函数的平移，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 题型一、二次函数y=a(x-h)²的性质 1．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 题型二、二次函数y=a(x-h)²中y值的大小比较 5．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 题型三、二次函数y=a(x-h)²的图像 9．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四、二次函数y=a(x-h)²+k的性质 13．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 14．（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 15．（22-23九年级上·全国·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五、二次函数y=a(x-h)²+k中y值的大小比较 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）设是抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 题型六、二次函数y=a(x-h)²+k的图像 21．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 22．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．  B．  C．  D．   23．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（2024·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型七、二次函数图像的平移 25．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若抛物线平移得到，则必须（   ） A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度 B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 27．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线L过点，，，将抛物线L沿水平方向平移一次，使得以平移后的抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为4，则符合条件的平移方式有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 28．（2025·宁夏·模拟预测）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 题型八、二次函数y=a(x-h)²+k与坐标轴交点与面积问题 29．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 30．（21-22九年级上·云南大理·期中）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积． （2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 （2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 （2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． （2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． （2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 （2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 2大知识点梳理+1大易错点分析+8大常考题型精练+中考真题小练 · 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； · 熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； · 经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 要点一、函数y=a(x-h)²( a≠0)与函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质 （1）函数y=a(x-h)²( a≠0)的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． （2）函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【注意】二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 要点二、二次函数的平移 （1）平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）. （2）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）. 易错点一、未理解二次函数的平移变换规律（正向/逆向推导） 错因分析：未理解二次函数的平移的规律，无法判别二次函数之间的平移规律而出错，二次函数的平移规律——在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”. 【典例1】将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，求原来的抛物线为（    ） A． B． C． D． 分析：平移规律为“左加右减，上加下减”；根据抛物线的平移规律，逆向推导原抛物线的表达式即可. 【答案】A 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， 则将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，即； 故选：A． 【典例2】将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是 （    ） A． B． C． D． 分析：本题考查了二次函数的平移，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【答案】D 【详解】解：向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是； 故选：D． 题型一、二次函数y=a(x-h)²的性质 1．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数，根据题意，求解即可. 【详解】根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数， 在对称轴的右边随的增大而增大，则， 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 题型二、二次函数y=a(x-h)²中y值的大小比较 5．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【详解】解；∵点和点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C 6．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 7．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 由函数解析式得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断，，的大小关系，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， 则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵函数的图象上有三点，，，且 ∴ 故选：B． 8．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、二次函数y=a(x-h)²的图像 9．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，利用性质直接判断图象即可 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，顶点坐标为，顶点坐标位于轴上 故选：D ． 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 题型四、二次函数y=a(x-h)²+k的性质 13．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，，∴图像开口向下，故A不正确； ∵，∴对称轴为直线，故C正确； ∵图像开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故B不正确； ∵，∴顶点坐标是，∴函数的最大值为，故选项D不正确． 故选C． 14．（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 15．（22-23九年级上·全国·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及其顶点坐标的确定，解题的关键是熟记抛物线顶点式（）中，顶点坐标为这一性质，并注意对的符号进行正确判断． 先明确抛物线顶点式的顶点坐标为；再将题目中抛物线转化为顶点式标准形式，对应找出，，进而确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点式为（），其中顶点坐标为． 题目中抛物线表达式为，可改写为． 对比顶点式可知，，，故顶点坐标为．   故选：D． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次函数的顶点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，得到、的值，即可得到二次函数的顶点坐标，进而判断． 【详解】解：， ， ∴，， ∵， ∴，, ∴函数解析式可化为：， 顶点为，在第二象限． 故选：B ． 题型五、二次函数y=a(x-h)²+k中y值的大小比较 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小. 根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 18．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别把，，代入计算，再比较，，的大小，即可作答． 【详解】解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴点在顶点处，； 把代入，得； 把点代入，得， ∵ ∴， 故选C 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）设是抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征. 抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大. 计算各点与对称轴的距离即可比较大小. 【详解】抛物线的开口向下，对称轴为直线. 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为. 由于开口向下，距离对称轴越近的点，函数值越大. 因此，. 故选：A. 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，再结合，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值， 即越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵是抛物线上的三点，且 ∴ 故答案为： 题型六、二次函数y=a(x-h)²+k的图像 21．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 22．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 23．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键． 根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解． 【详解】解：二次函数为， 顶点的坐标为， 又顶点在第三象限， ，， ，， 在第四象限． 故选：D． 24．（2024·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 题型七、二次函数图像的平移 25．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 26．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若抛物线平移得到，则必须（   ） A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度 B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的平移．熟记相关结论即可．左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】解：A：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； B：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意； C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； D：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； 故选：B． 27．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线L过点，，，将抛物线L沿水平方向平移一次，使得以平移后的抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为4，则符合条件的平移方式有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数，需要熟练掌握二次函数的图像与性质以及与二次函数平移的相关性质． 根据抛物线与x轴的交点确定交点间的距离，即为三角形的底边，由已知面积求高，确定出所有平移的方式即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线L过点，，， ∴抛物线L与x轴两交点之间的距离为4， ∵平移后的抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为4， ∴可设平移后的抛物线与y轴交点为 ∴，解得， ∴抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为2， ∴抛物线与y轴的交点可以为或， 如下图，则符合条件的平移方式有4种， 故选：C． 28．（2025·宁夏·模拟预测）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为，即； 故答案为：． 题型八、二次函数y=a(x-h)²+k与坐标轴交点与面积问题 29．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 30．（21-22九年级上·云南大理·期中）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，可知该抛物线开口向上，顶点坐标在x轴下方，顶点的纵坐标，然后求出m，二次函数解析式，最后令y=0求出BC，运用面积公式求的面积即可． 【详解】解：抛物线的顶点到轴的距离为3，与轴交于、两点， 该函数图象开口向上，， 解得， 抛物线的解析式为：． 令，解得：， ∴BC=， ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出． （2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． （2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． （2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． （2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． （2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． （2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $