4.2.4随机变量的数字特征第1课时数学期望学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.4随机变量的数字特征（课时1）——数学期望 1、 学习目标 1. 理解离散型随机变量的数学期望(均值) 2. 掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值 3. 掌握离散型随机变量的数学期望(均值)的性质，能用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题. 2、 重难点 重点：离散型随机变量的数学期望性质，求离散型随机变量的数学期望 难点：离散型随机变量的数学期望的实际应用 新知识导入 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么？ 上述情境中，平均收益显然与p的取值有关. 当p=1时，平均收益应为5000万元； 当p=0时，平均收益应为-3000万元. 一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示. 则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望) 离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值 三、知识梳理 1.离散型随机变量数学期望：一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示. 则称为离散型随机变量 X 的 或 （简称为 ）.离散型随机变量 X 的均值 E(X) 也可用 EX 表示，它刻画了 X 的 .在离散型随机变量 X 的分布列的直观图中，E(X) 处于平衡位置. 2.二项分布、超几何分布的均值： （1）若 X 服从参数为 n，p 的二项分布，即 X ~ B(n，p) ，则 ； （2）若 X 服从参数为 N，n，M 的超几何分布，即 X ~ H(N，n，M) ，则 . 3.均值的性质：若 X 与 Y 都是随机变量，且 ，则由 X 与 Y 之间分布列的关系可知，即 . 四、例题讲解 例1 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 例2 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. (1)哪种化验方案更好？ (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 例3 一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中随机抽取，如果取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值. 五、课堂练习 1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记X是硬币落地时正面向上的次数，则( ) A. B. C. D. 2.设随机变量X的分布列如表所示，且，则( ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 3.已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是( ) X -1 0 1 P a A. B. C.1 D. 4.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分.已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( ) A.30 B.36 C.20 D.26 5.已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为，则( ) A.且 B.且 C.且 D.且 6.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的正品数的数学期望值是( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知随机变量，则( ) A. B. C. D. 六、课后练习 1.若随机变量X服从超几何分布，则( ) A.15 B.16 C.17 D.18 2.一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有X件合格品，则( ) A. B. C. D. 3.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数为X，则( ) A.1.2 B.1.8 C.2 D.3 4.设随机变量X的分布列如表所示，且，则( ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 5.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察后，X，Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定( ) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 6.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分.已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( ) A.30 B.36 C.20 D.26 答案及解析 三、知识梳理 1.均值 数学期望 期望 平均取值 2.E(X)=np 3. 四、例题讲解 例题1 解：因为 X 只能取1，0这两个值，而且 P(X=1)=p， 所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 例题2 解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若化验次数为X，则X的取值范围是{1，6}，因为5人都不患病的概率为(1-0.1)5=0.59049，所以 P(X=1) = 0.59049，P(X=6) = 1-0.59049=0.40951， 从而E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755.方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. (2) 若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X， 则E(Y) = 100E(X) = 304.755. 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 例题3 解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. 表示第一次取到正品，则， 表示第一次取到次品，第二次取到正品，则， 同理，可求得，. 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值. 五、课堂练习 1.答案：C 解析：由题可知，，因此. 故选：C. 2.解析：由，得. 又由，得， 解得，，则. 3.解析：，. ..故选B. 4.解析：记该同学罚球命中的次数为X，则， . 记该同学的得分为Y，则有， 该同学得分的数学期望为.故选D. 5.解析：由题可得，， ，. 故，且.故选：C. 6.答案：B 解析：由题意，有N件产品，其中有件次品，从中不放回地抽n件产品， 则抽到正品数X服从超几何分布， 所以抽到的正品数的数学期望值是. 故选：B. 7.答案：ABCD 解析：AB选项，，，A、B正确， C选项，，C正确; D选项，，D正确. 六、课后练习 1.答案：C 解析：因为X服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C 2.答案：D 解析：由题可得X服从超几何分布，且，，， 所以. 故选：D. 3.答案：B 解析:由题意，X的所有取值为1，2，3， 则，，， 所以. 故选：B. 4.解析：由，得.又由，得，解得，，则. 5.解析：由题可知，，，由于，故甲比乙质量好. 6.解析：记该同学罚球命中的次数为X，则，. 记该同学的得分为Y，则有， 该同学得分的数学期望为.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $