2.1等式性质与不等式性质第1课时课后作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质（1） 1.将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子的长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2x-5≥1或5-2x≥1 C. D. 2.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,a∈R,则 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 3.“x>y”是“x3-y>x2y-x”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需用摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h,设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内运送到灭火前线,则x应满足的不等式为 (　 ) A.>1 B. <1 C.+>1 D. +<1 5.(多选题)下列不等式中恒成立的是 (　 ) A.a2+3>2a B.x2+y2>xy C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab 6b.近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤,甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元钱的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次购买猪肉的平均单价分别记为m1,m2,则下列结论正确的是(　 ) A.m1=m2 B.m1>m2 C.m2>m1 D.m1,m2的大小关系无法确定 7.比较大小:+　　　　2.(填“<”“>”或“=”)  8.若a<0,-1<b<0,则将ab,ab2,a按大小顺序排列为　　　　　　(用“>”连接).  9b.现有学生若干人,住若干间宿舍.如果每间宿舍住4人,那么还余19人;如果每间宿舍住6人,那么只有一间不满但不空.求宿舍间数和学生人数. 10.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形, 从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来 (　 ) A.(a2+b2)>ab B.(a2+b2)<ab C.(a2+b2) ≥ab D.(a2+b2) ≤ab 11b.(多选题)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数.下列方案满足要求的是 (　 ) A.A型货箱28节,B型货箱22节 B.A型货箱29节,B型货箱21节 C.A型货箱31节,B型货箱19节 D.A型货箱30节,B型货箱20节 12.已知a=-,b=-,则a　　　　b.(填“>”或“<”)  13.能够说明“若a,b,m均为正数,则<”是真命题的一组数a,b可以为a=　　　　,b=　　　　.  14b.已知a,b>0,试比较+与+的大小. 15c.杠杆原理,是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,由杠杆原理可推出:左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ>0),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,再将5克砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金质量 (　 ) A.大于10克 B.小于10克 C.等于10克 D.无法确定 16b.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m(m>0)克糖(假设全部溶解),糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式; (2)利用(1)的结论比较M=,N=的大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 1.将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子的长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2x-5≥1或5-2x≥1 C. D. [解析] 由题意可知另一段绳子的长度为(5-x)m,因为两段绳子的长度之差不小于1 m,所以即故选D. 2.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,a∈R,则 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N [解析] 因为M-N=2a2-4a+7-a2+3a-6=a2-a+1=+>0,所以M>N.故选A. 3.“x>y”是“x3-y>x2y-x”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] x3-y-(x2y-x)=x3-x2y+x-y=x2(x-y)+(x-y)=(x2+1)(x-y).若x>y,则(x2+1)(x-y)>0,即x3-y>x2y-x;若x3-y>x2y-x,即(x2+1)(x-y)>0,则x>y.所以“x>y”是“x3-y>x2y-x”的充要条件.故选C. 4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需用摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h,设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内运送到灭火前线,则x应满足的不等式为 (　 ) A.>1 B. <1 C.+>1 D. +<1 [解析] 由题意,汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时,即+<1,故选D. 5.(多选题)下列不等式中恒成立的是 (　 ) A.a2+3>2a B.x2+y2>xy C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab [解析] 对于A,∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,∴a2+3>2a,A恒成立;对于B,∵x2+y2-xy=+y2≥0,∴x2+y2≥xy,B不恒成立;对于C,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),C恒成立;对于D,∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,D恒成立.故选ACD. 6b.近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤,甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元钱的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次购买猪肉的平均单价分别记为m1,m2,则下列结论正确的是(　 ) A.m1=m2 B.m1>m2 C.m2>m1 D.m1,m2的大小关系无法确定 [解析] 由题意知,m1===,m2==,显然m1>0,m2>0,===,由题意知a≠b,所以a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,所以<1,所以m1<m2,故选C. 7.比较大小:+　　　　2.(填“<”“>”或“=”)  [解析] (+)2=10+2,(2)2=20,因为10+2-20=2-10=-<0,所以(+)2<(2)2,所以+<2. 8.若a<0,-1<b<0,则将ab,ab2,a按大小顺序排列为　　　　　　(用“>”连接).  [解析] 因为a<0,-1<b<0,所以ab>0,1-b>0,b-1<0,b+1>0,所以ab-ab2=ab(1-b)>0,即ab>ab2,ab2-a=a(b2-1)=a(b+1)(b-1)>0,即ab2>a,所以ab>ab2>a. 9b.现有学生若干人,住若干间宿舍.如果每间宿舍住4人,那么还余19人;如果每间宿舍住6人,那么只有一间不满但不空.求宿舍间数和学生人数. 解:设有x间宿舍,则学生人数为4x+19,依题意得解得<x<. ∵x∈N*,∴x=10,11,12,则宿舍间数为10或11或12,对应的学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 10.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形, 从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来 (　 ) A.(a2+b2)>ab B.(a2+b2)<ab C.(a2+b2) ≥ab D.(a2+b2) ≤ab [解析] 图①是由两个等腰直角三角形构成的,面积S1=a2+b2.图②是一个矩形,面积S2=ab.因为a≠b,所以由图可知(a2+b2)>ab.故选A. 11b.(多选题)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数.下列方案满足要求的是 (　 ) A.A型货箱28节,B型货箱22节 B.A型货箱29节,B型货箱21节 C.A型货箱31节,B型货箱19节 D.A型货箱30节,B型货箱20节 [解析] 设安排x节A型货箱,y节B型货箱,则所以7x+5y=7x+5(50-x)=2x+250≥306,解得x≥28,3x+7y=3x+7(50-x)=350-4x≥230,解得x≤30,所以28≤x≤30,则或或故选ABD. 12.已知a=-,b=-,则a　　　　b.(填“>”或“<”)  [解析] a=-==,b=-==,因为>,所以+>+>0,所以<,所以<,即a<b. 13.能够说明“若a,b,m均为正数,则<”是真命题的一组数a,b可以为a=　　　　,b=　　　　.  1　2(答案不唯一)　[解析] 因为命题“若a,b,m均为正数,则<”是真命题,所以-=>0,可得0<a<b,所以可取a=1,b=2. 14b.已知a,b>0,试比较+与+的大小. 解:方法一(作差法):∵+-(+)===== ≥0,∴+≥+,当且仅当a=b时取等号. 方法二(作商法):=====1+≥1. ∵+>0,+>0,∴+≥+. 方法三(平方后作差):∵=++2,(+)2=a+b+2,∴-(+)2=.∵a>0,b>0,∴≥0,又+>0,+>0,∴+≥+. 15c.杠杆原理,是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,由杠杆原理可推出:左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ>0),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,再将5克砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金质量 (　 ) A.大于10克 B.小于10克 C.等于10克 D.无法确定 [解析] 设天平的左臂长为a,右臂长为b,则=λ(λ>0),所以a=λb.设先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2,则bm1=a×5,am2=b×5,解得m1=,m2=,所以m1+m2=+,所以(m1+m2)-10=+-10===,因为λ>0,所以>0,即m1+m2>10,所以顾客购得的黄金质量大于10 g.故选A. 16.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m(m>0)克糖(假设全部溶解),糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式; (2)利用(1)的结论比较M=,N=的大小. 解:(1)<(m>0,b>a>0). 证明:-==,因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, 所以-<0,即<. (2)M==,N=, 所以由(1)中的结论可得>,即M>N. 1 学科网（北京）股份有限公司 $