河南省郑州外国语新枫杨学校2025-2026学年高二上学期数学9月周练一

郑州外国语新枫杨学校2025-2026学年高二上学期周练一 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（    ） A． B． C．4 D．10 5. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．平面平面 C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 二．多项选择题（共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得的得部分分，有选错的得0分） 9．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 10．下列给出的命题正确的是（    ） A．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为 . 13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 14．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 四．解答题（共2小题，共27分） 15．（12分）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 16．（15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点. (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 郑州外国语新枫杨学校2025-2026学年高二上期周练一 第1 页 共 17页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语新枫杨学校2025-2026学年高二上期周练一 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解方程组得 所以两直线的交点为.因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故选：C. 2．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题设，解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：， 因为两直线的交点位于第一象限，所以，解得：， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是，故选：C. 4．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量， 则到平面的距离，故选：C. 5. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有，故选：A． 6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的外接圆的半径为，因为， 由余弦定理得，所以， 则，故， 记的外心为，连接，则 取的中点，连接，则， 又因为，可得， 因为，且平面,平面， 所以平面,平面， 又因为平面,平面，所以， 因为且平面，所以面，可得 由题意可得外接球的球心在上，设外接球的半径为， 可得，解得，即， 所以球的表面积为．故选：A. 7．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为.故选：B 8．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．平面平面 C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】D 【详解】对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴， 建立空间直角坐标系， D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， 设,，， ， 令，则，上式化为， 根据二次函数的性质知：， 直线D1P与AC所成的角为 ，故A正确; 对于B，正方体中，且面， ∴平面，平面， ∴平面平面，故B正确; 对于C，，P到平面的距离BC=1， ∴三棱锥的体积:为定值，故C正确; 对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长， 若的延长线交于，如右图截面为四边形， 若的延长线交于，设交点为，如右图截面为， 设，则，，故， 故不为直角三角形，故D错误. 故选：D 二．多项选择题（共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得的得部分分，有选错的得0分） 9．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10．下列给出的命题正确的是（    ） A．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】AC 【详解】易知，则，故A正确； 易知，则直线l与平面平行或在面内，故B错误； 若不能作为基底， 则存在，使得，整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误.故选：AC 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为， 如图①所示：   由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为 . 【详解】假设，，共面则有，， 则， 则，得， 要使，，可以构成空间向量的一个基底，则，，不共面，即， 故答案为：. 13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 14．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是， 则，，，即， ，， ，，， ， 则 是锐角，， 所以到直线的距离为． 故答案为：． 四．解答题（共2小题，共27分） 15．（12分）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【详解】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则，直线的方程为， 若，则，，直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点，直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； 6分. （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时，直线． .12分 16．（15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点. (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 【详解】（1）过作于点，由平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则， 在四棱柱中，平面， 即平面，而平面， 于是，又平面，则平面， 又平面，则， 在底面四边形中，，即， 又，则，即，且， 又有，则在等腰直角中，，即，又，则， ，又，所以. 7分. （2）由四棱柱中，平面， 以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，则，， ， 在平面中，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 则， 即，整理得，而解得， 所以. 15分. 郑州外国语新枫杨学校2025-2026学年高二上期周练一 第1 页 共 17页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $