21.2 二次函数图象和性质专题练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

二次函数图象和性质专题练习 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 2．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 3．（本题3分）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 7．（本题3分）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，在中， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 ． 12．（本题4分）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 13．（本题4分）已知函数，当 时，函数值y随x的增大而增大． 14．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 ． 15．（本题4分）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ． 16．（本题4分）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 三、解答题（共66分） 17．（本题12分）已知抛物线． (1)把该抛物线写成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？ (4)抛物线经过第几象限？ 18．（本题12分）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 19．（本题14分）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 20．（本题14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 21．（本题14分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《二次函数图象和性质专题练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D A B D C B A 1．B 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：A、抛物线，开口向上，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、抛物线，和的对称轴都为直线，故本选项符合题意； C、抛物线，的图象都在某条与x轴平行的直线上方，抛物线在某条与x轴平行的直线下方，故本选项不符合题意； D、抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意； 2．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 8．C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 10．A 【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是的过程，二是的过程，分别用含x的式子表示出y，再结合图象判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，，则， ∴， ∵四边形的面积为y， ∴， ∴当时，抛物线开口向下， 当点P沿路径运动时，此时， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是 ． 故选：A 11．(2，－5) 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解． 【详解】抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5）， ∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：(2，－5) ． 【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 12．2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 13．x≤﹣1． 【详解】试题分析：∵=，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为x≤﹣1． 考点：二次函数的性质． 14．6 【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，2），再将y=3代入，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度． 【详解】∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，3）． 当y=3时，，解得x=±3． ∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）． ∴BC=3﹣（﹣3）=6． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单． 15． 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 16．①④/④① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 17．(1)； (2)开口向下，顶点坐标，对称轴：直线； (3)当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (4)经过第一、二、三、四象限． 【分析】（）通过配方配成顶点式即可； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线， ∴； （2）由， ∴顶点坐标，对称轴为直线， ∵， ∴开口方向向下； （3）当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； （4）如图， 根据图象可知，抛物线经过第一、二、三、四象限． 18．(1)； (2)； (3)6 (4)． 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （1）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （2）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； （4）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 19．(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 20．(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 21．(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $