第1章 二次函数 单元预习-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第1章 二次函数 一、选择题 1．（4分）下列各点不在抛物线y＝x2﹣2图象上的是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（2，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2） 2．（4分）二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象的对称轴是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x D．x 3．（4分）抛物线y＝﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（4分）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 5．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　） A．向左平移8个单位 B．向右平移8个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 6．（4分）若A（，y1）、B（﹣1，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 7．（4分）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y＝﹣x2+50x﹣500，若要想获得最大利润，则销售单价x为（　　） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 8．（4分）若二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根是m，n，且a＜b，m＜n，则实数a，b，m，n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a＝1； ③当x＝0时，y2﹣y1＝4； ④2AB＝3AC； 其中正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 11．（5分）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　 　 ． 12．（5分）一个二次函数图象与x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为 　 　 ． 13．（5分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　 　 m． 14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为 　 　 ． 15．（5分）若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　 　 ． 16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： X ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论：其中正确的序号为 　 　 ． （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 三、解答题 17．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）画出y＝﹣x2+4x﹣3的图象． （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小？ 18．（8分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（2，﹣1），且过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得二次函数的解析式及其与x轴的另一个交点的坐标． 19．（8分）在关于x，y的二元一次方程组中． （1）若a＝3．求方程组的解； （2）若S＝a（3x+y），当a为何值时，S有最值． 20．（8分）在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求点B的坐标； （2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式； （3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标． 21．（10分）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？ 22．（12分）已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数yx的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数yx的图象上，请说明理由． 23．（12分）某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如表： 价格x（元/袋） … 30 40 50 60 … 销售量y（万袋） … 5 4 3 2 … 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数，或二次函数的有关知识写出y（万袋）与x（元/袋）的函数解析式． （2）求出该公司销售这种口罩的净得利润w（万元）与销售价格x（元/袋）的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大利润是多少？ （3）该公司要求净利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/袋）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 24．（14分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标． 第1章 二次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（4分）下列各点不在抛物线y＝x2﹣2图象上的是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（2，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2） 【答案】C 【分析】把各点坐标分别代入关系式检验即可． 【解答】解：A、把x＝﹣1代入y＝x2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，故点（﹣1，﹣1）在抛物线y＝x2﹣2图象上； B、把x＝2代入y＝x2﹣2得y＝4﹣2＝2，故点（2，2）在抛物线y＝x2﹣2图象上； C、把x＝﹣2代入y＝x2﹣2得y＝4﹣2＝2≠0，故点（﹣2，0）不在抛物线y＝x2﹣2图象上； D、把x＝0代入y＝x2﹣2得y＝0﹣2＝﹣2，故点（0，﹣2）在抛物线y＝x2﹣2图象上； 故选：C． 【点评】本题考查的是抛物线上点的坐标特征，需要把答案一一代入检验． 2．（4分）二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象的对称轴是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x D．x 【答案】D 【分析】此题先化抛物线的解析式为一般式，再用对称轴公式求解即可． 【解答】解：∵y＝（x﹣3）（x+2） ＝x2﹣x﹣6， ∴x． 故选：D． 【点评】此题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）对称轴公式，要求掌握并灵活运用．公式为x． 3．（4分）抛物线y＝﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】先根据判别式的值得到Δ＝﹣8＜0，根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y＝﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为1． 【解答】解：∵Δ＝22﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝﹣8＜0， ∴抛物线与x轴没有交点， 而抛物线y＝﹣3x2+2x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）， ∴抛物线y＝﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为1． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．（4分）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 【答案】C 【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确； B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x，选项B不正确； C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确； D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x，利用二次函数的性质，可得出当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确． 综上即可得出结论． 【解答】解：A、∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，选项A不正确； B、∵， ∴抛物线的对称轴为直线x，选项B不正确； C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0， ∴抛物线经过原点，选项C正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x， ∴当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　） A．向左平移8个单位 B．向右平移8个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【答案】D 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）． y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）． 所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6．（4分）若A（，y1）、B（﹣1，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】A 【分析】将二次函数y＝﹣x2+4x+5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y1，y2，y3的大小． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝2， ∵A、B、C三点中，C点离对称轴最近，A点离对称轴最远， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 7．（4分）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y＝﹣x2+50x﹣500，若要想获得最大利润，则销售单价x为（　　） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【答案】A 【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得． 【解答】解：∵y＝﹣x2+50x﹣500＝﹣（x﹣25）2+125， ∴当x＝25时，y取得最大值，最大值为125， 即销售单价为25元时，销售利润最大， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质． 8．（4分）若二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根是m，n，且a＜b，m＜n，则实数a，b，m，n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 【答案】A 【分析】由题意知m，n是二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根，所以a+b＝m+n，因为a＜b，m＜n，所以a+m＜b+n，即a+m+a+b＜b+n+m+n，可得n＞a，同理可得b＞m，因为（n﹣a）（n﹣b）﹣2＝0，所以（n﹣a）（n﹣b）＞0，即n＞b，同理m＜a，即可得出m＜a＜b＜n． 【解答】解：∵m，n是二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝x2﹣（a+b）x﹣2＝0的两根， ∴a+b＝m+n， ∵a＜b，m＜n， ∴a+m＜b+n， ∴a+m+a+b＜b+n+m+n， 即n＞a， 同理可得b＞m， ∵（n﹣a）（n﹣b）﹣2＝0， ∴（n﹣a）（n﹣b）＞0， ∵n＞a， ∴n＞b， 同理可得m＜a， ∴m＜a＜b＜n， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象开口向下可以得到a＜0；图象与x轴有两个交点则b2﹣4ac＞0；对称轴为直线x＝﹣1；当x＝﹣2时，y＜0；通过这些条件，结合对函数解析式的变式分析就可以得出结果． 【解答】解：y＝ax2+bx+c（a≠0）， 由图可知：a＜0，c＞0， ∵图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴①4ac﹣b2＜0，故①正确； ∵当x＝﹣2时，图象在x轴上方， ∴4a﹣2b+c＞0， ∴②4a+c＜2b，故②错误； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2a， 当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴ab， ∴b+b+c＜0， ∴③3b+2c＜0，故③正确； ∵当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c， ∴当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确二次函数的图象与系数的关系． 10．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a＝1； ③当x＝0时，y2﹣y1＝4； ④2AB＝3AC； 其中正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据与y2（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可． 【解答】解：①∵抛物线y2（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确； ②把A（1，3）代入，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a，故本结论错误； ③由两函数图象可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1（x+2）2﹣3，当x＝0时，y1（0+2）2﹣3，y2（0﹣3）2+1，故y2﹣y1，故本结论错误； ④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2（x﹣3）2+1交于点A（1，3）， ∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3， ∴B（﹣5，3），C（5，3） ∴AB＝6，AC＝4， ∴2AB＝3AC，故本结论正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键． 二、填空题 11．（5分）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　（x﹣1）2﹣4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 故答案为：（x﹣1）2﹣4． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 12．（5分）一个二次函数图象与x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为 　y＝﹣2x2+6x﹣4　 ． 【答案】y＝﹣2x2+6x﹣4． 【分析】借助两点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），x1和x2为抛物线x轴交点横坐标． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣1），将点（0，﹣4）代入得， 2a＝﹣4，解得a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣1） ＝﹣2x2+6x﹣4． 故答案为y＝﹣2x2+6x﹣4． 【点评】本题主要考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线解析式有三种，分别为顶点式，交点式和一般式，解题关键是选择合适的解析式求解． 13．（5分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　13.5　 m． 【答案】见试题解答内容 【分析】当y取得最大值时，飞机停下来，y＝60t（t﹣20）2+600，即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来，当t＝17时，y＝586.5，即可求解． 【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来， y＝60t（t﹣20）2+600， 即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来， 当t＝17时，y＝586.5， 600﹣586.5＝13.5， 故答案为13.5． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，本题要首先确定飞机最大滑行时间，然后确定最后3秒滑行的距离． 14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为 　﹣1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据二次函数的解析式求出点A的坐标，再用m表示出点C的坐标，代入二次函数的解析式即可求出m的值． 【解答】解：∵抛物线的解析式为（a≠0）， ∴点A的坐标为（0，）， ∴OA， 连接BC与AO交于点M， ∵四边形ABOC是正方形， ∴CM⊥AO，AM＝OA＝CMAO， ∴点C的坐标为（，）， 把点C的坐标为（，）代入二次函数得， ， m＝m2+2m， m2+m＝0， m1＝0，m2＝﹣1， ∵m1＝0时，点A与点O重合， ∴m1＝0舍去， ∴m的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了学生如何根据函数的解析式求点的坐标，需要综合运用二次函数和正方形的性质解出此题． 15．（5分）若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×2a＝0，然后解关于a的方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×2a＝0， 解得a＝2． 故答案为2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： X ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论：其中正确的序号为 　（1）、（3）、（4）．　 ． （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5值最大，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； ∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0， ∴9a+3b﹣3+3＝0， ∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确； ∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2＝（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故答案为：（1）、（3）、（4）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 三、解答题 17．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）画出y＝﹣x2+4x﹣3的图象． （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小？ 【答案】（1）当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）； 当点A在点C的右侧时，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（1，0）； （2）函数图象见解答； （3）当x＞2时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据题目中的二次函数解析式，可以求得该函数与x轴和y轴的交点坐标，从而可以写出A、B、C三点的坐标； （2）根据五点作图法，可以画出二次函数的图象； （3）根据函数图象，可以写出当x取何值时，y随着x的增大而减小． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣3）（x﹣1）， ∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝1， ∴当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）； 当点A在点C的右侧时，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（1，0）； （2）∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴该函数的顶点坐标为（2，1）， 由（1）知该函数图象过点（1，0），（0，﹣3），（3，0），则该函数图象过点（4，﹣3）， 二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象如图所示； （3）由图象可得， 当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 18．（8分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（2，﹣1），且过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得二次函数的解析式及其与x轴的另一个交点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，再把（3，0）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）先确定二次函数图象与x轴的两个交点坐标（1，0）和（3，0），则把点（1，0）平移到原点，即二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，根据左加右减的平移规律写出平移后二次函数的解析式，同时得到（3，0）平移后点的坐标为（2，0）；或者把点（3，0）平移到原点，即二次函数图象向左平移3个单位后经过坐标原点，根据左加右减的平移规律写出平移后二次函数的解析式，同时得到（1，0）平移后点的坐标为（﹣2，0）． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（2，﹣1）， ∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 把点B（3，0）代入二次函数解析式，得： 0＝a﹣1，解得a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3； （2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 所以二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0）和（3，0）． 所以二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后二次函数的解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣1，即y＝x2﹣2x，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（2，0）； 或者二次函数图象向左平移3个单位后经过坐标原点，平移后二次函数的解析式为y＝（x﹣2+3）2﹣1，即y＝x2+2x，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数图象与x轴交点坐标． 19．（8分）在关于x，y的二元一次方程组中． （1）若a＝3．求方程组的解； （2）若S＝a（3x+y），当a为何值时，S有最值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）把方程组的两个方程相加得到3x+y＝a+1，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答． 【解答】解：（1）当a＝3时，方程组为， ②×2得，4x﹣2y＝2③， ①+③得，5x＝5， 解得x＝1， 把x＝1代入①得，1+2y＝3， 解得y＝1， 所以，方程组的解是； （2）方程组的两个方程相加得，3x+y＝a+1， 所以，S＝a（3x+y）＝a（a+1）＝（a）2， 所以，当a时，S有最小值． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键． 20．（8分）在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求点B的坐标； （2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式； （3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D，易证△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的长，可以得到B点的坐标． （2）已知A，O，B三点的坐标，利用待定系数法，就可以求出抛物线的解析式． （3）△PAB的面积等于△AOB的面积，则P点到AB的距离等于O到AB的距离，即△AOB AB边上的高线长．则过点O作AB的平行线，与抛物线的对称轴的交点，以及这点关于F的对称点就是所求的点． 【解答】解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D． 则∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠AOC+∠OAC＝90度． 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∴∠OAC＝∠BOD．（1分） 又∵AO＝BO， ∴△ACO≌△ODB．（2分） ∴OD＝AC＝1，DB＝OC＝3． ∴点B的坐标为（1，3）．（4分） （2）因抛物线过原点， 故设所求抛物线的解析式为：y＝ax2+bx． 将A（﹣3，1），B（1，3）两点代入得，， 解得；．（6分） 故所求抛物线的解析式为：．（8分） （3）设直线AB的方程为y＝kx+b1，那么有：， 解得． 故直线AB的方程为：． ∴．（9分） 抛物线的对称轴l的方程是：， ， 解得． ∴F点坐标为．（10分） ∵l∥y轴，△PAB的面积等于△ABO的面积， ∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离． 即OG＝P1H＝P2M（P点有两种情况）． 则过原点O与AB平行的直线的解析式是yx． 函数yx与抛物线的交点坐标是即， 而P1关于F点的对称点．也是满足条件的点． 【点评】本题利用了全等三角形的性质，以及待定系数法求函数的解析式． 21．（10分）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；令x＝7，求出y的值，与3m比较即可作出判断． （2）将x＝1代入y（x﹣4）2+4得y＝3进而得出答案． 【解答】解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为． A（0，），B（4，4），C（7，3） 设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 将点（0，）代入可得：16a+4， 解得：a， ∴抛物线解析式为：y（x﹣4）2+4； 将C（7，3）点坐标代入抛物线解析式得： ∴（7﹣4）2+4＝3 ∴左边＝右边 即C点在抛物线上， ∴此球一定能投中． （2）能拦截成功． 理由：将x＝1代入y（x﹣4）2+4得y＝3 ∵3＜3.1 ∴他能拦截成功． 【点评】本题考查二次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型． 22．（12分）已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数yx的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数yx的图象上，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）令y＝0求得抛物线与x的交点坐标，从而可确定出1个单位长度等于小正方形边长的4倍，接下来作直线y＝1，找出直线y＝1与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解； （2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线yx的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分x的取值范围即可； （3）先依据抛物线的顶点坐标和点P的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P的坐标代入函数解析式，如果点P的坐标符合函数解析式，则点P在直线上，否则点P不在直线上． 【解答】解：（1）∵令y＝0得：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）． 作直线y＝1，交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根． 根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6． （2）∵将x＝0代入yx得y，将x＝1代入得：y＝2， ∴直线yx经过点（0，），（1，2）． 直线yx的图象如图所示： 由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）． 平移后的表达式为y＝（x+1）2+1，即y＝x2+2x+2． 点P在yx的函数图象上． 理由：∵把x＝﹣1代入得y＝1， ∴点P的坐标符合直线的解析式． ∴点P在直线yx的函数图象上． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用坐标轴上点的坐标特点、点的坐标与函数解析式的关系，函数与方程、不等式的关系，求得抛物线与x轴的交点坐标，确定出单位长度的大小以及数形结合思想的应用是解题的关键． 23．（12分）某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如表： 价格x（元/袋） … 30 40 50 60 … 销售量y（万袋） … 5 4 3 2 … 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数，或二次函数的有关知识写出y（万袋）与x（元/袋）的函数解析式． （2）求出该公司销售这种口罩的净得利润w（万元）与销售价格x（元/袋）的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大利润是多少？ （3）该公司要求净利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/袋）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 【答案】（1）yx+8；（2）wx2+10x﹣200，销售价格定为50元/袋时净得利润最大，最大值是50万元；（3）40≤x≤60，销售价格应定为40元/袋． 【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据w＝（x﹣20）y﹣40得出w与x的函数关系式，求出即可； （3）首先求出40（x﹣50）2+50时x的值，进而得出x的取值范围． 【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系， 设解析式为：y＝ax+b， 则， 解得：a，b＝8， 故函数解析式为：yx+8； （2）根据题意得出： w＝（x﹣20）y﹣40 ＝（x﹣20）（x+8）﹣40 x2+10x﹣200， （x2﹣100x）﹣200 [（x﹣50）2﹣2500]﹣200 （x﹣50）2+50， 故销售价格定为50元/袋时净得利润最大，最大值是50万元； （3）当公司要求净得利润为40万元时， 即（x﹣50）2+50＝40， 解得：x1＝40，x2＝60． 如图，通过观察函数y（x﹣50）2+50的图象， 可知按照公司要求使净得利润不低于40万元， 则销售价格的取值范围为：40≤x≤60． 而y与x的函数关系式为：yx+8，y随x的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/袋． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键． 24．（14分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解； （2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况进行讨论，分别求解即可； （3）利用S四边形AEBDAB（yD﹣yE），即可求解． 【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3； 故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1， 则AB＝PF＝2， 则点P坐标为（4，3）， 当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P（4，3）或（0，3）； ②当AB是四边形的对角线时，如图2， AB中点坐标为（2，0） 设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为：， 即：2，解得：m＝2， 故点P（2，﹣1）； 故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）； （3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3）， S四边形AEBDAB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值， 当x，其最大值为，此时点E（，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $