第5章 投影与视图 单元预习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第5章 投影与视图 一、选择题 1.(3分)如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒,该礼盒的主视图是( ) A. B. C. D. 2.(3分)下列图中是太阳光下形成的影子是( ) A. B. C. D. 3.(3分)下列说法正确的是( ) A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关 B.小明的个子比小亮高,我们可以肯定,不论什么情况,小明的影子一定比小亮的影子长 C.物体在阳光照射下,不同时刻,影长可能发生变化,方向也可能发生变化 D.物体在阳光照射下,影子的长度和方向都是固定不变的 4.(3分)如图,是某一实物的示意图,那么它的主视图是( ) A. B. C. D. 5.(3分)下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子:将它们按时间先后顺序进行排列,正确的是( ) A.④③②① B.③④①② C.②④③① D.①②③④ 6.(3分)如图所示的两个物体,按箭头表示方向观察物体,下列说法正确的是( ) A.它们的主视图、左视图相同,俯视图不同 B.它们的主视图、俯视图相同,左视图不同 C.它们的左视图、俯视图相同,主视图不同 D.它们的主视图、左视图和俯视图都相同 7.(3分)如图,是某工件的三视图,其中圆的半径为10cm,等腰三角形的高为30cm,则等腰三角形的腰长是( ) A.15cm B.30cm C.5cm D.10cm 8.(3分)如图,小亮小区内有一条笔直的小路,一天晚上,他从点A经过路灯C的正下方走到点B(点A,B与点C的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.(3分)圆形的物体在太阳光的投影下是 . 10.(3分)乐乐和爸爸到广场散步,爸爸的身高是176cm,乐乐的身高是156cm,在同一时刻爸爸的影长是44cm,那么乐乐的影长是 cm. 11.(3分)身高相同的小叶和小玲站在不同的位置,如果小玲在灯光下的影子比小叶的长,则小玲比小叶离灯 . 12.(3分)如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图,则它的侧面积为 cm2. 13.(3分)如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知王华同学的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,则两个路灯之间的距离是 米. 14.(3分)在平面直角坐标系内,一点光源位于点A(0,5)处,线段CD垂直于x轴,垂足为点D,点C的坐标为C(3,1),则CD在x轴上的影长为 ,点C的影子的坐标为 . 三、解答题 15.(6分)分别画出如图所示的实物的三种视图. (1) (2) 16.(8分)如图为一个几何体的三视图,请判断这个几何体的形状,并根据图中的数据,求这个几何体的表面积. 17.(6分)根据物体的三视图(如图)描述物体的形状.(画出草图) 18.(8分)已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=2m,某一时刻AB在太阳光下的投影BC=1m. (1)请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF; (2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在太阳光下的投影EF=1.5m,请你计算DE的长. 19.(6分)如图,在同一个路灯下,标杆AB的影子是BC,小明DE的影子是EF. (1)在图中画出标杆GH在这个路灯下的影子; (2)若小明的身高是1.5m,影长为3m,他离路灯的水平距离9m,他想使自己影子和身高相同,他该怎样移动? 20.(8分)(1)如图所示,如果你的位置在点A,你能看到后面那座高大的建筑物吗?为什么? (2)如果两楼之间相距MN=20m,两楼的高各为10m和30m,则当你至少与M楼相距多少m时,才能看到后面的N楼?此时,你的视角 是多少度? 21.(8分)有一棵高大的松树,要测出它的高度,但不能爬到树上去,也不能将树砍倒,你能说出几种方法吗?说一说你的这些方法. 22.(8分)如图,某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米,两楼的高都是20米,A楼在B楼正南,B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米,窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30 角时,A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光?若影响,挡住该住户窗户多高?若不影响,请说明理由.(参考数据:1.414,1.732,2.236) 第5章 投影与视图 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(3分)如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒,该礼盒的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可. 【解答】解:从正面可看到两个相邻的长方形左右放置,右边的长方形较小,符合要求的是选项A. 故选:A. 【点评】本题考查了三视图的知识,解题的关键是明确主视图是从物体的正面看得到的视图. 2.(3分)下列图中是太阳光下形成的影子是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据平行投影特点在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例可知. 【解答】解:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同.B、D的影子方向相反,都错误; C中物体的物高和影长不成比例,也错误. 故选:A. 【点评】本题考查了平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例. 3.(3分)下列说法正确的是( ) A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关 B.小明的个子比小亮高,我们可以肯定,不论什么情况,小明的影子一定比小亮的影子长 C.物体在阳光照射下,不同时刻,影长可能发生变化,方向也可能发生变化 D.物体在阳光照射下,影子的长度和方向都是固定不变的 【答案】C 【分析】根据平行投影的规律作答. 【解答】解:A、物体在阳光下的投影不只与物体的高度有关,还与时刻有关,错误; B、小明的个子比小亮高,在不同的时间,小明的影子可能比小亮的影子短,错误; C、不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变,方向也在改变,正确; D、不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变,方向也在改变,错误. 故选:C. 【点评】平行投影的特点:在不同时刻,同一物体的影子的方向和大小可能不同,不同时刻的同一物体在太阳光下的影子的大小也在变化. 4.(3分)如图,是某一实物的示意图,那么它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】细心观察图中几何体摆放的位置和形状,根据主视图是从正面看到的图象判定则可. 【解答】解:正面看,它是中间小两头大的一个图形,里面有两条虚线,表示看不到的棱. 故选:B. 【点评】本题考查了立体图形的三视图,看得到的棱画实线,看不到的棱画虚线. 5.(3分)下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子:将它们按时间先后顺序进行排列,正确的是( ) A.④③②① B.③④①② C.②④③① D.①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行投影的定义判断即可. 【解答】解:一天中四个不同时刻两个建筑物的影子:将它们按时间先后顺序进行排列应该是:①②③④. 故选:D. 【点评】本题考查平行投影,解题的关键是理解平行投影的定义,属于中考常考题型. 6.(3分)如图所示的两个物体,按箭头表示方向观察物体,下列说法正确的是( ) A.它们的主视图、左视图相同,俯视图不同 B.它们的主视图、俯视图相同,左视图不同 C.它们的左视图、俯视图相同,主视图不同 D.它们的主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图,俯视图是从上面看得到的图形,左视图是左边看得到的图形,可得答案. 【解答】解:第一个几何体的三视图如下: 第二个几何体的三视图如下: 观察可知这两个几何体的主视图和俯视图都相同,左视图不同, 故选:B. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,利用三视图的意义是解题关键. 7.(3分)如图,是某工件的三视图,其中圆的半径为10cm,等腰三角形的高为30cm,则等腰三角形的腰长是( ) A.15cm B.30cm C.5cm D.10cm 【答案】D 【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,可以判断这个工件的几何体是圆锥.由等腰三角形的高为30cm,底面半径为10cm,利用勾股定理计算腰长. 【解答】解:由题意知该几何体为圆锥. ∵圆的半径为10cm, ∴等腰三角形的底长为20cm,高为30cm; 由勾股定理知:等腰三角形的腰10(cm), 故选:D. 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识. 8.(3分)如图,小亮小区内有一条笔直的小路,一天晚上,他从点A经过路灯C的正下方走到点B(点A,B与点C的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据中心投影的性质得出小明在灯下走的过程中应长随路程之间的变化,进而得出符合要求的图象. 【解答】解:小亮在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系, 应为当小亮走到灯下以前为:y随x的增大而减小,离开灯走到N:y随x的增大而增大, ∴用图象刻画出来应为B. 故选:B. 【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质,得出y随x的变化规律是解决问题的关键. 二、填空题 9.(3分)圆形的物体在太阳光的投影下是 圆或椭圆或线段 . 【答案】圆或椭圆或线段. 【分析】根据圆形的物体与太阳光线的位置关系进行判断. 【解答】解:圆形的物体在太阳光的投影下可能为圆形,也可能为椭圆形或者线段. 故答案为:圆或椭圆或线段. 【点评】本题考查了平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影. 10.(3分)乐乐和爸爸到广场散步,爸爸的身高是176cm,乐乐的身高是156cm,在同一时刻爸爸的影长是44cm,那么乐乐的影长是 39 cm. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相同地点,同一时刻的身高与影长成正比列出比例式,然后进行计算即可得解. 【解答】解:设乐乐的影长是xcm, 根据题意得,, 解得x=39cm. 故答案为:39. 【点评】本题考查了相似三角形的应用,利用相同地点,同一时刻的身高与影长成正比列出比例式是解题的关键. 11.(3分)身高相同的小叶和小玲站在不同的位置,如果小玲在灯光下的影子比小叶的长,则小玲比小叶离灯 远 . 【答案】远. 【分析】中心投影的特点是:等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长.据此判断即可. 【解答】解:中心投影的特点是:等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长. 所以小玲比小叶离灯远. 故答案为:远. 【点评】本题考查了中心投影的特点和规律.中心投影的特点是:①等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长.②等长的物体平行于地面放置时,在灯光下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短. 12.(3分)如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图,则它的侧面积为 36 cm2. 【答案】见试题解答内容 【分析】正六角螺母的侧面积是六个长方形面积的和. 【解答】解:这个正六角螺母的侧面积为:6 S长方形=6 3 2=36(cm2). 答:该正六角螺母的侧面积为36cm2. 故答案为:36. 【点评】本题考查了由三视图判断几何体、几何体的表面积、几何体的展开图,从实物出发,结合具体的问题,辨析几何体的展开图,通过结合立体图形与平面图形的转化,建立空间观念,是解决此类问题的关键. 13.(3分)如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知王华同学的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,则两个路灯之间的距离是 18 米. 【答案】见试题解答内容 【分析】依题意得到 APM∽ ABD,则,由它可以求出AB即可. 【解答】解:由对称性可知AP=BQ,设AP=BQ=xm ∵MP∥BD,∴ APM∽ ABD, ∴, ∴, ∴x=3 经检验x=3是原方程的根,并且符合题意. ∴AB=2x+12=2 3+12=18(m) 答:两个路灯之间的距离为18米. 故答案为:18. 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用,正确得出相似三角形是解题关键. 14.(3分)在平面直角坐标系内,一点光源位于点A(0,5)处,线段CD垂直于x轴,垂足为点D,点C的坐标为C(3,1),则CD在x轴上的影长为 ,点C的影子的坐标为 (3.75,0) . 【答案】,(3.75,0). 【分析】画出相应图形,可得相似三角形,利用相似三角形的对应边的比相等可得影长DE,加上3即为点E的横坐标,其纵坐标为0. 【解答】解:如图, ∵OA⊥x轴,CD⊥x轴, ∴CD∥OA, ∴ CDE∽ AOE, ∴DE:EO=CD:OA, 设DE=x, ∴, 解得:x, ∴DE, ∴OE=3+0.75=3.75, ∴点E的坐标为(3.75,0). 故答案为:,(3.75,0). 【点评】此题考查了中心投影和平面直角坐标系的知识,还考查了相似三角形的判定与性质,相似三角形的对应边成比例. 三、解答题 15.(6分)分别画出如图所示的实物的三种视图. (1) (2) 【答案】图见解析. 【分析】根据三视图的定义,画出图形即可. 【解答】解:(1)三视图如图所示: (2)三视图如图所示: 【点评】本题考查作图﹣三视图,解题的关键是理解三视图的定义,属于中考常考题型. 16.(8分)如图为一个几何体的三视图,请判断这个几何体的形状,并根据图中的数据,求这个几何体的表面积. 【答案】半圆柱;10 +12. 【分析】根据三视图即可判断;根据表面积公式计算即可. 【解答】解:通过三视图可知该几何体是半圆柱; 表面积 22+2 3+4 3=10 +12. 【点评】本题考查三视图,几何体的表面积,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 17.(6分)根据物体的三视图(如图)描述物体的形状.(画出草图) 【答案】详见解答. 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出相应的图形即可. 【解答】解:这个几何体的三视图如下: 【点评】本题考查简单几何体的三视图,理解视图的定义,掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键,理解看得见的轮廓线用实线表示,看不见的轮廓线用虚线表示是正确画图的前提. 18.(8分)已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=2m,某一时刻AB在太阳光下的投影BC=1m. (1)请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF; (2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在太阳光下的投影EF=1.5m,请你计算DE的长. 【答案】(1)图形见解答; (2)3m. 【分析】(1)根据太阳光线为平行光线,连接AC,然后过D点作AC的平行线交BC于E即可; (2)证明 ABC∽ DEF,利用相似比计算DE的长. 【解答】解:(1)连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影,如图; (2)∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE. ∵∠ABC=∠DEF=90 , ∴ ABC∽ DEF, ∴, ∴, ∴DE=3(m). 答:DE的长为3m. 【点评】本题考查了平平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影. 19.(6分)如图,在同一个路灯下,标杆AB的影子是BC,小明DE的影子是EF. (1)在图中画出标杆GH在这个路灯下的影子; (2)若小明的身高是1.5m,影长为3m,他离路灯的水平距离9m,他想使自己影子和身高相同,他该怎样移动? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)先连接AC、DF,在反向延长确定光源的位置O,连接OG并延长交地面于点M,进而得出GH在这个路灯下的影子HM; (2)根据相似三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求解. 【解答】解:(1)如图,标杆GH在这个路灯下的影子为HM, (2)依题意有, 解得:路灯高=6, 6﹣1.5=4.5(米). 故他应向路灯走进4.5米,才能使自己影子和身高相同. 【点评】本题考查了中心投影的作图,是基础知识要熟练掌握. 20.(8分)(1)如图所示,如果你的位置在点A,你能看到后面那座高大的建筑物吗?为什么? (2)如果两楼之间相距MN=20m,两楼的高各为10m和30m,则当你至少与M楼相距多少m时,才能看到后面的N楼?此时,你的视角 是多少度? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)连接点A与M楼的顶点,则可得出能否看到后面那座高大的建筑物; (2)构造直角三角形,设AM=x,则根据,可得出AM的长度,继而也可求出视角 的度数. 【解答】解:(1)所作图形如下: 所以能看见后面的大楼,因为大楼没有处在盲区. (2) 由题意得,MN=20m,FM=10m,EN=30m, 设AM=x,则,即, 解得:x=10,即AM=10米. tan ,可得 =30 . 答:当你至少与M楼相距10m时,才能看到后面的N楼,此时,你的视角 =30 . 【点评】此题考查了盲区、视角的知识,关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题. 21.(8分)有一棵高大的松树,要测出它的高度,但不能爬到树上去,也不能将树砍倒,你能说出几种方法吗?说一说你的这些方法. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)可将一小木棒A′B′也立在阳光下,测量小木棒(A′B′)此时的影子长B′C′和树的影子长BC,再测量小木棒A′B′的长,利用线段之间的比例即可求解; (2)找一根比你身体高一点的木棒,将它竖直立在地上,你沿CE方向,从木棒DF的F处往后退到G点,使眼睛可以看到木棒顶端D与树尖A在同一条直线上,同时,测出水平方向与木棒DF和树AB的交点E,C,HG为眼睛离地面的高度. (3)把一面镜子放在距AB一定距离的C点,你自己注视着镜子,同时慢慢地离开镜子,直到镜子中出现树尖A的像A′时才止步. 【解答】解:方法一:如图,将一小木棒A′B′也立在阳光下,测量小木棒(A′B′)此时的影子长B′C′和树的影子长BC,测量小木棒A′B′的长, 则易知 ABC∽ A′B′C′, 故有, 所以. 因为A′B′,BC及B′C′都已经测量出来,从而可计算得到树高AB. 方法二:为了方便计算,还可将方法一改进一下,即不断测量小木棒的影长B′C′,直到它与A′B′相等时,此时测量树的影长BC,则树高AB恰好等于此时的影长BC. 方法三:找一根比你身体高一点的木棒,将它竖直立在地上,你沿CE方向,从木棒DF的F处往后退到G点,使眼睛可以看到木棒顶端D与树尖A在同一条直线上,同时,测出水平方向与木棒DF和树AB的交点E,C,HG为眼睛离地面的高度. 易知 HDE∽ HAC,从而, 故, 所以只要测出HC,DE,HE,就可以用上式求得AC,从而树高AB=AC+BC,这样,树高就可以求得了. 方法四:把一面镜子放在距AB一定距离的C点,你自己注视着镜子,同时慢慢地离开镜子,直到镜子中出现树尖A的像A′时才止步,如图. 易知AB=A′B′,且 A′BC∽ EFC, 从而,即, 所以,树高. 只要测出BC,FC和EF的长(注意:EF是测量者的眼睛距离地面的高度,而不是整个人的身高),就可以求出树高AB了. 【点评】主要考查的是通过三角形相似,巧妙解决一些生活中的实际问题的能力. 22.(8分)如图,某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米,两楼的高都是20米,A楼在B楼正南,B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米,窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30 角时,A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光?若影响,挡住该住户窗户多高?若不影响,请说明理由.(参考数据:1.414,1.732,2.236) 【答案】见试题解答内容 【分析】分别利用直角三角形的性质及三角函数求出FG、MG,然后求ED的值,若其值大于零则影响,反之不影响. 【解答】解:如图,设光线FE影响到B楼的E处. 作EG⊥FM于G,由题知:四边形GMNE是矩形, ∴EG=MN=30米,∠FEG=30 , 在Rt EGF中, FG=EG tan30 =MN tan30 =301017.32(米). 则MG=FM﹣GF=20﹣17.32=2.68(米), 因为DN=2,CD=1.8,所以ED=2.68﹣2=0.68(米), 即A楼影子影响到B楼一楼采光,挡住该户窗户0.68米. 【点评】此题考查了学生对坡度坡角在实际生活中的运用能力. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $