第23章 旋转 单元预习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 一、选择题 1．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　） A．（，） B．（1，0） C．（，） D．（0，﹣1） 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，有A（﹣1，﹣2）、B（2，﹣1）、C（﹣2，﹣1）、D（﹣2，1）四点，其中，关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点C B．点B和点C C．点C和点D D．点B和点D 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，把点A（3，4）绕点O逆时针旋转90°，则点A可以到达的位置是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．经过以下变化后所得到的三角形不能和△ABC全等的是（　　） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．放大 9．如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 10．如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 11．如图，在Rt△ABC与Rt△DEB中，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，AC＝BD＝2，若将Rt△DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（　　） A．边上 B．外部 C．内部 D．以上都有可能 12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 13．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（　　） A．（6052，0） B．（6054，2） C．（6058，0） D．（6060，2） 二、填空题 15．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，将其两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用11个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　 　 ．（结果用含a，b代数式表示） 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2）．将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 　 　 ． 17．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 　 　 ． 18．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为　 　 ． 19．已知点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1），则A点坐标为　 　 ． 20．八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为 　 　 ． 21．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 　 　 ． 22．如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝　 　 ． 三、解答题 23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2； （3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积． 24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长． 25．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将三角形BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝2，OC＝3，求三角形ADO的面积． 26．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积． 27．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为：A（2，3）、B（3，1）、O（0，0）． （1）将△ABO向左平移4个单位，画出平移后的△A1B1O1． （2）将点O为对称中心，画出与△ABO成中心对称的△A2B2O．此时四边形ABA2B2的形状是　 　 ． （3）在平面上是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值． 29．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想DE、AD、BE之间有何数量关系？并证明你的猜想． 第23章 旋转 参考答案与试题解析 一、选择题 1．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称， ∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝﹣2，n＝7， 则m+n＝﹣2+7＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由旋转的性质及∠B＝60°可得△ABD是等边三角形，从而BD＝AB，则由CD＝BC﹣BD计算即可得出答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE， ∴AD＝AB， ∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵AB＝5，BC＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　） A．（，） B．（1，0） C．（，） D．（0，﹣1） 【答案】A 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴A（0，1）， ∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1（，），A2（1，0），A3（，），…， 发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3， ∴点A2019的坐标为（，） 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【解答】解：A．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 6．在平面直角坐标系中，有A（﹣1，﹣2）、B（2，﹣1）、C（﹣2，﹣1）、D（﹣2，1）四点，其中，关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点C B．点B和点C C．点C和点D D．点B和点D 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【解答】解：B（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称， 故选：D． 【点评】本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握P（a，b）关于原点对称点的坐标P′（﹣a，﹣b）是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，把点A（3，4）绕点O逆时针旋转90°，则点A可以到达的位置是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】利用网格特点和旋转的性质作出点A的对应点即可得到点A可以到达的位置． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，把点A（3，4）绕点O逆时针旋转90°得到（﹣4，3）， ∴点A可以到达的位置是M， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记旋转的性质是解题的关键，也是本题的难点． 8．经过以下变化后所得到的三角形不能和△ABC全等的是（　　） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．放大 【答案】D 【分析】根据平移，旋转，翻折的性质即可解决问题． 【解答】解：∵平移，旋转，翻折前后的三角形全等， ∴选项A，B，C不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查几何变换综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【答案】C 【分析】首先根据平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，得出点C与点A关于原点对称，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【解答】解：∵原点O恰好是▱ABCD对角线的交点， ∴点C与点A关于原点对称， 又∵关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为（2，3）， ∴C点坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的对称性，平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，与坐标系结合在一起，可确定点的坐标． 10．如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先计算出OC＝6，根据等边三角形的性质得∠A＝∠C＝60°，再根据旋转的性质得OD＝OP，∠POD＝60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1+∠2+∠A＝180°，∠1+∠3+∠POD＝180°，利用等量代换可得∠2＝∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP＝CO＝6． 【解答】解：如图， ∵AC＝10，AO＝3， ∴OC＝7， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°， ∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上， ∴OD＝OP，∠POD＝60°， ∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠1+∠3+∠POD＝180°， ∴∠1+∠2＝120°，∠1+∠3＝120°， ∴∠2＝∠3， 在△AOP和△CDO中 ∵， ∴△AOP≌△CDO， ∴AP＝CO＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 11．如图，在Rt△ABC与Rt△DEB中，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，AC＝BD＝2，若将Rt△DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（　　） A．边上 B．外部 C．内部 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′＝45°，∠E′＝∠DEB＝90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上． 【解答】解：∵AC＝BD＝2， 又∵∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， ∴BE＝1，AB＝BC， 由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′＝45°，∠E′＝∠DEB＝90°， ∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′＝BE＝1， ∴BG， ∴BG＝AB， ∴点A在△D′E′B的边上， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键． 12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°，由四边形内角和定理可求解． 【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′， ∴∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°， ∴∠DOB'＝360°﹣∠D﹣∠B'﹣∠DAB'＝135°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE＝OM，∠EOM＝90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF＝∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的，再求出正方形B的面积＝2正方形A的面积，即可得出答案． 【解答】解： 设正方形B对角线的交点为O，如图1， 设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°， ∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°， ∴∠EOF＝∠MON， 在△OEF和△OMN中 ， ∴△OEF≌△OMN（ASA）， ∴阴影部分的面积＝S四边形NOEW+S△OEF＝S四边形NOEW+S△OMN＝S四边形MOEWS正方形CTKW， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B的面积的四分之一， 同理图2中阴影部分的面积＝正方形A的面积的四分之一， ∵图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的， ∴正方形B的面积＝正方形A的面积的2倍， ∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（　　） A．（6052，0） B．（6054，2） C．（6058，0） D．（6060，2） 【答案】C 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2019的坐标． 【解答】解：∵AO，BO＝2， ∴AB， ∴OA+AB1+B1C2＝6， ∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2， ∴B4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054． ∴点B2018的纵坐标为：2． ∴点B2018的坐标为：（6054，2）， ∴B2019的横坐标为60546058， ∴点B2019的坐标为（6058，0）， 故选：C． 【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键． 二、填空题 15．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，将其两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用11个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　a+10b　 ．（结果用含a，b代数式表示） 【答案】a+10b． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：图形的总长度＝11[a﹣（a﹣b）]+a﹣b＝a+10b， 故答案为：a+10b＞ 【点评】本题考查轴对称图形，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2）．将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 　（3，1）　 ． 【答案】（3，1）． 【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出OA＝CH＝1，OB＝AH＝2，可得结论． 【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H． ∵A（1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， ∵∠AOB＝∠AHC＝∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， 在△AOB和∠CHA中， ， ∴△AOB≌△CHA（AAS）， ∴OA＝CH＝1，OB＝AH＝2， ∴OH＝OA+AH＝1+2＝3， ∴C（3，1）， 故答案为：（3，1）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】连接AD，由已知得出DC＝1，由等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝2，BDBC2＝1，由勾股定理得出AD，当正方形DEFFG绕点旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD+AE＝DE，即此时AE取最小值，求出此时AG的长度即可． 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点， ∴BD＝CD1，AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AD， 当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD． 此时AE取最小值， 在Rt△ADG中，AG， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 18．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为　72°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合， 故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 19．已知点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1），则A点坐标为　（4，﹣3）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用旋转的性质得到点（0，﹣1）为AB的中点，利用线段中点坐标公式得到0，1，然后求出a、b即可得到A点坐标． 【解答】解：∵点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1）， ∴点（0，﹣1）为AB的中点， ∴0，1，解得a＝4，b＝﹣3， ∴A点坐标为（4，﹣3）． 故答案为（4，﹣3）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 20．八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为 　yx　 ． 【答案】yx． 【分析】过P作PB⊥OB于B，，易知OB＝3，PB＝4，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式． 【解答】解：如图，过P作PB⊥OB于B． ∵正方形的边长为1， ∴OB＝3，PB＝4， ∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴三角形ABP面积是8÷+1＝5， ∴BP•AB＝10，即4•AB＝5， ∴AB， ∴OA＝3， 由此可知直线l经过（0，），（4，3）． 设直线l的解析式为y＝kx+b， 则，解得， ∴直线l解析式为yx． 故答案为：yx． 【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作PB⊥y轴，作PC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABP面积是10，利用三角形的面积公式求出AB的长． 21．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 　①②　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l＝2（a+2b+c），a＝b+d，b＝c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可． 【解答】解：如图1： 设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l， 则l＝2（a+2b+c）， 根据图示，可得， ①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c， ∴2b＝a+c， ∴l＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b， ∴2（a+c），4b， ∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，值为一定， ∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道． ∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②． 故答案为：①②． 【点评】此题主要考查了整式的加减，中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 22．如图，点D是等边△ABC中AB边上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，BE，若∠AED＝60°，AE＝6，BE＝2，则CE＝　10　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF＝BF，过点E作EH⊥BF，由“SAS”可证△ACE≌△ABF，可得CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°，由直角三角形的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：如图，延长ED，使EF＝AE，连接AF，BF，过点E作EH⊥BF， ∵∠AED＝60°，AE＝EF＝6， ∴△AEF是等边三角形，∠AEC＝120°， ∴∠AFE＝∠EAF＝60°＝∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAF，且AC＝AB，AE＝AF， ∴△ACE≌△ABF（SAS） ∴CE＝BF，∠AEC＝∠AFB＝120°， ∴∠EFB＝60°，且EH⊥BF， ∴FHEF＝3，EHFH＝3， ∴BH7， ∴CE＝BF＝FH+BH＝3+7＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本题的关键． 三、解答题 23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2； （3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可； （3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）线段A1B1如图所示； （2）线段A1B2如图所示； （3）S4×42×22×42×4＝6． 【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形； （2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长． 【解答】证明：（1）∵对角线AC的中点为O ∴AO＝CO，且AG＝CH ∴GO＝HO ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB ∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA） ∴FO＝EO，且GO＝HO ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）如图，连接CE ∵∠α＝90°， ∴EF⊥AC，且AO＝CO ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2， ∴AE2＝（9﹣AE）2+9， ∴AE＝5 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 25．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将三角形BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝2，OC＝3，求三角形ADO的面积． 【答案】（1）60°． （2）3． 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解； （2）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长，再在直角△AOD中利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：（2）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO， ∵∠ACB＝60°， ∴∠DCO＝60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC＝60°； （2）由旋转的性质得，AD＝OB＝2， ∵△OCD为等边三角形， ∴OD＝OC＝3， ∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝90°， ∴S△AOD•OD•AD2×3＝3． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是证明∠ADO＝90°，利用勾股定理解决问题． 26．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积． 【答案】24+9． 【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝6，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用SS四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ进行计算． 【解答】解：连接PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AP＝AQ＝6，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝6， ∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△APC和△ABQ中， ∵， ∴△APC≌△ABQ（SAS）， ∴PC＝QB＝10， 在△BPQ中， ∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102， 而64+36＝100， ∴PB2+PQ2＝BQ2， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ6×862＝24+9， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了勾股定理和等边三角形的性质，灵活掌握旋转的性质是解决问题的关键． 27．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为：A（2，3）、B（3，1）、O（0，0）． （1）将△ABO向左平移4个单位，画出平移后的△A1B1O1． （2）将点O为对称中心，画出与△ABO成中心对称的△A2B2O．此时四边形ABA2B2的形状是　平行四边形　 ． （3）在平面上是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质结合平行四边形的判定方法得出答案； （3）直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）△A1B1O1，即为所求； （2）△A2B2O，即为所求，此时四边形ABA2B2的形状是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （3）如图所示：D1（﹣1，2）；D2（1，﹣2）；D3（5，4）都是符合题意的点． 【点评】此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 28．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，即可求解； （2）根据勾股定理，即可列方程求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x． ∴，解得1＜x＜2．　（4分） （2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解． ②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得，满足1＜x＜2． ③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得，满足1＜x＜2． ∴或． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 29．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想DE、AD、BE之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）DE＝AD﹣BE，理由见解析过程． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得AD＝CE，CD＝BE，可得结论； （2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得AD＝CE，CD＝BE，可得结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵BE⊥MN， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝DC+CE＝AD+BE； （2）DE＝AD﹣BE， 理由如下：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥MN， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． 【点评】本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $