第24章 圆 单元预习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 一、选择题 1.(4分)已知⊙O的半径是5,直线l是⊙O的切线,则圆心O到直线l的距离是( ) A.5 B.2.5 C.3 D.10 2.(4分)如图,在 ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O与BC相切于点B,则AC等于( ) A. B. C.2 D.2 3.(4分)如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,则∠BPC等于( ) A.30 B.60 C.90 D.45 4.(4分)一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) A.16cm或6cm B.3cm或8cm C.3cm D.8cm 5.(4分)如图,⊙O内切于 ABC,切点分别为D,E,F.已知∠B=50 ,∠C=60 ,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( ) A.40 B.55 C.65 D.70 6.(4分)如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1,扇形的圆心角等于90 ,则扇形的半径是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.(4分)如图,边长为a的六角螺帽在桌面上滚动(没有滑动)一周,则它的中心O点所经过的路径长为( ) A.6a B.5a C.2a D. 8.(4分)如图是一个餐盘,它的外围是由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成,已知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是( ) A.50 ﹣50 B.50 ﹣25 C.25 +50 D.50 9.(4分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C,D,若PA=4,则 PCD的周长为( ) A.5 B.7 C.8 D.10 10.(4分)如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于点D,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论正确的有( ) ①AD⊥BC; ②∠EDA=∠ABC; ③OAAC; ④DE是⊙O的切线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 11.(5分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,若以点A为圆心,以4为半径作⊙A,则点A,点B,点C,点D四点中在⊙A外的是 . 12.(5分) ABC的三边长分别为6,8,10,则 ABC的外接圆的半径为 . 13.(5分)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,其半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为 . 14.(5分)如图,AB是半圆O的直径,且AB=10,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留 ) 15.(5分)如图, ABC为等边三角形,AB=6,动点O在 ABC的边上从点A出发沿着A C B A的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与 ABC的边第二次相切时是出发后第 秒. 16.(5分)如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为5cm,母线OE(OF)长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm. 三、解答题 17.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=20 ,求∠BAD的度数. 18.(8分)如图,在 AOC中,∠AOC=90 ,以点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点B,且OB=BC,求∠A的度数. 19.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,切点为A,D为⊙O上一点,AD与OC相交于点E,且∠DAB=∠C (1)求证:OC∥BD; (2)若AO=5,AD=8,求线段CE的长. 20.(10分)如图,半径为2的正三角形ABC的中心为O,过O与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积. 21.(10分)如图,AC是⊙O的弦,AD经过圆心O,交⊙O于点B,直线CD与⊙O相切,∠CAD=30 . (1)求证:AD=3AO. (2)若⊙O半径为5,求阴影部分的周长. 22.(10分)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E (1)求证:DE=AB; (2)以A为圆心,AB长为半径作圆弧交AF于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG的面积.(结果保留 ) 23.(12分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BE与⊙O相切; (2)设OE交⊙O于点F,若DF=2,BC=4,求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S. 24.(14分)如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G (1)求证:BC是⊙F的切线; (2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),D(2,0),求⊙F的半径; (3)求证:AFAD+CD. 第24章 圆 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(4分)已知⊙O的半径是5,直线l是⊙O的切线,则圆心O到直线l的距离是( ) A.5 B.2.5 C.3 D.10 【答案】A 【分析】利用切线的性质求解. 【解答】解:∵直线l是⊙O的切线, ∴圆心O到直线l的距离等于圆的半径, 即圆心O到直线l的距离为5 故选:A. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.(4分)如图,在 ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O与BC相切于点B,则AC等于( ) A. B. C.2 D.2 【答案】C 【分析】首先由切线的性质判定 ABC是直角三角形,进而可根据勾股定理求出AC的长. 【解答】解:∵BC是⊙O的切线,且切点为B, ∴∠ABC=90 , 故 ABC是等腰直角三角形; 由勾股定理,得:AC2;故选C. 【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用. 3.(4分)如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,则∠BPC等于( ) A.30 B.60 C.90 D.45 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质知,∠A=60 ,即弧BC的度数为60 ,可求∠BPC=60 . 【解答】解:∵ ABC正三角形, ∴∠A=60 , ∴∠BPC=60 . 故选:B. 【点评】本题利用了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.和等边三角形的性质求解. 4.(4分)一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) A.16cm或6cm B.3cm或8cm C.3cm D.8cm 【答案】B 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论.当点P在圆内时,点到圆的最大距离与最小距离的和是直径;当点P在圆外时,点到圆的最大距离与最小距离的差是直径,由此得解. 【解答】解:当点P在圆内时,最近点的距离为5cm,最远点的距离为11cm,则直径是16cm,因而半径是8cm;当点P在圆外时,最近点的距离为5cm,最远点的距离为11cm,则直径是6cm,因而半径是3cm; 故选:B. 【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键. 5.(4分)如图,⊙O内切于 ABC,切点分别为D,E,F.已知∠B=50 ,∠C=60 ,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( ) A.40 B.55 C.65 D.70 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A,根据多边形的内角和定理求出∠EOF,根据圆周角定理求出∠EDF即可. 【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180 ,∠B=50 ,∠C=60 , ∴∠A=70 , ∵⊙O内切于 ABC,切点分别为D、E、F, ∴∠OEA=∠OFA=90 , ∴∠EOF=360 ﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA=110 , ∴∠EDF∠EOF=55 . 故选:B. 【点评】本题考查了对三角形的内切圆与内心,三角形的内角和定理,多边形的内角和定理,圆周角定理等知识点的理解和掌握,能求出∠EOF的度数是解此题的关键. 6.(4分)如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1,扇形的圆心角等于90 ,则扇形的半径是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】利用圆的周长就是扇形的弧长,根据弧长的计算公式即可求得半径的长. 【解答】解:扇形的弧长等于底面圆的周长得出2 . 设扇形的半径是r,则2 , 解得:r=4. 故选:B. 【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算,正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键. 7.(4分)如图,边长为a的六角螺帽在桌面上滚动(没有滑动)一周,则它的中心O点所经过的路径长为( ) A.6a B.5a C.2a D. 【答案】C 【分析】首先求得从B到B′时,圆心O的运动路线与点F运动的路线相同,即是弧FF′的长,又由正六边形的内角为120 ,求得弧FF′的圆心角为60 ,则问题得解. 【解答】解:∵正六边形的内角为120 , ∴∠BAF=120 , ∴∠FAF′=60 , ∴ a, ∴六角螺帽在桌面上滚动(没有滑动)一周,则它的中心O点所经过的路径长为 a 6=2a . 故选:C. 【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识.解此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长.注意数形结合思想的应用. 8.(4分)如图是一个餐盘,它的外围是由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成,已知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是( ) A.50 ﹣50 B.50 ﹣25 C.25 +50 D.50 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可知∠A=∠B=∠C=60 ,再由该餐盘的面积等于3个扇形的面积减去2个 ABC的面积即可得出结论. 【解答】解:S扇形ABC, S ABC10 10 sin60 =25, S餐盘=33 252550 ﹣50. 故选:A. 【点评】本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键. 9.(4分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C,D,若PA=4,则 PCD的周长为( ) A.5 B.7 C.8 D.10 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE,DE=DB,根据三角形的周长公式计算即可. 【解答】解:∵PA、PB分别切⊙O于点A、B, ∴PB=PA=4, ∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C,D, ∴CA=CE,DE=DB, ∴ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8, 故选:C. 【点评】本题考查的是切线长定理的应用,切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角. 10.(4分)如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于点D,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论正确的有( ) ①AD⊥BC; ②∠EDA=∠ABC; ③OAAC; ④DE是⊙O的切线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据圆周角定理和切线的判定,采用排除法,逐条分析判断. 【解答】解:∵AB是直径, ∴∠ADB=90 , ∴AD⊥BC, 故①正确; 连接DO, ∵点D是BC的中点, ∴CD=BD, ∴ ACD≌ ABD(SAS), ∴AC=AB,∠C=∠B, ∵OD=OB, ∴∠B=∠ODB, ∴∠ODB=∠C,OD∥AC, ∴∠ODE=∠CED, ∴ED是圆O的切线, 故④正确; 由弦切角定理知,∠EDA=∠B, 故②正确; ∵点O是AB的中点, 故③正确, 故选:D. 【点评】本题考查了切线的判断,掌握平行线的判定,弦切角定理,全等三角形的判定和性质,切线的概念是解题的关键. 二、填空题 11.(5分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,若以点A为圆心,以4为半径作⊙A,则点A,点B,点C,点D四点中在⊙A外的是 C . 【答案】见试题解答内容 【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内. 【解答】解:∵CA5>4, ∴点,C在⊙A外, ∵AD=4, ∴点D在⊙A上外; AB=3<4, ∴点B在⊙A内, 故答案为:C. 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内. 12.(5分) ABC的三边长分别为6,8,10,则 ABC的外接圆的半径为 5 . 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用勾股定理的逆定理得到 ABC为直角三角形,利用斜边为外接圆的直径计算 ABC的外接圆的半径. 【解答】解:∵62+82=102, ∴ ABC为直角三角形,10为斜边, ∴ ABC的外接圆的半径10=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理;熟记直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半,证明 ABC为直角三角形是解题的关键. 13.(5分)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,其半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为 3 . 【答案】3. 【分析】连接OC、OB,证出 BOC是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可. 【解答】解:如图所示,连接OC、OB, ∵多边形ABCDEF是正六边形, ∴∠BOC=60 , ∵OC=OB, ∴ BOC是等边三角形, ∴∠OBM=60 , ∴OM=OBsin∠OBM=63, 故答案为:3. 【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OM是解决问题的关键. 14.(5分)如图,AB是半圆O的直径,且AB=10,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留 ) 【答案】. 【分析】过点O作OD⊥BC于点D,交于点E,则可判断点O是的中点,由折叠的性质可得ODOER=3,在Rt OBD中求出∠OBD=30 ,继而得出∠AOC,求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积. 【解答】解:过点O作OD⊥BC于点D,交于点E,连接OC, 则点E是的中点,由折叠的性质可得点O为的中点, ∴S弓形BO=S弓形CO, 在Rt BOD中,OD=DER,OB=R=5, ∴∠OBD=30 , ∴∠AOC=60 , ∴S阴影=S扇形AOC. 故答案为:. 【点评】本题考查了扇形面积的计算,解答本题的关键是作出辅助线,判断点O是的中点,将阴影部分的面积转化为扇形的面积. 15.(5分)如图, ABC为等边三角形,AB=6,动点O在 ABC的边上从点A出发沿着A C B A的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与 ABC的边第二次相切时是出发后第 4 秒. 【答案】见试题解答内容 【分析】若以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与 ABC的边第二次相切,即为当点O在AC上,且和BC边相切的情况.作O′D⊥BC于D,则O′D,利用解直角三角形的知识,进一步求得O′C=2,从而求得O′A的长,进一步求得运动时间. 【解答】解:根据题意,则作O′D⊥BC于D,则O′D. 在Rt O′CD中,∠C=60 ,O′D, ∴O′C=2, ∴O′A=6﹣2=4, ∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与 ABC的边第二次相切时是出发后第4秒. 故答案为:4. 【点评】此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系,能够正确分析出以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与 ABC的边第二次相切时的位置. 16.(5分)如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为5cm,母线OE(OF)长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm. 【答案】. 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果. 【解答】解:∵OE=OF=EF=5(cm), ∴底面周长=5 (cm), 将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形,此扇形的半径OE=5(cm),弧长等于圆锥底面圆的周长5 (cm) 设扇形圆心角度数为n,则根据弧长公式得: 5 , ∴n=180, 即展开图是一个半圆, ∵E点是展开图弧的中点, ∴∠EOF=90 , 连接EA,则EA就是蚂蚁爬行的最短距离, 在Rt AOE中由勾股定理得, EA2=OE2+OA2=25+9=34, ∴EA(cm), 即蚂蚁爬行的最短距离是cm. 故答案为:. 【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决. 三、解答题 17.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=20 ,求∠BAD的度数. 【答案】70 . 【分析】先由圆周角定理得∠ABD=∠ACD=20 ,∠ADB=90 ,再由直角三角形的性质即可得出答案. 【解答】解:∵, ∴∠ABD=∠ACD=20 , ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 , ∴∠BAD=180 ﹣∠ADB﹣∠ABD=180 ﹣90 ﹣20 =70 . 【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质;熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 18.(8分)如图,在 AOC中,∠AOC=90 ,以点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点B,且OB=BC,求∠A的度数. 【答案】60 . 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C=∠BOC,∠A=∠ABO,根据三角形外角的性质得出∠ABO=∠C+∠BOC=2∠C,求出∠A+∠C=90 ,再求出答案即可. 【解答】解:∵OB=BC, ∴∠C=∠BOC, ∵OA=OB, ∴∠A=∠ABO, ∵∠ABO=∠C+∠BOC, ∴∠A=∠ABO=2∠C, ∵∠AOC=90 , ∴∠A+∠C=90 , ∴3∠C=90 , ∴∠C=30 , ∴∠A=2∠C=60 . 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,三角形的外角性质等知识点,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 19.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,切点为A,D为⊙O上一点,AD与OC相交于点E,且∠DAB=∠C (1)求证:OC∥BD; (2)若AO=5,AD=8,求线段CE的长. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由切线的性质,可证得到∠COA=∠B,即可证得两线段平行; (2)利用相似三角形得到比例式,根据DB的长即可求得OE的长. 【解答】(1)证明:∵AC与⊙O相切,切点为A, ∴∠CAB=90 , ∵AB是⊙O的直径, ∴∠D=90 , ∴∠CAB=∠D, ∵∠DAB=∠C, ∴∠COA=∠B, ∴OC∥BD; (2)解:∵AO=5,AD=8, ∴BD=6, ∵OC∥BD,AO=BO, ∴OEBD=3, ∵∠CAB=90 ,∠D=90 ,∠DAB=∠C, ∴ AOC∽ DBA, ∴, ∴, ∴CO, ∴CE=CO﹣OE3. 【点评】本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 20.(10分)如图,半径为2的正三角形ABC的中心为O,过O与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积. 【答案】4 ﹣6. 【分析】作 ABC的外接圆,连接AO并延长交⊙O于A′、同理得到BB′、CC′,因为 ABC是正三角形,可得到 OAB′也是正三角形;所以一个弓形OA的面积就等于扇形AB′O与 AOB′的面积差.依此计算可求得六个弓形的面积. 【解答】解:作 ABC的外接圆,连接AO并延长交⊙O于A′、同理得到BB′、CC′; ∵ ABC是正三角形, ∴ OAB′也是正三角形; ∴S弓形OA=S扇形AB′O﹣S AB′O2; 所以S阴影=6 ()=4 ﹣6. 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算方法,理清弓形OA的面积计算方法是解题的关键. 21.(10分)如图,AC是⊙O的弦,AD经过圆心O,交⊙O于点B,直线CD与⊙O相切,∠CAD=30 . (1)求证:AD=3AO. (2)若⊙O半径为5,求阴影部分的周长. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)连接OC,由切线的性质可知OC⊥CD,从而可知 OCD为直角三角形,由圆周角定理可求得∠COB=60 ,从而可求得∠D=30 ,利用含30 直角三角形的性质可求得OD=2OC,从而可求得AD=3AO; (2)由(1)可知BD=5,可求得CD=5,然后利用扇形的弧长公式可求得弧BC的长度即可. 【解答】解:(1)连接OC ∵CD切⊙O于点C, ∴OC⊥CD,OC为⊙O半径. ∴∠OCD=90 . ∵∠CAD=30 , ∴∠COB=60 . ∴∠D=30 . ∴OD=2OC. ∴AD=OA+OD=3AO. (2)∵AD=3AO,AO=5, ∴BD=AD﹣AB=5. 在Rt OCD中,由勾股定理得:CD5,DC=5, l. ∴阴影部分的周长为:55. 【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式的应用,求得∠COB=60 、∠D=30 是解题的关键. 22.(10分)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E (1)求证:DE=AB; (2)以A为圆心,AB长为半径作圆弧交AF于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG的面积.(结果保留 ) 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据矩形的性质得出∠B=90 ,AD=BC,AD∥BC,求出∠DAE=∠AFB,∠AED=90 =∠B,根据AAS推出 ABF≌ DEA即可; (2)根据勾股定理求出AB,解直角三角形求出∠BAF,根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB,∠GDE=∠BAF=30 ,根据扇形的面积公式求得求出即可. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90 ,AD=BC,AD∥BC, ∴∠DAE=∠AFB, ∵DE⊥AF, ∴∠AED=90 =∠B, 在 ABF和 DEA中 , ∴ ABF≌ DEA(AAS), ∴DE=AB; (2)解:∵BC=AD,AD=AF, ∴BC=AF, ∵BF=1,∠ABF=90 , ∴由勾股定理得:AB, ∴∠BAF=30 , ∴扇形ABG的面积. 【点评】本题考查了弧长公式,全等三角形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理,矩形的性质的应用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键. 23.(12分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BE与⊙O相切; (2)设OE交⊙O于点F,若DF=2,BC=4,求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)连接OC,如图,根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD,则OE为BC的垂直平分线,所以EB=EC,根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB,加上∠2=∠1,则∠OBE=∠OCE;再根据切线的性质得∠OCE=90 ,所以∠OBE=90 ,然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切; (2)设⊙O的半径为R,则OD=R﹣DF=R﹣2,OB=R,在Rt OBD,利用勾股定理得(R﹣2)2+(2)2=R2,解得R=4,即OD=2,OB=4,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OBD=30 ,则∠BOD=60 ,在Rt OBE中,计算BEOB=4,然后根据扇形面积公式和S阴影=S四边形OBEC﹣S扇形OBC进行计算. 【解答】(1)证明:连接OC,如图, ∵OD⊥BC, ∴CD=BD, ∴OE为BC的垂直平分线, ∴EB=EC, ∴∠EBC=∠ECB, ∵OB=OC, ∴∠2=∠1, ∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB,即∠OBE=∠OCE, ∵CE为⊙O的切线, ∴OC⊥CE, ∴∠OCE=90 , ∴∠OBE=90 , ∴OB⊥BE, ∴BE与⊙O相切; (2)解:设⊙O的半径为R,则OD=R﹣DF=R﹣2,OB=R, 在Rt OBD中,BDBC=2, ∵OD2+BD2=OB2, ∴(R﹣2)2+(2)2=R2,解得R=4, ∴OD=2,OB=4, ∴∠OBD=30 , ∴∠BOD=60 , 在Rt OBE中,BEOB=4, ∴S阴影=S四边形OBEC﹣S扇形OBC =24 4 =16. 【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了垂径定理和扇形面积的计算. 24.(14分)如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G (1)求证:BC是⊙F的切线; (2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),D(2,0),求⊙F的半径; (3)求证:AFAD+CD. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)连接EF,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC,得到FE∥AC,根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90 ,证明结论; (2)连接FD,设⊙F的半径为r,根据勾股定理列出方程,解方程即可; (3)作FR⊥AD于R,得到四边形RCEF是矩形,得到EF=RC=RD+CD,根据垂径定理解答即可. 【解答】(1)证明:连接EF, ∵AE平分∠BAC, ∴∠FAE=∠CAE, ∵FA=FE, ∴∠FAE=∠FEA, ∴∠FEA=∠EAC, ∴FE∥AC, ∴∠FEB=∠C=90 ,即BC是⊙F的切线; (2)解:连接FD, 设⊙F的半径为r, 则r2=(r﹣1)2+22, 解得,r,即⊙F的半径为; (3)证明:作FR⊥AD于R, 则∠FRC=90 ,又∠FEC=∠C=90 , ∴四边形RCEF是矩形, ∴EF=RC=RD+CD, ∵FR⊥AD, ∴AR=RD, ∴EF=RD+CDAD+CD, ∵AF=EF, ∴AFAD+CD. 【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质,掌握切线的判定定理是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $