第1章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

第1章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•道里区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x20 B．x2+xy+1＝0 C．3x+2＝1 D．x2＝1 2．（2025•丰满区校级三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝﹣1 B．（x+3）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝2 3．（2025•新华区校级一模）已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且，则c的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 4．（2025•磁县校级三模）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1，则下列关于2ax1+b的值判断正确的是（　　） A．2ax1+b＝2 B．2ax1+b＝﹣1 C．2ax1+b＝0 D．2ax1+b＝1 5．（2025•禅城区二模）关于x的一元二次方程x2+x+c＝0的一个根为x1，设M＝（2x1+1）2，则M与方程根的判别式Δ之间的数量关系是（　　） A．M＝Δ B．M＝2Δ C． D．2M＝Δ 6．（2025•隆回县校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0有两个相等的实数根，则实数b的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 8．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 二．填空题（共8小题） 9．（2025•湖南模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　 ． 10．（2024秋•凉州区期末）已知关于x的方程x4+ax3+9x2+4ax+16＝0有实数解，则a的取值范围为 　 　 ． 11．（2025春•安徽期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 　 　 ． 12．（2024秋•巴林左旗期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为 　 　 ． 13．（2025•宿迁）方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　 　 ． 14．（2025•金凤区校级三模）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝64，当图中CD：AD＝3：2，那么m的值为 　 　 ． 15．（2025•石家庄校级一模）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝46，其中“□”表示一个数，则“□”为　 　 ． 16．（2025•潮阳区一模）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025春•贵池区期末）解方程（x+2）2＝3（x+2）． 18．（2025春•肥东县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且0，求m的值． 19．（2025•鲤城区校级模拟）已知方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0． （1）当m＝﹣2时，求方程的根． （2）若方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0与方程（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）＝0至少有一个方程有实根，求m的取值范围． 20．（2025•芜湖三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为x． 年份 单价/万元 2022年 20 2023年 2024年 14.4 （1）用含x的代数式表示2023年该电动汽车的价格； （2）求2024年该电动汽车降价的百分数． 21．（2025•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值． 22．（2025春•宽城区期末）某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的8%． （1）求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额； （2）该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年8、9月份营业额的月增长率． 23．（2025•泰兴市校级三模）综合与实践 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 第1章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C A D C A 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•道里区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x20 B．x2+xy+1＝0 C．3x+2＝1 D．x2＝1 【解答】解：A、x20，不是整式方程，故此选项不符合题意； B、x2+xy+1＝0，含有两个未知数，故此选项不符合题意； C、3x+2＝1，是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、x2＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025•丰满区校级三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．（x﹣3）2＝﹣1 B．（x+3）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝2 【解答】解：A、（x﹣3）2＝﹣1，方程无解，本选项不符合题意； B、（x+3）2＝0，解得x1＝x2＝﹣3，本选项符合题意； C．（x﹣2）2＝1，x1＝3，x2＝1，本选项不符合题意； D、（x+2）2＝2，x1＝﹣2，x2＝﹣2，本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025•新华区校级一模）已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且，则c的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 【解答】解：由条件可知m+n＝﹣4，mn＝c， ∴， 解得c＝﹣2， 经检验：c＝﹣2是原方程的解， 故选：B． 4．（2025•磁县校级三模）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1，则下列关于2ax1+b的值判断正确的是（　　） A．2ax1+b＝2 B．2ax1+b＝﹣1 C．2ax1+b＝0 D．2ax1+b＝1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1， ∴b2﹣4ac＝0，且x1， ∴2ax1+b＝2a•（）+b＝﹣b+b＝0． 故选：C． 5．（2025•禅城区二模）关于x的一元二次方程x2+x+c＝0的一个根为x1，设M＝（2x1+1）2，则M与方程根的判别式Δ之间的数量关系是（　　） A．M＝Δ B．M＝2Δ C． D．2M＝Δ 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0的一个根为x1， ∴x1+c＝0， ∴x1＝﹣c， ∴M＝（2x1+1）2＝44x1+1＝4（x1）+1＝﹣4c+1＝1﹣4c， ∵Δ＝12﹣4c＝1﹣4c， ∴M＝Δ． 故选：A． 6．（2025•隆回县校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0有两个相等的实数根，则实数b的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣20＝0， 解得b＝±2． 故选：D． 7．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨， 又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨， ∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860． 故选：C． 8．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 【解答】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm， 依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•湖南模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0， ∴k＝1， 故答案为：1． 10．（2024秋•凉州区期末）已知关于x的方程x4+ax3+9x2+4ax+16＝0有实数解，则a的取值范围为 　或　 ． 【解答】解：∵当x＝0时，方程左边＝16≠0， ∴x＝0不是方程的解， ∴将方程x4+ax3+9x2+4ax+16＝0两边同时除以x2整理可得：， 令，则， ∴， ∴原方程就变为t2﹣8+at+9＝0，即t2+at+1＝0， ∵方程有实数解， ∴Δ＝a2﹣4≥0， ∴a≥2或a≤﹣2， 当x＞0时，， ∴， ∴， 当x＜0时，， ∴， ∴， ∵， ∴t≥4或t≤﹣4， 设方程t2+at+1＝0的两根t1，t2， ∴t1+t2＝﹣a，t1•t2＝1， ∴， ∴， 当t1＝4时，， ∴当t1≥4时，， ∴， ∴， 同理可得，t1≤﹣4时，， 综合以上情况，a的取值范围是或， 故答案为：或． 11．（2025春•安徽期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 　2025　 ． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m+2022＝3（2m2﹣3m）+2022＝3×1+2022＝2025． 故答案为：2025． 12．（2024秋•巴林左旗期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为 　（32﹣x）（20﹣x）＝540　 ． 【解答】解：根据题意，草坪的面积为（32﹣x）（20﹣x）， 故所列方程为（32﹣x）（20﹣x）＝540， 故答案为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 13．（2025•宿迁）方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　﹣4048　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n， ∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025， ∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025， ∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026） ＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026） ＝（m﹣1）（n﹣1） ＝mn﹣（m+n）+1 ＝﹣2025﹣2024+1 ＝﹣4048， 故答案为：﹣4048． 14．（2025•金凤区校级三模）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝64，当图中CD：AD＝3：2，那么m的值为 　12　 ． 【解答】解：由题意得，， ∵CD：AD＝3：2， ∴可设CD＝CB＝3y，AD＝2y， ∴AC＝5y， 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+BA2＝AC2，即（3y）2+64＝（5y）2， 整理得，16y2＝64， 解得y＝2或y＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴CD＝3y＝3×2＝6， ∴， 解得m＝12， 即m的值为12， 故答案为：12． 15．（2025•石家庄校级一模）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝46，其中“□”表示一个数，则“□”为　23　 ． 【解答】解：由条件可知m+n＝□，mn＝2， 又mn（m+n）＝46， 故2×□＝46， 解得□＝23． 故答案为：23． 16．（2025•潮阳区一模）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　30%　 ． 【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， ∴该种药品平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 三．解答题（共7小题） 17．（2025春•贵池区期末）解方程（x+2）2＝3（x+2）． 【解答】解：（x+2）2＝3（x+2）， 移项，得（x+2）2﹣3（x+2）＝0， （x+2）（x+2﹣3）＝0， （x+2）（x﹣1）＝0， x+2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1． 18．（2025春•肥东县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且0，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2） ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵x1 x2 是方程的两根，x1+x2＝﹣（m+3），， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0， ∴x1+x2＝0 或 x1﹣x2＝0，当 x1+x2＝0 时，﹣（m+3）＝0，解得：m＝﹣3，当 x1﹣x2＝0 时，即 x1＝x2， ∴Δ＝（m+1）2＝0，解得：m＝﹣1， 综上所述：m的值为﹣3或﹣1． 19．（2025•鲤城区校级模拟）已知方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0． （1）当m＝﹣2时，求方程的根． （2）若方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0与方程（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）＝0至少有一个方程有实根，求m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝﹣2时，方程化为x2﹣8x+15＝0， （x﹣5）（x﹣3）＝0， x﹣5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝5，x2＝3； （2）对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0， 当Δ＝16m2﹣4（4m2+2m+3）≥0时，方程有实数根， 解得m； 对于方程（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）＝0， 当m＝1时，方程化为2x＝0，有一个实数解为x＝0； 当m﹣1≠0时， 当Δ＝4m2﹣4（m﹣1）2≥0时，方程有实数根， 解得m， 则m时，方程（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）＝0有实数解， 所以当m或m时，方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0与方程（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）＝0至少有一个方程有实根． 20．（2025•芜湖三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为x． 年份 单价/万元 2022年 20 2023年 2024年 14.4 （1）用含x的代数式表示2023年该电动汽车的价格； （2）求2024年该电动汽车降价的百分数． 【解答】解：（1）由题意得，2023年该电动汽车的价格为20（1﹣x）万元； （2）∵2023年降价的百分数为x， ∴2024年降价的百分数为2x， 由题意得，20（1﹣x）（1﹣2x）＝14.4， 解得x＝0.1或x＝1.4（不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为20%， 答：2024年降价的百分数为20%． 21．（2025•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值． 【解答】（1）证明：由题知， Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4≥4＞0， 所以无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）解：由题知， x1＝x2＝k+2，x1x2＝2k﹣1． 因为， 所以， 即2k﹣1﹣（k+2）+1＝k2﹣2， 解得k1＝0，k2＝1， 所以k的值为0或1． 22．（2025春•宽城区期末）某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的8%． （1）求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额； （2）该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年8、9月份营业额的月增长率． 【解答】解：（1）200+200×8%＝216（万元）， 答：该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额为216万元； （2）设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该超市今年8、9月份营业额的月增长率为20%． 23．（2025•泰兴市校级三模）综合与实践 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 【解答】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为x cm， ∴BC＝（40﹣2x）cm，AB（40﹣x）（cm）， 答：收纳盒的底面ABCD的边BC的长为（40﹣2x）cm，AB的长为（40﹣x）cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB＝（40﹣x）cm， 根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0， 解得：x1＝10，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高为10cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $