第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 7大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义与一般形式 题型2：一元二次方程的解 题型3：解一元二次方程 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 题型5：配方法的应用 题型6：增长率问题 题型7：与图形有关的问题 7大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义与一般形式 1．（2024秋•韩城市月考）已知是关于x的一元二次方程，求n的值． 2．（2023秋•埇桥区校级月考）某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求m的值； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求m的值． 3．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 4．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 题型2：一元二次方程的解 5．（2024秋•化州市期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 6．（2024秋•孝南区期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值． 7．（2025•莲池区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是方程2a2﹣8＝0的解． 8．（2025•湘桥区二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 题型3：解一元二次方程 9．（2025春•吉林期末）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 10．（2024春•裕安区校级期末）用适当方法解方程． （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x． 11．（2024秋•寿阳县月考）用适当的方法解一元二次方程： （1）x（2x﹣7）＝2x； （2）x2﹣2x+4＝0； （3）（y+2）2＝（3y﹣1）2； （4）． 12．（2024•海淀区校级开学）用适当方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝3； （2）（3x﹣2）2＝（x+4）2． 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2024秋•东坡区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，n9，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣1，4），并说明理由． 14．（2024秋•凉州区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根和m的取值． 15．（2024秋•建湖县期末）已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，方程有两个实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2+x1x2＝5，求m的值． 16．（2024秋•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程的两根为x1，x2，且，求a的值． 题型5：配方法的应用 17．（2025•慈利县一模）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 18．（2025•安阳县一模）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值 　 　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 19．（2025春•邗江区校级月考）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）x2+4x+2＝（x2+4x+4﹣4）+2＝（x+2）2﹣4+2＝（x+2）2﹣2 ∵（x+2）2≥0 ∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2 ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． （2）﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+4+3 ＝﹣（x﹣2）2+7 ∵﹣（x﹣2）2≤0 ∴﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7≤7 ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　 　 ； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　 　 ． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 20．（2025春•丹阳市校级期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值；（a+3）2总是非负数， 即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式　 　 ，则x2﹣10x+27的最小值为　 　 ； （2）已知x+y＝3，求代数式﹣x2+y+9x﹣2的最大值； （3）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； 题型6：增长率问题 21．（2025•新宾县模拟）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；当x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每日获得的利润为750元？ 22．（2024秋•盐边县期末）“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔200个，10月份销售288个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为30元/个，销售过程中发现，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元？ 23．（2025•安徽三模）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出　 　 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 24．（2024秋•石门县期末）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元． （1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过20元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用） 题型7：与图形有关的问题 25．（2024秋•虎林市期末）如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m． （1）BC的长为 　 　 m；x的取值范围是 　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由． 26．（2025•汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 27．（2025春•莱山区期末）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长（BC）和宽（AB）； （2）若小区拟利用现有棚栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 28．（2025春•福州校级期末）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB＝40cm，BC＝100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． （1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF＝　 　 cm，EH＝　 　 cm； （2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2024秋•韩城市月考）已知是关于x的一元二次方程，求n的值． 【解答】解：根据一元二次方程的定义， 得n2+1＝2且n﹣1≠0， 解得：n＝﹣1． 2．（2023秋•埇桥区校级月考）某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求m的值； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求m的值． 【解答】解：（1）存在． ∵方程（m+1）xx﹣1＝0是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0， 解得m＝1； （2）存在． ∵方程（m+1）xx﹣1＝0是一元一次方程， 当m2+1＝1时，解得m＝0； 当m+1＝0时，解得m＝﹣1． ∴m＝0或﹣1． 3．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【解答】解：（1）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：m2﹣1＝0且m+1≠0， ∴m＝1． 当m＝1时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：m2﹣1≠0， ∴m≠±1． 当m≠±1时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为m2﹣1，常数项为m． 4．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 【解答】解：（1）3x2﹣1＝2x， 移项，得3x2﹣2x﹣1＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x， 去括号，得x2﹣2x＝4x2﹣3x， 移项、合并同类项，得﹣3x2+x＝0， 整理，得3x2﹣x＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0； （3）mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）， 移项、合并同类项，得（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q＝0， 二次项系数为（m+n），一次项系数为（m﹣n），常数项为（p﹣q）． 5．（2024秋•化州市期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 6．（2024秋•孝南区期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值． 【解答】解：把x＝2代入方程，得4+2m﹣2＝0， ∴2+2m＝0． ∴m＝﹣1． 把m＝﹣1代入方程，得x2﹣x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0． ∴x1＝2，x2＝﹣1． ∴方程另一根为﹣1，m＝﹣1． 7．（2025•莲池区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是方程2a2﹣8＝0的解． 【解答】解： （） [] • ． ∵a是方程2a2﹣8＝0的解， ∴a＝±2． 又∵a﹣2≠0即a≠2， ∴a＝﹣2， 则原式． 8．（2025•湘桥区二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【解答】解：（1） • • • ＝a（a﹣3） ＝a2﹣3a； （2）∵a为方程的一个解， ∴a2﹣a﹣5＝0， ∴a2﹣3a﹣15＝0， ∴a2﹣3a＝15， ∴P＝15． 9．（2025春•吉林期末）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴， ∴，； （2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3）， ∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 10．（2024春•裕安区校级期末）用适当方法解方程． （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x． 【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0， ， ， ， ， ， ，； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x， （x+2）（x﹣1）+2x﹣2＝0， （x+2）（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+4）＝0， x﹣1＝0或x+4＝0， x1＝1，x2＝﹣4． 11．（2024秋•寿阳县月考）用适当的方法解一元二次方程： （1）x（2x﹣7）＝2x； （2）x2﹣2x+4＝0； （3）（y+2）2＝（3y﹣1）2； （4）． 【解答】解：（1）原方程整理得：2x2﹣9x＝0， x（2x﹣9）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4.5； （2）原方程配方得：（x﹣1）2＝﹣3， 故此方程无实数根； （3）原方程移项得： （y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0， [（y+2）+（3y﹣1）][（y+2）﹣（3y﹣1）]＝0， 整理得：（4y+1）（﹣2y+3）＝0， 解得：，； （4）原方程整理得： x2+6x﹣2＝0， 配方得：x2+6x+32＝2+9， 即（x+3）2＝11， 直接开平方得：， 解得：，． 12．（2024•海淀区校级开学）用适当方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝3； （2）（3x﹣2）2＝（x+4）2． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝3， x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1； （2）（3x﹣2）2＝（x+4）2， （3x﹣2）2﹣（x+4）2＝0， （3x﹣2+x+4）（3x﹣2﹣x﹣4）＝0， （4x+2）（2x﹣6）＝0， 4x+2＝0或2x﹣6＝0， 解得，x2＝3． 13．（2024秋•东坡区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，n9，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣1，4），并说明理由． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣（m+6）x+3m+9＝0， 所以Δ＝[﹣（m+6）]2﹣4（3m+9）＝m2≥0， 所以该一元二次方程总有两个实数根． （2）解：经过，理由如下： 因为该一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2， 所以x1+x2＝m+6，x1x2＝3m+9． 又因为n9， 所以n， 则n＝（m+6）2﹣2（3m+9）﹣9， 整理得，n＝（m+3）2， 将m＝﹣1代入n＝（m+3）2得， n＝（﹣1+3）2＝4， 所以动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（﹣1，4）． 14．（2024秋•凉州区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根和m的取值． 【解答】（1）证明：因为关于x的方程为x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0， 所以Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2+4m+4﹣8m+4＝（m﹣2）2+4＞0， 所以方程恒有两个不相等的实数根． （2）解：将x＝1代入方程得， 1﹣（m+2）+（2m﹣1）＝0， 解得m＝2， 则原方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， 所以方程的另一个根为3． 15．（2024秋•建湖县期末）已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，方程有两个实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2+x1x2＝5，求m的值． 【解答】解：（1）由题知， Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×10， 解得m≥﹣1， 所以当m≥﹣1时，方程有两个实数根． （2）因为x1、x2是方程的两根， 所以． 又因为x1+x2+x1x2＝5， 所以m+25， 解得m＝2或﹣6． 又因为m≥﹣1， 所以m＝2． 16．（2024秋•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程的两根为x1，x2，且，求a的值． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根， 所以Δ＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2﹣5）≥0， 解得a， 故a的取值范围是a． （2）因为方程的两根为x1，x2， 所以． 又因为， 所以， 则（2a+4）2﹣2（a2﹣5）＝44， 解得a＝1或﹣9． 又因为a， 所以a＝1． 17．（2025•慈利县一模）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 18．（2025•安阳县一模）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值 　3　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∵无论x取何实数，都有（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3，即x2﹣6x+12的最小值为3． 故答案为：3． （2）∵3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）＝（x﹣2）2+4＞0， ∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6， （3）∵S四边形ABCDAC2+5AC（AC﹣5）2， ∴四边形ABCD面积的最大值为． 19．（2025春•邗江区校级月考）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）x2+4x+2＝（x2+4x+4﹣4）+2＝（x+2）2﹣4+2＝（x+2）2﹣2 ∵（x+2）2≥0 ∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2 ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． （2）﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+4+3 ＝﹣（x﹣2）2+7 ∵﹣（x﹣2）2≤0 ∴﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7≤7 ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　﹣3　 ； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　0　 ． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3， ∵（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+1≥﹣3， ∴x2﹣4 x+1的最小值为﹣3； 故答案为：﹣3； （2）∵A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1， ∴A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1 ＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1+2 ＝（x﹣1）2+2， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+2≥2＞0， ∴A﹣B＞0， ∴A＞B； （3）∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x， ∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2， ∵（x+1）2≥0， ∴x2+y+3x﹣2≥0， ∴x2+y+3x﹣2的最小值为0； 故答案为：0； （4）设长方形的长为x m，则宽为m， ∴长方形的面积为：， ∵（x﹣4）2≥0， ∴﹣（x﹣4）2≤0， ∴长方形的面积≤16， 即：当长方形的长和宽均为4m时，长方形的面积最大为16m2． 20．（2025春•丹阳市校级期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值；（a+3）2总是非负数， 即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式　（x﹣5）2+2　 ，则x2﹣10x+27的最小值为　2　 ； （2）已知x+y＝3，求代数式﹣x2+y+9x﹣2的最大值； （3）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； 【解答】解：（1）x2﹣10x+27＝（x﹣5）2+2， ∵不论x取何值，（x﹣5）2总是非负数，即（x﹣5）2≥0． ∴（x﹣5）2+2≥2， ∴当x＝5时，x2﹣10x+27有最小值2． 故答案为：（x﹣5）2+2，2； （2）∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x， ∴﹣x2+y+9x﹣2＝﹣x2+3﹣x+9x﹣2＝﹣x2+8x+1＝﹣（x2﹣8x+16）+1+16＝﹣（x﹣4）2+17， ∵（x﹣4）2≥0， ∴﹣（x﹣4）2+17≤17， ∴当x＝4时，有最大值17． （3）A＞B，理由如下： ∵A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1， ∴A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1）＝（x﹣1）2+2， ∵不论x取何值，（x﹣1）2总是非负数，即（x﹣1）2≥0． ∴（x﹣1）2+2≥2＞0， ∴A﹣B＞0，即A＞B． 21．（2025•新宾县模拟）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；当x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每日获得的利润为750元？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）． ∴ ∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）； （2）（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝750． 解得x＝40或x＝90（舍去）． 答：当销售单价为40元时，每日获得的利润为750元． 22．（2024秋•盐边县期末）“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔200个，10月份销售288个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为30元/个，销售过程中发现，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 200（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：月平均增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴[200﹣5（y﹣40）]（y﹣30）＝2625， ∴y2﹣550y+14625＝0， ∴y1＝65，y2＝45， ∵让顾客得到实惠， ∴y＝45， 答：该品牌头盔的实际售价为45元/个． 23．（2025•安徽三模）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出　（100+10x）　 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【解答】解：（1）由题意，可知：降价x元，则每天可以售出（100+10x）箱； 故答案为：（100+10x）； （2）设降价x元， 由题意列一元二次方程得：（26﹣2﹣x）（100+10x）﹣300＝2550， 解得：x1＝5，x2＝9， ∴70﹣5＝65（元）或70﹣9＝61（元）， 答：售价应该定为65元或61元． 24．（2024秋•石门县期末）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元． （1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过20元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用） 【解答】解：（1）根据题意，设年平均增长率为x， ∴2（1+x）2＝2.88，解方程得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为20%． （2）解：设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元， ∴（15+a﹣10）（120﹣8a）﹣168＝600， 即a2﹣10a+21＝0， 解方程得，a1＝3，a2＝7， 当a1＝3时，售价为15+3＝18＜20，符合题意； 当a2＝7时，售价为15+7＝22＞20，不符题意，舍去． 答：每碗面提高3元时，店家能实现每天净利润600元． 25．（2024秋•虎林市期末）如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m． （1）BC的长为 　（60﹣2x）　 m；x的取值范围是 　17.5≤x＜30　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝x cm， ∴BC＝（60﹣2x）cm， ∵0＜BC≤25， ∴17.5≤x＜30， 故答案为：（60﹣2x）；17.5≤x＜30； （2）根据题意得x（60﹣2x）＝400， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝10（舍），x2＝20， 答：当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉的说法不正确； 理由：根据题意得x2﹣30x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园ABCD的面积不可以为500m2，即嘉嘉的说法不正确． 26．（2025•汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 27．（2025春•莱山区期末）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长（BC）和宽（AB）； （2）若小区拟利用现有棚栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设电动车车棚的宽AB为x m，则车棚的长BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m）， 由题意得：x（72﹣3x）＝384， 整理得：x2﹣24x+128＝0， 解得：x1＝16，x2＝8（不符合题意，舍去）， ∴72﹣3x＝72﹣3×16＝24， 答：电动车车棚的长为24m，宽为16m； （2）不能围成面积为450m2的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽AB为x m，则车棚的长BC为（72﹣3y）m， 由题意得：y（72﹣3y）＝450， 整理得：y2﹣24y+150＝0， ∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0， ∴原方程无解， ∴不能围成面积为450m2的电动车车棚． 28．（2025春•福州校级期末）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB＝40cm，BC＝100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． （1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF＝　20　 cm，EH＝　40　 cm； （2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 【解答】解：（1）由题意得，EF＝40﹣2×10＝20cm，EH40（cm）． 故答案为：20；40； （2）设收纳盒高为x cm， ， ∴x1＝15，x2＝55（舍去）， ∴收纳盒长、宽、高分别为35cm、10cm、15cm， ∵10cm＜15cm， ∴玩具机械狗不能放入该收纳盒． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $