精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高一上学期9月开学摸底考试数学试题

2025年七宝中学9月份高一开学摸底考 一、填空题 1. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，从而为奇数，故可得中元素的一般形式. 【详解】设，则， 故存在自然数，使得， 若为偶数，则为偶数，则为奇数，故矛盾； 若为奇数，则且为自然数， 所以，故 故填. 【点睛】用描述法表示集合时，我们要从两个角度考虑该集合：（1）明确集合中元素的属性；（2）满足属性条件的对象都是该集合中的元素.在该题中，考虑两个集合的公共元素，要避免出现这种解法，因为两个集合中相同的元素对应的未必相同. 2. 已知、是两个集合，定义运算：且，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算可知就是把中属于的元素去掉余下元素构成的集合，故可得. 【详解】中属于的元素为，故，填. 【点睛】本题为集合中的新定义题，这类问题只要弄清楚新定义的运算规则即可求出新定义的集合，此类问题属于基础题. 3. 已知，则集合M所有可能的个数是______个． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件知集合必含有元素，而对元素是否在集合中分四种情况考虑. 【详解】因为，所以集合必含有元素， 对元素在集合中的种情况分四种情况， 所以集合或或或，共4个. 故填：4. 4. 对于集合，，定义且，．设，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由题意得到，，根据题干中的新定义，求出与，再由，即可求出结果. 【详解】由题意得， ， 又对于集合，，定义且，， 故，， 所以或． 故答案为或 【点睛】本题主要考查新定义下集合交集与并集的混合运算，熟记交集与并集的概念即可，属于常考题型. 5. 有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是________(填写序号). 【答案】④ 【解析】 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②集合M是实数3，4的集合，而集合N是实数对(3，4)的集合，不正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示. 故答案为：④． 【点睛】本题考查集合的定义，属于基础题． 6. 已知集合，则下列集合是集合的子集的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】④ 【解析】 【分析】先求出集合，，，然后子集定义分别对选项判断即可求解． 【详解】解：由已知可得集合， 所以由子集的定义可得选项①错误，②错误， 因为，所以集合不表示集合的子集，③错误， 因为，所以是集合的子集，故正确， 故答案为：④． 7. 集合 ，用列举法表示集合． 【答案】 【解析】 【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 8. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程组 有解，即有解即可求解. 【详解】因为， 所以方程组 有解， 消去可得：，即 所以：，即， 故答案为：. 9. 集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断． 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 10. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 【答案】21和8 【解析】 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 11. 设、是非空集合，定义且，若，，，则________ 【答案】{2021，2022，2023} 【解析】 【分析】根据新定义的性质进行求解即可. 【详解】因为且， 则且， 即集合P中去掉P∩M的元素，因为P∩M={x|2≤x≤2020,}， 所以={2021，2022，2023}． 故答案为：{2021，2022，2023} 12. 若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是______． 【答案】 【解析】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 二、单选题 13. 已知集合，，，若，，，则下列结论中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合中元素形式，确定，，，的性质，然后判断． 【详解】由题意设，，，， 则， 不是3的整数倍，A不可能； ，同理B不可能； ，， 如取，则，即，C成立； ，同A可知D不可能． 故选：C． 14. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B. 对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C. 对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D. 对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意a，是的子集； 再由，，求得，，即可判断与的关系. 【详解】对于集合，， 可得当即可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：B 15. 集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 16. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 三、解答题 17. 已知正整数集合，，其中，，且，中所有元素之和为124，求A． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到必分别是某两个整数的平方，再由，，求出，从而得到3∈A，分别讨论两种情况，即可求出结果. 【详解】∵，∴必分别是某两个整数的平方， 又，，∴， 又，集合A中元素都为正整数，∴3∈A． 若，则解得（负值舍去）； 若，则，解得（负值舍去），但与矛盾，舍去 ， 故答案为 【点睛】本题主要考查交集与并集，考查综合分析求解能力，属中档题.. 18. 设集合，； （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【小问1详解】 由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 19 设，， （1），求的值； （2）若非空，且，求的值； （3），求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先通过解二次方程化简集合． （1）根据，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出的值． （2）根据非空，且，，将3代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． （3）由，将2代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． 【小问1详解】 ∵，， ∴． ∴2和3是方程的两个根， ∴，∴． 【小问2详解】 ，∵非空且， ∴与有公共元素而与无公共元素， ∴，∴，解得，或． 当时，满足题意； 当时，此时不满足题意， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴， ∴，解得． 当时，满足题意； 当时，不满足题意，故． 20. 已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得. 综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以. 综上所述，的取值范围为. 21. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合，理由见解析； （2）2051； （3）675. 【解析】 【分析】（1）利用自相加概念找到一般规律计算即可； （2）连续的正整数组成的集合，在自相加后，形成的新集合中的元素必然是连续的正整数，且得到的新集合的元素的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到新集合的元素的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行11次自相加后集合的元素的最大值和最小值，即可得到集合的11次自相加集合的计算元素个数； （3）由第二问的结论，很容易得到.因为集合由连续自然数组成，所以其自相减集合中的最小数是１，最大数是最大数与最小数的差，即，所以然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 是完美自相加集合，是完美自相加集合.理由如下： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为， 所以中的最小元素为， 同理，2次自相加后得到的集合中的最小元素是. 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 因为集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合；所以对， 再进行一次自相加操作，任意两个偶数相加的和还是偶数， 因为任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，故是完美自相加集合. 【小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行1次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第2次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第3次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第4次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第5次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第6次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第7次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第8次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第9次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第10次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第11次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合的次自相加集合中的元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为. 【小问3详解】 因为且，集合 所以 要使，须使，所以， 又因为，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年七宝中学9月份高一开学摸底考 一、填空题 1. 设集合，，则______． 2. 已知、是两个集合，定义运算：且，若，，则______． 3. 已知，则集合M所有可能的个数是______个． 4. 对于集合，，定义且，．设，，则______． 5. 有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是________(填写序号). 6. 已知集合，则下列集合是集合的子集的是________．（填序号） ①；②；③；④． 7. 集合 ，用列举法表示集合． 8. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 9. 集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 10. 向50名学生调查对A、B两事件态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 11. 设、是非空集合，定义且，若，，，则________ 12. 若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是______． 二、单选题 13. 已知集合，，，若，，，则下列结论中可能成立的是（ ） A B. C. D. 14. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B. 对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C. 对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D. 对任意a，不是子集；存在b，使得不是的子集 15. 集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A B. C. D. 三、解答题 17. 已知正整数集合，，其中，，且，中所有元素之和为124，求A． 18. 设集合，； （1）若，求实数取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19. 设，， （1），求的值； （2）若非空，且，求的值； （3），求的值． 20. 已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 21. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $