《第2章直角三角形的边角关系》单元达标测试题2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在中， ，所对的边分别为，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 6．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为米，则铁塔的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，港口在观测站的正东方向，．某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（   ） A． B． C． D． 8．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在Rt中，若，，，则的值为 ． 10．在中，若，则的度数为 ． 11．如图，在中，，若，则 ． 12．如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 13．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 15．如图，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为 ．（结果精确到）（参考数据：，，） 16．如图，小华在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处，若国旗随国歌声匀速升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗上升的速度为 米/秒．（参考数据：，，） 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1) (2)． 18．如图，在中，，，于点，若，求的长． 19．学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 20．如图，在中，，垂足为点H，点D是边的中点，．求： (1)边的长； (2)的正切值． 21．如图为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图的几何图形，灯臂长为，与水平桌面所形成的夹角为，由光源射出的边缘光线与水平桌面所形成的夹角分别为和．若书与光线平行放置且书底端点离光线底端的距离为．求书的长．（结果保留整数．参考数据：） 22．今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 23．【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)根据平面镜成像原理，的值是__________． (2)求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 24．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 参考答案 1．解：如图， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．B 【分析】本题考查了比较三角函数值的大小，构造含的直角三角形，分别求得，，的值，再比较大小，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，， ∴ 设 ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 3．C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据余弦的定义得出与的比值，设未知数后利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形．在中，根据锐角三角函数可得的值，然后在中，根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ． 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 6．A 【分析】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 过点作于，则可由仰角的正切值求得，再加上的长即为的长． 【详解】解：如图，过点作于， 可知，， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作于点，利用含角的直角三角形和等腰三角形的性质，得出相关线段的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、勾股定理等知识． 过点D作轴于点F，设交y轴于点G，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，，再由，可得，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过点D作轴于点F，设交y轴于点G， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B 9． 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，掌握正弦值求法是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得：，即可解题． 【详解】解：如图： 在中，， ， ； 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，分两种情况，画出图形，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：作， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 当在内部时，如图1：； 当在外部时，如图2：； 故答案为：或． 11． 【分析】本题主要考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 13． 【分析】本题主要考查了翻折的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质和锐角三角函数． 过点作轴，交轴于点，利用一次函数的性质求出与坐标轴的交点坐标，利用锐角三角函数解直角三角形，求出相关的边长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 由得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ， ， ∴， 由翻折的性质可得，， ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 14．/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中，利用三角函数求出的长，即可得到的长，得到结果． 【详解】解：过点作于，过点作于点，如图 有， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， 在中，米， (米) (米) 适合该地下车库的车辆限高的高度为米， 故答案为：米． 16．/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．作，垂足为点D，通过解直角和直角分别求得以及的长度，则易得的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由速度=上升的高度/时间进行解答即可． 【详解】解：作，垂足为点D， 在中，米，， 则米． 在中，米，， 则（米）． 所以，米， 整个过程中旗子上升高度是：（米）， 因为耗时， 所以上升速度（米/秒）． 则国旗应以米/秒的速度匀速上升， 故答案为：． 17．解：（1） ， ， ． （2） ， ， ． 18．16 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．解：过点A作于H， 在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，，， ，， 在中，， ，， ． 矩形零件的长和宽分别约为和． 【点睛】本题的关键是作辅助线于点，在和中，利用长度和锐角三角函数正弦值与正切值，导出和的长度，即可得出矩形的长． 20．(1) (2) 【分析】（１）根据，得，由，得，由，得； （2）过点D作于点E，得，得，根据，得，得，，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：过点D作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵，D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形．熟练掌握勾股定理，等腰三角形性质，平行线分线段性质，锐角三角函数定义，是解题的关键． 21． 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记各三角函数值的计算方法是解题关键． 先利用正弦值求出的长，再利用正切值求出的值，根据平行线的性质可得，最后在中，利用余弦值求解即可． 【详解】解：在中， 在中， 离光线底端的距离为 ， 在中， 答：书的长约为． 22．(1) (2)1000米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，利用斜坡的坡度，求出，的长，结合已知条件，得到，的长，从而得到结果； （2）根据题意，得到，的长，利用勾股定理得到结果． 【详解】（1）解：作于点，作 于点，作于点，连接， 斜坡的长为米，坡度是， ，， 米， 点海拔121米，点海拔721米， 米， （米， 斜坡的长为米， （米， ， 即斜坡的坡度是； （2）解：米，（米）， （米）， 答：钢缆的长度是1000米． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得：，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴雕塑的高度约为． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $