2.3.3二次根式的加减法及混合运算同步练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3.3二次根式的加减法及混合运算同步练习 一．选择题（共10小题） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则整数n的值为（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 5．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 7．化简（　　） A． B． C． D． 8．若m1，则代数式m2﹣2m+1的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． 9．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C． D．12 10．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：　 　 ． 12．化简：　 ；　 ；　 ． 13．若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则a的值为　 　 ． 14．计算　 　 ． 15．已知y18，代数式　 　 ． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知△ABC的三边长分别为2，4，，则△ABC的面积为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1） （2） 18．计算： （1）； （2）． 19．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 20．【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ，， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　 ； （2）计算：　 　 ； （3）若，求3a2﹣12a﹣1的值． 21．阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如，，，这样的式子，其实我们可以将其进一步化简与计算： 解：； ； ； ． 学会解决问题： （1）化简； （2）计算二次根式的值； （3）比较大小：与； （4）计算：的值． 22．有一块矩形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加，宽AB增加，得到一个面积为128cm2的正方形AEFG． （1）正方形AEFG的边长为　 　 cm；（填最简二次根式） （2）求矩形木板ABCD的面积； （3）木工乙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.0cm的矩形木条，最多能截出　 　 根这样的木条． 23．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上． （1）如图1，AB的长度为　 　 ，△AOB中AB边上的高的长度为　 　 ． （2）如图2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较1与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为AB，AC（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）如图4，∠DAB+∠CAB的度数为　 　 ． 2.3.3二次根式的加减法及混合运算同步练习 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B C B D C A B 一．选择题（共10小题） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． ：被开方数含分母，有理化后为，不是最简二次根式，不符合题意； C． ：，被开方数含分母，有理化后为，不是最简二次根式，不符合题意； D． ：被开方数5是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件，符合题意； 故选：D． 2．若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：3， ∵与最简二次根式能合并， ∴m﹣3＝2， 解得m＝5， 故选：D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，不能合并，不符合题意； B、，符合题意； C、4，不能合并，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：B． 4．若，则整数n的值为（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 【解答】解：∵2，， ∴， ∴， ∴n＝8． 故选：B． 5．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． 与的被开方数不同，无法合并，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 6．已知，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【解答】解：∵，， ∵，， ∴a＝b， 故选：B． 7．化简（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：D． 8．若m1，则代数式m2﹣2m+1的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【解答】解：∵m1， 则代数式m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2 ＝（1﹣1）2 ＝2． 故选：C． 9．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C． D．12 【解答】解：根据正方形面积求出阴影部分的长和宽分别为： ，， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 10．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E， ∵∠D＝45°， ∴AE＝DE， ∵AD＝2， ∴根据勾股定理可得：2AE2＝4， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：CE＝AC2﹣AE2＝1， ∴， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：　5（答案不唯一）　 ． 【解答】解：根据题意得m﹣3≥0， 解得m≥3， ∵是最简二次根式， ∴整数m的值可以是5（答案不唯一）， 故答案为：5（答案不唯一）． 12．化简：　　 ； 　　 ； 　　 ． 【解答】解：； ； ． 故答案为：；；． 13．若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则a的值为　4　 ． 【解答】解：∵最简二次根式和最简二次根式可以合并， ∴3a﹣10＝a﹣2， 解得a＝4． ∴a的值为4． 故答案为：4 14．计算　﹣4　 ． 【解答】解：6 ＝26 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 15．已知y18，代数式　　 ． 【解答】解：∵x﹣8≥0，8﹣x≥0， ∴x＝8． 当x＝8时，y＝18． ∴ ＝23 ． 故答案为：． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知△ABC的三边长分别为2，4，，则△ABC的面积为 　4　 ． 【解答】解：由题意可得，△ABC的面积为：4． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1） （2） 【解答】解：（1） ； （2） ． 18．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 19．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【解答】解：（1）∵二次根式有意义， ∴x﹣2≥0， 解得x≥2； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴x﹣2＝3， 解得x＝5； ②由①可得， ∴． 20．【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ，， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　　 ； （2）计算：　44　 ； （3）若，求3a2﹣12a﹣1的值． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 ＝44； 故答案为：44； （3）∵， ∴原式＝3（a2﹣4a+4）﹣13 ＝3（a﹣2）2﹣13 ＝3×5﹣13 ＝2． 21．阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如，，，这样的式子，其实我们可以将其进一步化简与计算： 解：； ； ； ． 学会解决问题： （1）化简； （2）计算二次根式的值； （3）比较大小：与； （4）计算：的值． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）由（1）、（2）可知，， ∴； （4）原式 ． 22．有一块矩形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加，宽AB增加，得到一个面积为128cm2的正方形AEFG． （1）正方形AEFG的边长为　8　 cm；（填最简二次根式） （2）求矩形木板ABCD的面积； （3）木工乙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.0cm的矩形木条，最多能截出　4　 根这样的木条． 【解答】解：（1）∵正方形AEFG面积＝边长2＝128cm2， ∴正方形AEFG的边长为8（cm）． 故答案为：8． （2）由题意可得，正方形的边长为， ∴（cm），． ∴矩形ABCD木板的面积为：． （3）由题意，∵且， ∴从矩形木板ABCD中截出长为2cm、宽为1.0cm的矩形木条，最多能截出4根这样的木条． 故答案为：4． 23．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上． （1）如图1，AB的长度为　　 ，△AOB中AB边上的高的长度为　　 ． （2）如图2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较1与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为AB，AC（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）如图4，∠DAB+∠CAB的度数为　45°　 ． 【解答】解：（1）由题意得，AB． ∵S△AOB＝99﹣1.5﹣1﹣3＝3.5，且S△AOBAB•h， ∴△AOB中AB边上的高的长度h． 故答案为：；． （2），理由如下： 构造△DEF，如图所示： 由勾股定理，得：，EF，， 在△DEF中，∵DE+EF＞DF， ∴． （3）如图，作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE， ∴∠CAB＝∠BAE． 由勾股定理得，，AE， ∴AD2+DE2＝AE2． ∴△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝90°． ∴∠DAE＝∠DEA＝45°． ∴∠DAB+∠CAB＝∠DAE＝45°． 故答案为：45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $