4.1.2 乘法公式与全概率公式（课时1）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1.2乘法公式与全概率公式（课时1） 1、 学习目标 1.结合古典概率，理解乘法公式 2.能利用乘法公式计算概率 新知识导入 学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？ 抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话，可能并不容易说清楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释． 在P(B|A)，P(BA)（即 P(B∩A) ，下同）， P(A) 这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)？ 三、知识梳理 由条件概率计算公式 可知，P(BA)=P(A)P(B | A) 乘法公式：由条件概率的计算公式可知， ，这就是说，根据事件 A 发生的概率，以及已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，可以求出 A 与 B 同时发生的概率，称为乘法公式. 四、例题讲解 例1 已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3. 试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率. 例2 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 五、课堂练习 1.某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为( ) A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84 2.已知随机事件A，B，若，，则( ) A. B. C. D. 3.若，，则的值是( ) A. B. C. D. 4.已知随机事件A，B满足，，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，则_____________. 六、课后练习 1. 已知,,则( ) A. B. C. D. 2. 已知，，则等于( ) A. B. C. D. 3. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，若，则( ) A.0.5 B. C.0.12 D.0.18 4. 若,,则( ) A.0.9 B.0.78 C.0.66 D.0.12 5. 今有3箱货物，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱.已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品，不合格品有2个；而乙厂生产的每箱中装有90个合格品，不合格品有10个.现从3箱中任取1箱，再从这一箱中任取1件产品，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是( ) A. B. C. D. 6. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个灯泡是甲厂的合格产品的概率是( ) A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 答案及解析 三、知识梳理 1. 四、例题讲解 例题1 解：设 A_i 表示第 i 次掉落手机屏幕没有碎掉，i=1，2， 则由已知可得 P(A_1)=0.5，P(A_2∣A_1)=0.3， 因此由乘法公式可得 P(A_2A_1)=P(A_1)P(A_2∣A_1)=0.5×0.3=0.15. 即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 例题2 解：设A表示甲中奖，B表示乙中奖，则. （1）因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为. 根据乘法公式可知，甲中奖且乙也中奖的概率为 . （2）因为，所以 . 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 . 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 五、课堂练习 1.答案：A 解析：此人是癌症患者的概率为. 故选：A. 2.答案：C 解析：. 故选：C 3.答案：A 解析：由，可得. 故选：A. 4.答案：D 解析：， 故. 故选：D 5.答案： 解析：因为，则， 所以，. 故答案为：. 六、课后练习 1.解析：由概率的乘法公式可得. 故选：C. 2.解析：由题意，知.故选C. 3.解析：由，可得. 故选：C 4.解析：因为, 所以．故选：B． 5.解析：记事件A为所取产品是甲厂生产的，事件B为所取产品是合格品. 则即为所求概率.，，.故选C. 6.解析：记事件A为“从市场上买到的一个灯泡是甲厂产品”， 事件B为“从市场上买到的一个灯泡是合格产品”， 则，，. 学科网（北京）股份有限公司 $