3.3 二项式定理与杨辉三角(课时2）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学学案聚焦二项式系数的性质及杨辉三角这一核心知识点，课堂导入通过令a=b=1和a=1、b=-1代入二项式定理，引导学生自主发现二项式系数和、奇偶项系数和等结论，搭建从二项式定理到性质应用的学习支架。 资料亮点在于注重探究式学习与逻辑推理，通过特殊值代入培养学生用数学眼光发现数量关系，例题涵盖整除证明、不等式推导等实际问题，锻炼数学思维的严谨性，习题分层设计兼顾基础与提升，助力学生深化理解并学会用数学语言表达规律，提升应用意识。

3.3二项式定理与杨辉三角（课时2） 1、 学习目标 1. 掌握二项式系数的性质，并能进行简单的应用 2. 了解杨辉三角及其性质 3. 应用二项式系数的性质及杨辉三角解决问题 2、 重难点 重点：二项式系数的性质运用 难点：二项式系数的性质及杨辉三角解决问题 新课导入 在二项式定理中，分别令a，b为以下特殊值，你能得到什么结论？ (1)a = b = 1； (2)a = 1，b = -1. 二项式定理中，如果令a=b=1，则有 二项展开式的二项式系数和为2n. 令a = 1，b = -1，则有 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1. 3、 知识梳理 1.二项式系数的性质： . 2.杨辉三角具有以下性质： （1）每一行都是对称的，且两端的数都是 1 ； （2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. 3.假设，则 化简可得，从而有 利用二项式系数的对称性可知，，，，…，，，，是先逐渐变大，再逐渐变小的， 当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大， 当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 4、 例题讲解 例1求证：能被100整除 例2 当n是正整数且x>0时，求证： 例3 已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且.若，则展开式中常数项是( ) A.32 B.24 C.4 D.8 例4“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中,法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( ) A. B.在第2022行中第1011个数最大 C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第 8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3 五、课堂练习 1.设，化简( ) A. B. C. D. 2.（多选）已知，则( ) A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中系数最大项为第1350项 C. D. 3.若， 则__________. 六、课后练习 1.设，若，则( ) A.1 B. C.3 D. 2.已知二项式，则________. 3.已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____.（用数字作答） 4.已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则__________. 答案解析 三、知识梳理 1. 四、例题讲解 例题1 证明：因为 由二项式定理可知上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知，原数能被100整除. 例题2 证明：由二项式定理可知 因为x > 0，所以上式右边的项都是正数 从而可知 例题3 解析：由题意得，因此. 因为，所以令，可得. 令，则. 又，所以，因此. 所以展开式的通项. 由，得， 因此展开式中常数项为.故选B. 例题4 解析：由可得 ,故A错误; 第2022行中第1011个数为,故B错误; ,故C正确; 第34行中第15个数与第16个数之比为 ,故D错误.故选:C. 5、 课堂练习 1.答案：C 解析：， 故选：C. 2.解析：易知的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确； 由二项展开式的通项，知， 所以第1350项的系数为， 所以第1350项不是系数最大的项，故B错误； 当时，①， 当时，②， ，可得，故C错误； 当时，，当时，， 所以，故D正确.故选AD. 3.解析：令可得， 令可得，即， 所以. 6、 课后练习 1.答案：D 解析：令，则可得. 又，则． 故选：D． 2.答案：122 解析：令得，①， 令得，② ①-②得，. 故答案为：122. 3.答案：28 解析：各项系数和为256，令得，即 该二次展开式中的第项为 令，得，此时常数项为 故答案为：28. 4.解析：设， 且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B， 则，， 由已知得.令，得， 即，即， 所以，所以.所以. 学科网（北京）股份有限公司 $