21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2025-2026学年人教版 九年级数学上册

21.2.4一元二次方 程根与系数的关系 忆 忆 1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a≠0) 2.一元二次方程的求根公式是什么？ X三 -b±、b2-4ac (b2-4ac≥0) 2a 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 「△>0←→方程有两个不等的实数根； △=b2-4ac{△=0←→方程有两个相等的实数根； (△<0←→方程无实数根. 解下列方程并完成填空： (1)x2-5x+6=0 (2）x2+3x-4=0 (3)x2+6x+8=0 两根 两根的和两根的积 一元二次方程 X1 X2 X1+X2 X1X2 x2-5x+6=0 x2+3x-4=0 x2+6x+8=0 三个方程的二次项系数 以上方程有什么. 共同特点，你从中发 都是1，它们的两根之和等于 现了什么.？ 一次项系数的相反数，两根 之积等于常数项. 思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(xx2)=0(x1,x2为 已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的形式， 你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(xx2)=0的左边展开，化成一般形式， 得方程 x2-（x1+x2)x+x1K2=0 这个方程的二次项系数为1，一次项系数D=-(+2), 常数项q=x1x2. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下 关系： (x1+x2)=-p,X1x2=4 思考 一般的一元二次方程x2+bx+c=0中，二次项系数a未 必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， 女 -b+√b2-4ac ,2= -b-√b2-4c 2a 2a 由此可得 X1+x2= -b+/b2-4acb-b2-4ac -2bb 2a 2a 2a -b+√b2-4ac.-b-√b2-4ac_(-b)2-(b2-4ac）-c X1X2= 2a 2a 4a2 a 一元二次方程根 若x1,X2是一元二 b 则x1+X2=- ,x a 注意事项 (使用前提) 归纳小结 与系数的关系（韦达定理） 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根， 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关 C 1X2 a 系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比 的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 学以致用 不解方程，求下列方程两个根的和与积（两根为x,x2) 父 例1 (1)x2+7x+6=0 解：a=1,b=7,c=6 x1+x2=3,x1x2=-15 .△=72-4×1×6 (2)x2-3x=15 =25>0 X1+X2=-3,1x2=15 ∴.方程有两个不相等的实数根 4 b7 x1+x2=-3x1=3 .X1+X2=-。= ÷=-7 (3)3x2+2=1-4x a 1 x1+x2=-4,x1x2=-1 C6 。6 x1+x2=1,X1x2=-1 (4)5x2-1=4x2+x x1+x2=-1,x1X2=-1 典例学习 例2已知仿程的一个根，求另一个根及未知系数 已知方程5x2+x-6=0的一个根是2，求它的另 解： 设方程的两根分别是x1、x2,其中x1=2 C -6 6 a 5 5 :2x2 6 3 x22-5 E 又x1+x2=-a 5 2引 -5 ∴.k=-7 :方程们为根是x=-子k=-7 根及的值 加油1 典例学习 变式已知方程的一个根，求另一个根及未知系数 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另 方程的另一根是x=5,m=15 个根及m的值 典例学习 例3整体代换，求与1、x有关的代数式的值 不解方程，设方程2x2+3x-1=0的两根为x1 (1)x+ (2) 1 1 (3)(x1+2 解：由根与系数的关系得 2 b 3 C -1 +2-a- 2 xx2-a 2 2 (1)x2+x号=(x+x2)2-2x2 -3》-2x(-分 (3)∴.(x 13 x2,求下列各式的值 )(x2+2) 1x1+x2 X2 X1X2 3 2 二 2 =3 +2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4 +2x-4 1