3.2平面直角坐标系 强基训练 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

3.2平面直角坐标系 强基训练 一、单选题 1．在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知点，且轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．1 3．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y=x上．已知OA1=1，则点B2022的横坐标为(     ) A．2022 B．2021 C．22022 D．22021 5．如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m的值为（    ） A．0或 B． C． D．或 8．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 9．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知点A的坐标为，A点向左平移两个单位到B的位置，则点B的坐标为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为 ． 12．若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于3，则点的坐标为 ． 13．如图是围棋盘的一部分，若用表示白棋的位置，用表示白棋的位置，则黑棋的位置可表示为 ，黑棋的位置可表示为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ． 15．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 ． 三、解答题 16．在直角坐标系中，写出图中从A点出发、按箭头所指方向先后经过的各点的坐标． 17．如图是某学校的平面示意图，旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)画出图中的直角坐标系； (2)写出图中食堂，图书馆的坐标； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在坐标系中标出办公楼和教学楼的位置； (4)在（3）的条件下，如果一个单位长度表示40米，求宿舍楼到教学楼的实际距离． 18．下图所示的是一只鸭子的图案，每个小方格的边长均为1，请解决下列问题： (1)以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． (2)试计算图案覆盖的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可. 【详解】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：； 因此，线段的长度为5， 故选：C 2．D 【分析】本题考查点的坐标规律，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键． 平行于x轴的直线上的点的坐标特征：纵坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵点，且轴， ∴， 解得， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键． 根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点到y轴的距离是， 故选：B． 4．D 【分析】OA1=1=20，利用y=x，逐次求出A1B1=1，OA2=2=21，OA3=1+1+2=4=22，OA4=8=23，即可求解． 【详解】解：OA1=1=20， 则A1B1=1，OA2=2=21， 则A2B2=2，则A2A3=2，则OA3=1+1+2=4=22， A3B3=OA3=4，则OA4=8=23， … 则OA2022=22021， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通过逐次求出OA2=21、OA3=22、OA4=23…，通过找规律求解即可． 5．B 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点右2个单位，下1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：正方形的点的坐标为，点的坐标为， ，，，第一个正方形面积，， 延长交轴于点，作正方形， ， ， ， ∴， 同理可得：， …… 第2个正方形的面积为：， 同理可得，， …… 第2025个正方形的面积为：， 故选：D． 7．A 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，根据点D到x轴的距离为3，得到，由此求解即可． 【详解】抛物线的解析式为， 故抛物线C的顶点为． ∵点D到x轴的距离为3， ∴． 当时，此方程无解； 当时，解得，． 综上所述，m的值为0或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，求抛物线顶点坐标，解一元二次方程，正确求出抛物线顶点坐标是解题的关键． 8．C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 9．B 【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2021的坐标． 【详解】解：由题意可得，点A1的坐标为（1，2）， 设点B1的坐标为（a，a）， ∵，解得，a＝2，（负根舍去） ∴点B1的坐标为（2，1）， 同理可得，点A2的坐标为（2，4），点B2的坐标为（4，2）， 点A3的坐标为（4，8），点B3的坐标为（8，4）， …… ∴点B2021的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 10． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，根据平移规律(横坐标左移减)即可得答案，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 【详解】∵点向左平移两个单位到B的位置， ∴B的坐标为，即， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了坐标与图形，以及三角形的面积，数形结合是解题的关键，根据点的坐标，求得，边上的高为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点、、坐标分别为、、， ∴，边上的高为， ∴面积为 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握“平行于x轴的直线上的点纵坐标相同"及"点到y轴的距离等于横坐标的绝对值"． 【详解】因M、N在平行于x轴的直线上，故纵坐标相等，即． 点N到y轴的距离为3，即，得或． ∴点N的坐标为或． 故答案为：或． 13． 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点的坐标得出原点位置，建立平面直角坐标系，进而得出答案，正确得出原点位置是解题的关键． 【详解】解：∵用表示白棋的位置，用表示白棋的位置， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴黑棋的位置可表示为，黑棋的位置可表示为， 故答案为：，． 14．（-2,0） 【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意得： 点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），， ∴每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0）， 故答案为：（-2,0）． 【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键． 15．（4，4）或（12，-12） 【分析】根据题意可得|m+3|=|6-2m|，从而可得m+3=6-2m或m+3=-（6-2m），然后进行计算即可解答． 【详解】∵点M（m+3，6-2m）到x，y轴的距离相等， ∴|m+3|=|6-2m|， ∴m+3=6-2m或m+3=-（6-2m）， ∴m=1或m=9， 当m=1时，m+3=4，6-2m=4， ∴点M的坐标为（4，4）， 当m=9时，m+3=12，6-2m=-12， ∴点M的坐标为（12，-12）， 综上所述：点M的坐标为（4，4）或（12，-12）， 故答案为：（4，4）或（12，-12）． 【点睛】本题考查了点的坐标，理解到坐标轴的距离与横纵坐标的关系是解题的关键． 16．，，，，，，，，， 【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的特征依次写出即可． 【详解】解：由平面直角坐标系的定义可得： ，，，，，，，，，． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的书写，理解平面直角坐标系的定义，掌握点坐标的书写方式是解题关键． 17．(1)见解析 (2)食堂，图书馆 (3)见解析 (4)320m 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标的表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据旗杆的坐标可以得到原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）由坐标系可写出这两点的坐标即可； （3）根据坐标，描出点的位置即可； （4）宿舍楼到教学楼的距离是8个单位长度，乘以即可． 【详解】（1）解：以大门为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系如图所示； （2）解：由图可知食堂，图书馆； （3）解：在坐标系中标出办公楼，教学楼的位置如上图所示； （4）解：宿舍楼的坐标为，教学楼的坐标为， 则，（m）． ∴宿舍楼到教学楼的实际距离为320m． 18．(1)，，，，，，， (2)9 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解题的关键是根据所给条件得到三角形相应的底边和高的长度． （1）根据各象限点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征写出各点坐标； （2）用长为6、宽为3的矩形的面积分别减去三个三角形的面积和一个梯形的面积进行计算 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．由图，得，，，，，，，． （2）解：图案覆盖的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $