3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“椭圆及其标准方程”核心知识点，通过圆锥曲线历史（阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》）与生活实例导入，衔接学生已学的圆的定义与方程，搭建从圆到椭圆的认知支架，引导学生建立新旧知识联系。 此资料突出数学核心素养培养，借助硬纸板、图钉等教具让学生动手画椭圆，发展几何直观与空间观念（数学眼光），方程推导中通过两次平方化简根式提升运算能力（数学思维），表格梳理两种标准方程形式培养归纳表达能力（数学语言）。实例具体可操作，助力学生直观理解定义、掌握推导逻辑，便于教师高效开展教学。

教学设计 课程基本信息 课题 椭圆及其标准方程 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 人民教育出版社A版 选择性必修第一册 第三章 3.1.1 教学目标 1.理解椭圆的定义. 2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. 3.掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程. 教学重难点 重点：椭圆的定义及其标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导. 学情分析 1.学生已学过用坐标法解决几何问题，并掌握圆的定义和标准方程，会解决一些基本圆的几何问题. 2.从圆到椭圆，跨度较大，学生难以改变对圆的固有思维，如何将椭圆的几何特征融会贯通，难度较大. 3.初中代数未涉及对几何图形构建标准方程问题，而椭圆标准方程是研究椭圆性质的基础，学生在求椭圆标准方程时，可能会遇到根式难以化简问题. 教学准备 教具：硬纸板、图钉、无弹性细绳、铅笔；多媒体课件. 学具：学生每人一套硬纸板、图钉、无弹性细绳、铅笔.  教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计 情 景 引 入 (1)圆锥曲线的发现和研究始于古希腊。在古希腊数学家阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中，用一个不垂直于圆锥曲线的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，分别是椭圆、双曲线和抛物线. (2)观察生活中的几何形状，加深对椭圆的感性认识. 让学生初步了解圆锥曲线，同时激发学生探究问题的兴趣，使学生积极、主动地参与教学.       动 手 实 践         让学生取出事先准备好的细绳，把它的两端固定在硬纸板上的两点处，用铅笔尖把细绳拉紧，在纸板上慢慢移动，看看画出的轨迹是什么曲线？ 根据刚才的实践请同学们回答下面几个问题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？这说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 当等于绳长时，形成的轨迹是什么？ 当大于绳长时，还会形成轨迹吗？ 4.播放视频演示画椭圆的过程，思考如何用简洁的数学语言描述椭圆？ 让学生体会画椭圆的过程，感受知识生成的过程，然后视频动画演示，形象直观地说明椭圆定义中的关键和必备条件，全程体会数学的直观性与严谨性.         归 纳 概 念 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.定点称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距.其中 注:(1)当2a=2c时，轨迹为线段. (2)当2a<2c时，无轨迹. 教师在引导学生理解椭圆的定义时，先突出“和”，再完善“常数”的长度要求．让学生体会重要关节点和注意点. 求 椭 圆  的 标 准 方 程             以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系.设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c. 思考：如何化简这个方程呢? (可以使方程变得简单整洁) 思考：若焦点在轴上，则椭圆的标准方程又是什么呢？(让学生猜想，并说明如何验证) 思考：两种椭圆标准方程的区别和联系？(让学生整理成表格) 两次平方是处理根式方程的通用且重要的方法，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想.并感受椭圆的方程、图形的对称性、简洁性. 探求焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生体会类比、化归等重要数学思想. 表格梳理所学知识，强化学生对椭圆方程的理解，培养学生的整理归纳能力. 例 题 讲 解 巩固对标准方程形式的认识和对参数几何意义的理解. 培养学生综合分析条件、灵活运用知识的能力. 课 堂 练 习 通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力. 作业设计 1.必做题：教材109页练习题1，2. 2.选做题：探究椭圆标准方程中变化时，椭圆形状的变化规律. 板书设计 左侧：椭圆的定义 中间：椭圆标准方程的推导 右侧：例题与练习. 教学反思 本节课容量较大，时间分配是关键.应确保学生有充足的动手操作和思考讨论的时间，方程的推导过程不宜过快，要一步步引导学生自己完成.对于基础较弱的班级，教师可以在两次平方得关键步骤上多做示范和 引导.  学科网（北京）股份有限公司 $