第2课时 验证勾股定理&专题培优 勾股定理在长方形折叠中的应用-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

乙AEB- BFC. 在Rt△ABC中,AB是斜边,由勾股定理,得 EAB-FBC. B$C-AB-AC-130-50$-12 0.$ AB-BC. 所以BC-120m. 所以△ABEC2△BCF(AAS). 3600 h= 所以AE-BF-10cm. 因为CF-12cm. 600h 所以在Rt△BCF 中,BC*=BF+CF= 10+12-244. -72(km/h). 所以S正xmum-BC?-244 cm}, 即正方形本板ABCD的面积为244cm. 因为72 km/h 60 km/h. 第2课时 验证勾股定理 所以这辆小汽车超速了 1.解:(1)4c a+b 9.解:如图②,连接BF. (2)(a+b):或2ab+c”a+b-} 数字科 (3)斜边长c的值为10 2.D 3.A 4.A 5.解:宝藏藏匿点距离出发点10km. 6.B 解析:因为BC-5,AB^{}-61,所以AC CB D cB AB-B$C*-61-25-36,所以AC-6.因为 。 图① 图② 将四个直角三角形中较长的直角边分别向外 在图①中,因为AC一b,所以正方形ACDE 延长一倍,所以AD-AC-6,所以CD=12 的面积为. 所以BD-BC+CD-5+12-13,所 $ BD一13,所以“数学风车”的外围周长是 在图②中,因为CD-DE-AC-b,EF BC-a: (13+6)×4-76.故选B 所以BD-CD-BC-$-a,DF=$DE+$ 【易错】由题图找准“数学风车”的外围周长是 由哪些线段组成的,才能正确求解 EF-a+b. 7.49 解析:设大正方形的边长为c.因为大正 因为 CAE-90*. 方形的面积是25,所以c-25,所以a^}+$ 所以 BAC+BAE-90{。 因为/BAC=/EAF. 6^{}-c*一25.因为每个直角三角形的面积是 25-1-6.所以每个直角三角形的面积是 所以 EAF+ BAE-90{,即 BAF=90$$$ 因为AB=AF. 所以八BAF为等腰直角三角形, 所以四边形ABDF的面积为 $ +2ab- +2ab-25+2x12-49 8.解:这辆小汽车超速了,理由如下: 由题意,知AB-130m,AC-50m. 因为图①中正方形ACDE的面积与图②中 四边形ABDF的面积相等, 【关键】将所求的线段与已知的线段转化到同 1 一个直角三角形中,然后利用勾股定理求解 所以二 解得:一 2.解:因为四边形ABCD是长方形,AD-8. 所以BC-8. 10.解:如图,过点O作OD1PN,交PN于点 因为△AEF是由△AEB翻折而成. D.以点O为圆心,5km为半径作张,与PN 所以BE-EF-3,AB-AF,△CEF是直角 三角形, 交于点E,F. 【关键】作辅助线构造直角三角形和找出线 所以CE-8-3-5. 在Rt△CEF中,CF=CE-EF=5-3-4 段EF是解决问题的关键。 所以CF-4. 由题意,知OD-4km,OE-OF-5km 设AB-x,则AC-x+4. 数 在Rt△ABC中,因为AC*=AB+BC. 所以(r十4)--^}+8,解得x-6,即AB的$ 长为6. 由勾股定理,得DE*=OE-OD=5-4$= $ 3.解:设EF-x,由题意知,△CDE△CFE 所以DE-3km,所以EF-6km. 所以DE=EF-x,CF-CD=5. 所以通话时间为6-30-0.2(h),0.2×60 由勾股定理,得AC*-AB*+BC{*}-5+$ 12(min). 12-169,所以AC-13. 所以这一行进过程中通话时间最多是 所以AF=AC-CF=8,AE=AD-DE= 12 min. 12-r. 专题培优 勾股定理在长方形折叠中的应用 在Rt△AEF中,因为AE=AF+EF 1.解:如图,设BD,EF相交于点O.连接 BF,DE. 4.解:因为△AFE是由△ADE沿AE翻折而 成的, lC 所以AF-AD-BC-13 cm.DE-EF$ 由折叠的性质可知BE一DE 在Rt△ABF中,因为BF*}-AF*-AB{= 设CE=x,则BE-8-x. 13-12-25. 在Rt△DCE中.C=90*,CE=x.CD=6 所以BF-5cm. DE-BE-8-r. 所以CF-BC-BF-13-5-8(cm) 所以(8-x):-x+6. 设CE=xcm,则EF-(12-x)cm. 3 t 在Rt△CEF中,因为EF*-CE+CF. 所以(12-x)-r十8,解得x= 3,即CE 10 11.解:(1)3,4.5(是正整数)是一组勾股 5.解:由折叠的性质,知EF=BE=10cm. 数,理由如下: B$C=CF=AD,所以AE=AB-BE=CD- 因为是正整数,所以3,4,5k都是正 BE-16-10-6(cm). 整数。 在Rt△AEF中. 因为(3)+(4)一(5)②. 因为AF=EF-AE-10-6=6 4, 所以3,4,5(v是正整数)是一组勾股数 所以AF-8cm,所以DF-(AD-8)cm (2)ak,处,ch(b是正整数)是一组勾股数,理 因为DF+CD-CF②. 由如下: 所以(AD-8)+16-AD*. 解得AD-20cm. 因为a,b,c是一组勾股数,且是正整数; 所以a}+b}=c^,且ak,b,ch是三个正$$ 即AD的长为20cm 整数. 2 一定是直角三角形吗 1.解:(1)5 所以(ak)+(bk)=a{}b}+b{b-(a}+$ b?)h-c?h一(ck)?. (2)△ABC是直角三角形,理由如下; 由题图可得,AB-1+2-5,BC-3+$ 所以ak,缺,ck(b是正整数)是一组勾股数 4-25,AC-2+4-20 12.解:如图,连接AC 所以AB*+AC-BC. 【关键】连接AC.构造Rt入ADC.把不规则 所以△ABC是直角三角形. 图形的面积转化为规则图形的面积来求解。 (3)能构成一个直角三角形三边的线段有 AB.EF.GH. 2.B 3.C 4.C 5.C 6.79 7.C 8.B 因为AD=4m.CD-3m.ADC-90{*. 解析:因为l12-a1+1b-51+lc- 所以AC-3+4-5. $ -0,所以12-a-0,6-5-0,c-13-0.$ 所以AC-5m. 解得a =12,b-5,c-13.因为a}+b-1 $-}+$ 5*-l3{}-c^,所以△ABC是直角三角形,所 在△ABC中,因为AC=5m,BC=12m. 1 AB-13m. 所以AC+BC*-AB. 得d一 所以△ABC为直角三角形,且/ACB-90^, 10.6 解析:如图,根据勾股定理及直角三角形 所以S- 的判别条件可知,符合条件的点C有6个.第●章 勾股定理 第2课时 验证勾股定理 基础培优题 挖摇教村，高于教材 3.(教材P7读一读变式)意大利著名画家达· 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两 一题两用（理解知识·激活思维） 个空洞的面积是相等的（如图所示），从而验 1.用四个完全相同的直角三角形（如图①） 证了勾股定理.若设最左边图中空白部分的 拼成一大一小两个正方形（如图②），直角 面积为S1,最右边图中空白部分的面积为 三角形的两条直角边长分别为a,b,且 S2,则下列关于S1,S2所列等式不正确的是 a>b,斜边长为c. 基础设问 (1)图②中，中间小正方形的周长为 剪开 右边部分 大正方形的边长为 上下翻转 (2)用两种方法表示图②中大正方形的面 积为 (用含a,b,c的式 A.S=a*+b2+2ab B.S2=c*+ab 子表示)，从而得到勾股定理的表达式为 C.S=S: D.a:+b2=c* 知识点二。勾股定理的实际应用 4,学校旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多 2m,将绳子的下端拉开6m后，下端刚好接 触地面，则旗杆的高度为 () 图① 图② A.8 m B.10mC.12mD.14m 延展设问 5.(教材P6随堂练习变式)如图所示，一个寻宝 (3)若a=8,b=6,求斜边长c的值. 探险小队从A处出发探寻宝藏，他们先向正 东行走4km到达点C,然后又向正北行走 2.5km到达点D,接着他们又向正东继续行 知识点一。验证勾股定理 走2km到达点E,最后他们又向正北前进了 5.5km到达点B,才找到了宝截，你能准确 2.(教材P7T2变式)勾股定理是历史上第一个 地求出宝藏藏匿点距离出发点多少千米吗？ 把数与形联系起来的定理，其证明是论证几 何的发端.下面四幅图中不能验证勾股定理 的是 智学酷提优精练数学八年级上册(BS) 优能力提升题 综合应用，提升能力 的方法：如图①，点B是正方形ACDE边 6.(易错题)我国古代著名的“赵爽弦图”如图① CD上一点，连接AB,得到Rt△ACB,三边 长分别为a,b,c,将△ACB裁剪、拼接至 所示，它是由四个全等的直角三角形围成的， △AEF的位置，如图②所示.该同学利用图 且较短的直角边BC=5,AB2=61.若将四个 直角三角形中较长的直角边分别向外延长一 ①中正方形ACDE的面积与图②中四边形 倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风 ABDF的面积相等验证了勾股定理.请你写 出利用该方法验证勾股定理的过程。 车的外围周长是 图① 图 a B a B D A.70 B.76 C.72 D.80 图① 图② 7.(传统文化)我国古代数学家赵 爽的“赵爽弦图”如图所示，它是 由四个全等的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正 方形.如果大正方形的面积是25，小正方形的 面积是1，直角三角形较短的直角边为a,较 长的直角边为b,那么(a十b)2的值为 片素养创新题 桃战创前，素乔发展 10.小张和小李都是公路巡逻员， 8.某道路规定：小汽车在该道路上的行驶速度 不得超过60km/h.如图（示意图），一辆小汽 根据分工，小张开着巡逻车在 车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行 公路PN上巡逻，小李在岗亭 驶到路对面“车速检测仪A”正前方50m的 O留守，并且两人开通无线对 讲机进行联系.已知对讲机在它的周围5km C处，过了6s后，测得小汽车位置B与“车 速检测仪A”之间的距离为130m,这辆小汽 范围内（包括5km)才可以正常使用.如图， 车超速了吗？请说明理由。 点O到公路PN的距离为4km.小张早上 8:00从点P出发，开着速度为30km/h的 巡逻车向PN方向行进.若小张身上带的通 信工具只有对讲机，且在行进过程中要与小 车速检测仪 李通话，则这一行进过程中通话时间最多是 几分钟？ 9.学习勾股定理之后，同学们发 现验证勾股定理有很多方法.某 同学提出了一种验证勾股定理 第●章 勾股定理 专题培优！勾股定理在长方形折叠中的应用 沿某直线折叠，使长方形的一 折叠长方形，使长方形的一个 类型一组对角的顶点重合 类型三国 顶点落在对边上 1.如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=8,将 4.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在 长方形对折，使点B与点D重合，折痕为 BC边的点F处，已知AB=12cm,BC= EF,求图中CE的长 13cm,求CE的长. D 沿某直线折叠，使长方形一个 类型二顶点落在对角线上 2.如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD 8,折叠纸片使点B的对应点落在对角线AC 5.在一次数学活动课上，小李同学将长方形 上的点F处，折痕为AE,且EF=3,求AB ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在 的长 AD边上点F处，如图，若CD=16cm,BE= 10cm,求AD的长. 3.如图，在长方形ABCD中，AB=5,BC=12 将长方形ABCD沿CE折叠后，点D恰好落 在对角线AC上的点F处.求EF的长