精品解析：辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高三上学期第二次质量检测数学试卷

沈阳市第120中学2025-2026学年度高三上学期第二次质量检测 科目：数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：李天刚 杨晨 审题人：李晓东 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 5. 在中，，则=（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知函数，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的前项和，则______． 13. 已知，，则______． 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 16. 已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数. 18. 已知函数在区间单调，，且 （1）求图象的一条对称轴； （2）求的解析式； （3）在锐角中，若，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度高三上学期第二次质量检测 科目：数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：李天刚 杨晨 审题人：李晓东 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由，得，解得， 因此，而， 所以. 故选：B 2. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则， 当时，，，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算计算求解. 【详解】等差数列的前n项和为， 因为，， 所以， 故选：A. 4. 若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且， 又因为，所以，所以，所以函数的周期为4， 因为，令，所以， 则； 故选：C. 5. 在中，，则=（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得，从而可求出角的值 【详解】因为，所以由正弦定理，得 所以或 又 所以， 所以 故选：C 【点睛】此题考查正弦定理的应用，属于基础题. 6. 已知函数，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、定义域与指数函数的单调性及二次函数的性质计算即可得. 【详解】由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性知，若函数在区间上单调递减， 则，解得. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 8. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数有极值问题，解决的方法是要保证其导数有变号零点. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数， 对于A，，当时，， 而函数在上单调递增，因此在上单调递减，A正确； 对于B，当时，的最小正周期为，， 由，得，B错误； 对于C，由，得，由在上有且仅有2个不同的解， 得，解得，C正确； 对于D，，要为奇函数， 当且仅当，而当时，，因此不可能是奇函数，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的前项和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，然后由得出在时的表达式，然后由满足，可求出的值. 【详解】等比数列的前项和，则. 当且，. 适合，则，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查了利用等比数列的前项和表达式求参数，主要考查公式的运用和处理能力，考查计算能力，属于中等题． 13. 已知，，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 即， 因为， 则． 故答案为：． 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，结合函数性质将条件转化为恒成立，结合二次函数性质列不等式求的范围. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 又当时，，， 所以， 所以在上单调递增， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以且在上恒成立， ①若在上恒成立，则，解得； ②若在上恒成立，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可求角； （2）利用余弦定理和角平分线的性质建立方程组，结合面积公式可得答案. 【小问1详解】 依题意， ，因为，所以． 【小问2详解】 中，，．① 又，，即，② 联立①②得，．． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数. 【答案】（1） 当时，函数在有最小值； 当时，函数在上有最小值； 当时，函数在上有最小值； （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论利用导数求解函数的最小值； （2）求导，再利用点斜式求出切线方程，联立方程，令，通过求导研究其单调性，进而确定其公共点个数即可； 【小问1详解】 函数的定义域， 求导得， 令，解得，（因为，舍掉负根）， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当即时，函数在上单调递增，函数有最小值； 当即时，函数在上先减后增，函数有最小值； 当即时，函数在上单调递减，函数有最小值； 综上所述，当时，函数在有最小值； 当时，函数在上有最小值； 当时，函数在上有最小值； 【小问2详解】 当时，， 在处，，导数，故， 切线的方程为，即， 求与曲线的交点，即解方程， 整理为，令， 导数，故在上单调递增， 注意到，因此，仅有一个解，即公共点个数为1. 18. 已知函数在区间单调，，且 （1）求图象的一条对称轴； （2）求的解析式； （3）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由最小正周期，且且，可得图像的一条对称轴. （2）由（1）知，故，由，得，2或再由直线为图像的一条对称轴可得，又由，可得，或得出或，判断出当时从而得，即得答案. （3）因为，得，再根据三角形为锐角三角形得出B的范围，根据二倍角公式化简问题式结合对勾函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由题可知函数的最小正周期, 又因为且， 所以直线为图像的一条对称轴； 【小问2详解】 由（1）知，故，由，得，2或 由直线为图像的一条对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数，，使得，2或 若，则， 即不存在整数，，使得或3； 当时，，此时， 由，得，所以. 【小问3详解】 因为，所以, 因为在锐角中，，所以， 由，得，,则； 而， 当且仅当，即时，取最小值， 当或1时，，则的值域为， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的图象与性质分类讨论可求解析式；由三角形为锐角三角形确定B的范围，通过二倍角公式化简结合对勾函数的性质可计算范围. 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【小问1详解】 函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $