第一章 特殊平行四边形 测试卷 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 甘肃省酒泉市酒泉北苑学校2025-2026学年度数学第一章测试卷 北师大新版九年级上册《第1章 特殊平行四边形》 1.在下列个判断中正确的是(    ) A. 如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质 D. 四边相等的四边形是正方形 2.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 3.在下列命题中，正确的是(    ) A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4.如图．在菱形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，矩形的对角线，，则的长为(    ) A. B.   C. D.   6.如图，在中，点，，分别在边，，上，且，下列四个判断中，不正确的是(    ) A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分，那么四边形是菱形 D. 如果且，那么四边形是菱形 7.如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9.如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在菱形中，对角线，，点，分别是边，的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是(    ) A. B. C. D. 11.当矩形的对角线互相垂直时，矩形变成______． 12.已知菱形的周长为，两个相邻内角的度数之比为：，则较短对角线的长为______． 13.如图，已知四边形为正方形，，则 ______． 14.如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为______． 15.正方形的对角线是，那么边长为______，周长为______，面积为______． 16.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，，则四边形的周长是______． 17.已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的边长为______． 18.如图，以正方形的对角线为一边，延长到，使，以为一边作菱形，若菱形的面积为，则正方形边长为______． 19.如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点． 求证：； 若，，求四边形的面积． 20.如图，在▱中，、为边上两点，且，． 求证：≌； 四边形是矩形吗？为什么？ 21.如图，已知菱形中，，，求：． 22.已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． 求证：≌； 判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论． 23.如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、，延长交边于点． 求证：≌； 求的度数． 24.如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，点在上，再将沿着所在直线翻折得到，连接． 证明：四边形是菱形； 连接并延长交于点，连接交于点在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的等腰三角形不包括等边三角形． 25.在图中，四边形和都是正方形，是的中点． 如图，点在延长线上，求证：； 在图的基础上，将正方形绕点顺时针旋转到图位置，此时点在延长线上求证：； 在图的基础上，将正方形绕点在任一旋转一个角度到如图位置，此时和还相等吗？不必说明理由 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故A选项错误； B.对角线互相垂直的四边形是菱形，故B选项错误； C.正方形既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，故C选项正确； D.四边相等的四边形是菱形，故D选项错误； 所以其中正确的命题是； 故选：． 根据平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质分别对每个命题的真假进行判断即可． 此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质，关键是能够根据有关判定和性质对命题是否正确做出判断． 2.【答案】  【解析】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故选：． 首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、应为两组对边平行的四边形是平行四边形； B、应为有一个角是直角的平行四边形是矩形； C、符合菱形定义； D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 故选：． 要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】 解：、菱形的对边平行且相等，所以，故A选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，，故C选项正确； D、菱形的对角线互相平分，，故D选项正确． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：， ， 四边形是矩形， ，，， ， 是等边三角形， ， 故选：． 根据矩形的性质求出，求出是等边三角形，即可求出． 本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据矩形的性质求出是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，故不合题意； 根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故不合题意； 如果平分，那么，由，可得， ， ， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故不合题意； 如果且，无法得到平分，所以不能得到四边形是菱形，故符合题意． 故选：． A、分析题意，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可作出判断； B、根据“有一角是直角的平行四边形是矩形”可作出判断； C、结合角平分线的定义和平行线的性质可得，再结合菱形的判定定理可作出判断； D、如果且不能得到平分，再仿照的方法进行判断，从而完成解答． 本题侧重考查矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：是正方形 ， ≌ 第一个正确 ，第三个错误 ， 第二个正确 ， 第四个正确 所以不正确的是，故选C． 分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解． 此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况． 8.【答案】  【解析】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形， 所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形． 故选：． 根据四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形，每一步都踩在一块纸片的中心，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，进而可得这个小孩走的路线所围成的图形． 本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 9.【答案】  【解析】解：设， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 即； 故选：． 先由勾股定理求出，再求出，设，可得出方程，解方程即可． 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设交于，作关于的对称点，连接，交于，则此时的值最小， ， 四边形是菱形， ，，，，， 为的中点， 在上，且为的中点， ， ，， ，为中点，为中点， ， 在和中 ， ≌， ， 即为中点， 为中点， 、重合， 即过点， ，， 四边形是平行四边形， ， 菱形， ，，， 由勾股定理得：， 故选：． 设交于，作关于的对称点，连接，交于，则此时的值最小，根据菱形的性质推出是中点，与重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出的位置和求出，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力． 11.【答案】正方形  【解析】解：对角线互相垂直的矩形是正方形， 故答案为：正方形． 由正方形的判定可求解． 本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：相邻两个内角的度数之比是：， 两个相邻角度分别为、， 较长的对角线所对的角为， 较短的对角线所对的角为，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形， 那么较短的对角线长为． 故答案为：． 由已知可求得较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线的长等于其边长． 此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用，难度一般，如果不熟练菱形的性质，解答本题的时候可以先画出草图． 13.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 故答案为：． 由“”可证≌，可得，由余角的性质可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点， ， ，， ，且，， ≌ ，， ， 故答案为：． 由“”可证≌，可得，，可得结论． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键． 15.【答案】      【解析】解：正方形的对角线， 边长， 周长，面积， 故答案为：，，． 由正方形的性质可求解． 本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，，， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 故答案为：． 由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键． 17.【答案】  【解析】解：因为菱形的两条对角线互相垂直平分， 所以，，， 由勾股定理得． 故答案为：． 根据菱形的性质：两条对角线相互垂直且互相平分，求出，，然后根据勾股定理求出的长． 此题主要考查菱形的性质及勾股定理的运用． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式等．设正方形的边长为，则，菱形的面积为底高，，可求出的长为即正方形的边长为． 【解答】 解：设正方形的边长为， ， 是菱形的高， ， ． 故答案为． 19.【答案】证明：四边形是矩形， ． ． ， 四边形是平行四边形． ， ． 解：四边形是矩形， ，． 在中，，， ， ， ， 即四边形的面积为．  【解析】根据矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质证明即可． 根据矩形的性质，直角三角形中角的性质计算即可． 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 20.【答案】证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ≌． 四边形是矩形； 证明：≌， ． 四边形是平行四边形， ． ． ． 平行四边形是矩形．  【解析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形的判定等知识． 根据，那么两边都加上后，得到，然后根据已知得到，，最后用边边边的方法判定三角形全等即可． 先根据≌得到，根据平行四边形的性质得到，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 21.【答案】解：如图，连接， 在菱形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 是等边三角形， ， 由三角形的外角性质，， ， 解得．  【解析】连接，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 22.【答案】证明：四边形是矩形， ，， 是的中点， ， 在和中，， ≌； 解：四边形是菱形；理由如下： 由得：≌， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形．  【解析】由矩形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明≌； 先由得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 23.【答案】证明：是正方形， ，， 又是等边三角形， ，， ， ≌． 解：是等边三角形， ， 四边形是正方形， ， ， 为等腰三角形，且顶角， ， ， ， ．  【解析】由题意正方形的边，在等边三角形中，，等于，即能证其全等． 根据等边三角形、等腰三角形、平行线的角度关系，可以求得的度数． 本题考查了正方形、等边三角形、等腰三角形性质的综合运用，是涉及几何证明与计算的综合题，难度不大． 24.【答案】证明：是由绕点旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 又是由沿所在直线翻转得到， ，， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形； 解：由可知：，是等边三角形，≌， ，且为直角三角形， ， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． ，， ， ， ， 图中的等腰三角形是和和．  【解析】需证明是等边三角形、是等边三角形，即可证明四边形是菱形； 可先证四边形是平行四边形，再由，可证四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到结论． 此题主要考查了旋转的性质，菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键． 25.【答案】解： 证明：延长交于． 正方形、， ，，，， ． 又，， ≌， ， 为直角三角形的中点， ． 延长到， 使，连接、、， 延长与延长线交于点． ，，， ≌， ，． 又正方形、， ，，， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ， ≌， ，． ， ， ，． 相等．  【解析】延长到，证明≌，得到，为直角三角形的斜边中点，得到，； 延长到，使，连接、、，延长与延长线交于点证明≌，即可得到线段，的位置及数量关系． 旋转的过程中，≌仍然成立，故结论仍成立． 本题考查旋转的性质--旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 第10页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $