1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示 一、选择题 1．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是(　　) A．(3，2，1) B．(－2，5，4) C．(－3，4，5) D．(2，－4，8) 3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是(　　) A．(1，1，1) B．(－1，1，1) C．(1，－1，1) D．(1，1，－1) 4．阅读下面材料，在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为m＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为＝＝．根据上述材料，解决下面问题：直线l是两个平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则l的一个方向向量是(　　) A．(2，1，4) B．(1，3，5) C．(1，－2，0) D．(2，0，－1) 5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　) A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) 6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　　) A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 7．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心，点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)，则点F所在的棱可以是(　　) A．AD B．CD C．CC1 D．DD1 二、填空题 9．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体． ①直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面B1C1CB的一个法向量为(－1，0，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)． 则上述结论正确的是 ________．(填序号) 11．平面α上三个点A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，写出平面α的一个法向量为 ________． 12．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________． 三、解答题 13．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动． (1)证明：D1E⊥A1D； (2)求平面ACD1的法向量． 答案 1．A　[由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n()＝， 由此可知，A，P，B三点共线．故选A．] 2．B　[对于B，若点P(－2，5，4)，则＝(－3，3，1)，则n·＝－3＋3＋1＝1≠0，所以点(－2，5，4)不在平面α内．其余选项可逐一验证．故选B．] 3．A　[如图，由题可得，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)， 则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)， 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝1，y＝1， 所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)． 故选A．] 4．A　[设直线l的一个方向向量为n0＝(x，y，z)， 平面x－2y＋2＝0与2x－z＋1＝0的一个法向量分别为m1＝(1，－2，0)和m2＝(2，0，－1)， 则 不妨取x＝2，则n0＝(2，1，4)．故选A．] 5．BCD　[对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B∉平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C∉平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D∉平面α．故选BCD．] 6．B　[设AB＝2，由题意知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)． 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．] 7．A　[＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则 即 ①＋②得－4b＋3c＝0， 令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)． ∵n⊥，∴n·＝0，即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0， ∴x＝1．] 8．B　[由题可得，B(2，0，0)，E(1，1，2)，设F(x，y，z)，0≤x，y，z≤2， 所以＝(－1，1，2)，＝(x－2，y，z)． 因为平面BEF的一个法向量为n＝(8，2，3)， 所以即8x＋2y＋3z－16＝0， 若F在AD上，则x＝0，z＝0，y＝8，不符合题意，故F不在AD上； 若F在CD上，则x＝，y＝2，z＝0，符合题意，故F在CD上； 若F在CC1上，则x＝2，y＝2，z＝－，不符合题意，故F不在CC1上； 若F在DD1上，则x＝0，y＝2，z＝4，不符合题意，故F不在DD1上．故选B．] 9．－20　12　[∵直线的方向向量平行，∴，∴x＝－20，y＝12．] 10．①②③　[根据题意，不妨设正方体的棱长为1， 则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，B(1，0，0)， 对于①，＝(0，0，1)，则直线CC1的一个方向向量为(0，0，1)，正确； 对于②，＝(0，1，1)，则直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)，正确； 对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而＝(1，0，0)， 故 (－1，0，0)可作为平面B1C1CB的一个法向量，即③正确； 对于④，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，因为CD⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB， 则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，且CD，B1C⊂平面B1CD，故BC1⊥平面B1CD， 而＝(0，1，1)，即可作为平面B1CD的一个法向量，故④错误． 故答案为①②③．] 11．(2，1，2)(答案不唯一)　[根据题意，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由于A(0，0，0)，B(1，0，－1)，C(－1，2，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)， 则有令x＝2，可得y＝1，z＝2， 故m＝(2，1，2)． 故平面α的一个法向量为(2，1，2)． 故答案为(2，1，2)(答案不唯一)．] 12．(1，2，1)(答案不唯一)　[根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0， 则平面α的一个法向量为(1，2，1)．] 13．解：(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)， ∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一) (2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则·＝0， ∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0， ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0， 化简得x－y＋z－2＝0． 14．解：(1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3， 所以·＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0， 所以⊥， 所以D1E⊥A1D． (2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，则n＝(3，1，3)． 所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一) 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $