精品解析：天津市天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第一学期 高三年级数学学科暑期学情调研 一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，即，解得，即， 解不等式，得，即，或， 所以. 故选：B 2. 一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可. 【详解】由已知，得， ∴，解得， 故选：B． 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断. 【详解】解：A.取，，则不成立； B取，，则不成立； C.∵，∴，正确； D.取，∵，∴，因此不成立. 故选：C. 4. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质即可得大小关系. 【详解】解:且， 所以的大小关系为. 故选：A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性和单调性，再判断作答. 【详解】对于A，函数是R上的奇函数，也是减函数，A是； 对于B，函数是R上的奇函数，是增函数，B不是； 对于C，函数是R上的增函数，不具奇偶性，C不是； 对于D，函数是上的增函数，不具奇偶性，D不是. 故选：A 7. 如果是第一象限角，那么恒有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数值的符号法则判断即可. 【详解】由是第一象限角，得，则， 当为奇数时，为第三象限角，，； 当偶数时，为第一象限角，，， 因此恒有. 故选：C 8. 已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得的值. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，. 故选：D. 9. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于A项，根据单调性验证充分性和必要性； 对于B项，取特值验证必要性不成立； 对于C项，充分性考察幂函数的奇偶性，必要性求出和对应系数相等； 对于D项，必要性根据幂函数的单调性验证. 【详解】对于A 项，设函数，因为在上单调递增 则 因为在上单调递增，当时，即，所以充分性成立； 若即，又因为在上单调递增，所以，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，A错． 对于B项，取满足，但是不满足，则“”不是“”的必要条件，B错． 对于C 项，时，的定义域为关于原点对称，又因为 ，所以是定义在奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则 并且，又因为，则，所以必要性成立. 故是函数为奇函数的充要条件，所以C正确. 对于D项，因为函数在上单调递增，所以，故必要性成立，所以D项不正确. 故选:C． 10. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断D；判断当且时，函数值的正负情况，可判断A，C；结合函数的性质可判断B，即得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，关于原点对称， 设，则， 故为偶函数，故D中图象不符合题意； ，当且时，， 故，则A，C选项中图象不符合题意， 只有B中图象符合题意， 故选：B 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合思想，就可以作出判断. 【详解】A:因为和都是增函数，但是当时，,,可知,故A是错误的； B:由,故B是错误的； C:因为时，,解得：，则反向必要性不成立，故C是错误的； D:方程可化为：,构造函数与,由数形结合可得： 当时，它们有两个交点，所以当,它们只有一个交点，故D是符合题意的； 故选：D. 12. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 13. 已知某扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据扇形的弧长公式直接计算出扇形的弧长. 【详解】因为扇形的弧长，所以， 故答案为：. 14. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在中，由正弦定理得.所以答案应填：． 考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理． 15. 已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得. 故答案为：. 16. 已知，且为第二象限角，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式即可求得结果 【详解】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 17. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用点斜式即可求解切线方程. 【详解】解：当时，，故切点坐标为， 又，故当时，，所以切线斜率为-4， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 18. 在上，使不等式成立的的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 19. 函数的单调递增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 20. 已知函数，则的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可； 【详解】解：当时，，因为，所以解得， 当时，时，因为，所以，解得 综上可得不等式的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题. 21. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 22. 已知函数若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据题意转化为，设的零点为，画出函数的图象，要使得方程恰有6个不同的实数根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】解：画出函数的图象，如图所示， 令，则关于x的方程，可化为， 设的零点为， 要使得方程恰有6个不同的实数根， ①当方程在内有两个不同的实根时， 则满足，解得； ②当方程的两个实数根，且时， 则满足，解得； ③当方程的两个实数根，且时， 因为，所以此时不成立； 综上可得，实数m的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解. （2）由（1）的结论，利用诱导公式化简即得. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 24. 已知函数，. （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求使取得最小值的的集合. （4）求函数单调递增区间. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）代值计算即得的值； （2）利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的周期公式求解. （3）令，求出的表达式，即可得出使取得最小值的的集合. （4）利用正弦函数单调性求出单调递增区间. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 函数，所以函数的最小正周期为. 【小问3详解】 当，即时，函数取最小值， 所以使取得最小值的的集合为. 【小问4详解】 由，解得， 所以函数单调递增区间为. 25. 已知函数为幂函数，且满足. （1）求实数的值； （2）若函数，其定义域为. ①证明：在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质得解； （2）①利用单调性的定义证明； ②利用单调性解不等式. 【小问1详解】 因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. 【小问2详解】 ①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以，故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数，其定义域为， 所以等价于解得， 所以实数的取值范围为. 26. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有唯一的极值点 . ①求实数取值范围； ②证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）①由（1）知，函数，得到在上单增，且，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性与极值，即可求解； ②由①可知，根据题意，转化为在成立，令，求得，构建，利用导数求得在上递减，得到成立，得到，令，得到在内单调递增，得到，，进而得到在上单调递增，即可得到中. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 当时，可得， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ①由（1）可知，分析的图像特征， 可得在上单调递增，且， 当时，则恒成立， 故函数在恒单调递增，即无极值点； 当时，令，解得舍去，， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 即此时有唯一的极值点，且满足成立； 综上所述：当时，函数有唯一的极值点； ②由①可知，函数有唯一的极值点，且， 故 ， 即等价于在时恒成立， 令， 可得且 当时，构建， 则， 由，则， 所以对恒成立，所以在上单调递增， 即对恒成立，故在上单调递减， 即在上有成立； 又当时，则， 令，则， 当时，，可得在内单调递增，则有， 故在内单调递增，则， 故当时，有， 则对上恒成立， 则在上单调递增，可得， 综上所述：对恒成立，即. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第一学期 高三年级数学学科暑期学情调研 一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ） A 2 B. 1 C. D. 6 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ） A. B. C. D. 7. 如果是第一象限角，那么恒有（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A B. C. D. 9. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 10. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 12. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 13. 已知某扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______. 14. 在中，，，，则________． 15. 已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则______． 16. 已知，且为第二象限角，则________. 17. 曲线在处的切线方程为______． 18. 在上，使不等式成立的的集合为______. 19. 函数的单调递增区间为_____. 20. 已知函数，则的解集为________. 21. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 22. 已知函数若关于x方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是______. 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. （1）求，的值； （2）求的值. 24. 已知函数，. （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求使取得最小值的的集合. （4）求函数单调递增区间. 25. 已知函数幂函数，且满足. （1）求实数的值； （2）若函数，其定义域为. ①证明：在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 26. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）若函数有唯一的极值点 . ①求实数取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $