精品解析：四川省大数据智学领航联盟2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷

四川大数据智学领航联盟2025-2026学年高三秋季入学摸底考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设复数在复平面内对应点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上，且为上第一象限内一点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 1 4. 样本数据5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，6.1的极差与第70百分位数之差为（ ） A. B. C. 5.6 D. 5.8 5. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 6. 在中，，，，则（ ） A. 11 B. 7 C. 16 D. 7. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 10. 为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的面积为3 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则______. 13 已知函数，若，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的图象关于点对称. （1）求； （2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 15. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数. 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值； （2）若，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人，直到选中女生为止，求总选取次数的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 005 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. （1）证明：平面； （2）若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知. （1）证明：为等比数列； （2）求； （3）求. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有唯一零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若为的极小值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川大数据智学领航联盟2025-2026学年高三秋季入学摸底考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为特称量词命题得到. 【详解】因命题：，，所以：，. 故选：A. 2. 设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】计算，即可根据复数的几何意义求解. 【详解】不妨设，，，则， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选:C. 3. 已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上，且为上第一象限内一点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合点与点的对称，求出曲线的方程，结合点在曲线上即可求n. 【详解】因为点关于原点对称点的坐标为，准线方程为，所以，则， 所以曲线的方程为； 由已知在曲线上，且为第一象限内一点，则，则. 故选：B. 4. 样本数据5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，6.1的极差与第70百分位数之差为（ ） A. B. C. 5.6 D. 5.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用极差、第70百分位数的定义求解. 【详解】依题意，样本数据从小到大排列为5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.1，6.3，极差为， 由，得样本数据的第70百分位数为6.1， 所以所求差为. 故选：B 5. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 6. 在中，，，，则（ ） A. 11 B. 7 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和确定，再由，结合正弦定理即可求解. 【详解】由，可得. 显然，故， 于是. 在中由正弦定理可得， 故. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，平面和平面的交线与平行，所以在平面内过A点作出的平行线，且与直线相交，确定了唯一平面，进一步作出与正方体表面的交线，再求外接圆面积即可. 【详解】如图，设，为所在棱的中点，又且， 所以四边形为平行四边形，则有， 则经过点，，三点的平面即为符合题意的平面，则平面截正方体所得图形为矩形， 其中，，故， 所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义、性质判断ABC；利用零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则，B错误； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，则， 当时，，因此，C正确； 对于D，，，即， 因此区间上有零点，D正确. 故选：ACD 10. 为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合题给条件逐一判断选项求解. 【详解】根据正态分布的对称性，若，则. 由于，表明分布中心向右偏移，因此，故A正确； 方差影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小， 当且时，满足，但， 因此不一定大于4，故B错误； 正态分布中，，由于，正态分布均值大于0， 故，故C错误； 同理，，故D正确. 故选：AD. 11. 记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的面积为3 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接求出渐近线方程，即可求解；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题知，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，其渐近线方程为，所以A错误， 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，，而， 故，即，整理得到， 所以的面积，故B正确， 对于C，易知圆的方程为， 联立，消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B知与，不重合，而在中，，故C正确， 对于D，因为，在中， 由余弦定理可得，所以D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则______. 【答案】3或 【解析】 【分析】利用投影向量的模公式直接求解. 【详解】在上的投影向量的模为， 解得或. 故答案为：3或 13. 已知函数，若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题可得，即，代入求解即可. 【详解】， ， 所以，则. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的图象关于点对称. （1）求； （2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的对称性即可求解，进而可求解， （2）根据正切函数的渐近线，结合整体法即可求解. 【小问1详解】 由函数的图象关于点对称，可得，， 解得，， 又因为，所以， 故. 【小问2详解】 平行于轴且被曲线无限逼近的直线的方程为，， 解得，， 由，，得，共4个取值， 所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 15. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数. 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值； （2）若，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人，直到选中女生为止，求总选取次数的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 10828 【答案】（1）10 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据小概率值独立性检验得到即可得出答案； （2）确定X的可能的取值，求出每个值相应的概率，根据数学期望的计算公式，即可得答案. 【小问1详解】 零假设为：是否参加活动与性别无关． 由题意可得 若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立， 则，解得. 因为为正整数，所以的最小值为10. 【小问2详解】 当时，参与调查且参加活动的同学中共有男生3名，女生8名， 故总选取次数的可能取值有1，2，3，4. ，， ，， 故的分布列为 1 2 3 4 所以. 16. 如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. （1）证明：平面； （2）若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）记为的中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的大小即可. 【小问1详解】 证明：因为是等边三角形，所以， 在平面中，由，可知是的中垂线， 故， 而平面平面，平面平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 记为的中点，由，，，四点共圆可知， 而，故. 不妨令，易知，，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，. 记平面的法向量为， ，即，可取， 记平面的法向量为， ，即，可取. 记平面与平面的夹角为，则. 17. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知. （1）证明：为等比数列； （2）求； （3）求. 【答案】（1）详见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明； （2）先根据（1）求出的通项公式，再结合求出的表达式，整理求值； （3）据的表达式，将拆为两部分，应用分组求和及裂项求和. 【小问1详解】 由可得，当，两式相减，可得，又 则 整理可得 当时， 当时，，，解得， 所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，,则， 因为，则=－+，化简整理，. 【小问3详解】 由（2）可知，，则 设 则 则－， 整理可得：=，则； 设 则， 则， 整理可得：=，则； . 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有唯一零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若为的极小值点，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围； （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知若，极小值点，零点，符合题意，若，极小值点，零点满足，即， 此时，令，，利用导数求最值即可证明； 解法二：若，则，因为，所以，可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 又，， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得， 若，则， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，， 当时，，，所以. 由单调性和零点存在性定理可知，此时有两个零点，不符合题意； 若，令，得或， ①当，即时， 有当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，时，，故在区间上必有一个零点， 要使有唯一零点，只需， 即. ②当，即时，，单调递减， 仅有一个零点显然成立. ③当，即时， 有当时，，单调递减；时，，单调递增；当时，，单调递减. 由恒成立，故同理也仅有一个零点. 综上，的取值范围是. （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知若，极小值点，零点， 此时成立； 若，极小值点， 零点满足， 即， 此时， 且. 令，， ，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 故. 综上，. 解法二：由（ⅰ）知若，极小值点，零点， 此时成立； 若，则，因为，所以， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $