精品解析：四川省自贡市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试题

自贡一中高2025届高三上期开学考试数学试题 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：， ， 所以； 故选：C 2. 已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件得到函数是单增，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集. 【详解】任意两个不相等的实数 因为， 所以与异号， 故是上的减函数， 原不等式等价于， 解得， 故选：B. 3. 已知为二次函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式. 【详解】设，则， 由可得， 所以，，解得，因此，. 故选：B. 4. 若，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以，即的最大值为， 故选：C. 5. 已知实数，函数，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，，即，解得； 当时，，即，此时方程无解， 综上可得，实数的值为. 故选：B. 6. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为的定义域为，， 由，得，解得，所以的递增区间为． 由于在区间上单调递增，则， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型： （1）区间为函数单调递增区间的子集； （2）对任意的，恒成立. 同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集. 【详解】函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且， 在上单调递减，且， 显然不是的解，故此不等式可转化为： 或， 解得：或. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力. 8. 已知函数，以下说法错误的是（ ） A. 使得偶函数 B. 若的定义域为R，则 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若的值域是，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，当恒成立时函数的定义域为，得到，从而判断B，令，则在上单调递减且大于恒成立，求出参数的值，即可判断C，由求出，即可判断D. 【详解】对于A：令，则，此时函数的定义域为， 且，即为偶函数，故A正确； 对于B：因为的定义域为，则恒成立， 即，解得，即，故B正确； 对于C：令，因为在定义域上单调递减， 要使函数在区间上单调递增，则在上单调递减且大于恒成立， 所以，即，解得，故C错误； 对于D：因为函数的值域是，所以， 所以，即，解得，即，故D正确； 故选：C 二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分） 9. 下列结论正确有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论是否正确. 【详解】若，则， 有， A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，则有，可得，C选项正确； 若，当时，有，D选项错误. 故选：AC 10. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】作函数的图象，数形结合即可解决. 【详解】由题知，函数的图象如下， 方程可以看成与的交点， 所以由图知方程有三个不同的实数根时，， 故选：BC 11. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 命题：“，”的否定为：“，” B. 设，，且有四个子集，则实数的取值范围是 C. 已知：，：，是的充分不必要条件 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结合集合中元素的特征求的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可. 【详解】A选项：命题“，”的否定为：“，”，故A错； B选项：，因为有四个子集，所以中有两个元素，则，且，即，，故B错； C选项：表示所有奇数，表示部分奇数，所以是的必要不充分条件，故C错； D选项：设方程得两个根分别为，，因为方程有一个正根，一个负根，所以，解得，故D正确. 故选：ABC. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数是幂函数，则实数m的取值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，可得，即，解得或， 代入，则可得或，符合题意. 故答案为：或. 13. 已知函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用列式求解即可. 【详解】由得，因为，所以. 故答案为： 14. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________． 【答案】11 【解析】 【分析】分别分析与的性质，从而作出函数与函数图像，再观察其交点个数即可得解. 【详解】因为，所以，则的周期为2， 又为偶函数，且当时，， 所以可利用的周期性与奇偶性作出的大致图像， 因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以函数与函数的大致图像如图所示， 考虑特殊位置，当时，； 当时，； 当时，； 又函数的零点个数即函数与函数图像的交点个数， 所以由图像可知函数与函数图像的交点个数为11个. 故答案为：11. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，集合.求，，. 【答案】，，或. 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性即可解出集合,，再根据集合的交并补运算即可得到答案. 【详解】因为，即，根据指数函数单调性可知， 则集合，，即， 根据对数函数单调性知，解得，即， 则，，或， 或. 16. 已知函数是定义在上的函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可. 【小问1详解】 函数f（x）为奇函数 证明如下：函数f（x）的定义域为， . 所以函数f（x）为奇函数. 小问2详解】 f（x）在上为单调递增函数 证明如下： 设－1＜x1＜x2＜1， 则. 因为－1＜x1＜x2＜1，， 所以， 则. 故f（x）在上为单调递增函数. 17. 已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 【答案】(1) x+y-1=0. (2) . 【解析】 【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程； (2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以 又 所以曲线在点处的切线方程为 即.（5分） （2）由题意得，， 所以. 由，解得， 故当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 又，， 若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元. 【解析】 【分析】（1）设该种玻璃售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 【小问2详解】 ， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡一中高2025届高三上期开学考试数学试题 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为二次函数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，函数，若，则的值为（ ） A. B. C D. 6. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，以下说法错误的是（ ） A. 使得的偶函数 B. 若的定义域为R，则 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若的值域是，则 二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分） 9. 下列结论正确有（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 1 11. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 命题：“，”的否定为：“，” B. 设，，且有四个子集，则实数的取值范围是 C. 已知：，：，是的充分不必要条件 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数是幂函数，则实数m的取值为______． 13. 已知函数，若，则______. 14. 定义在上偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________． 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，集合.求，，. 16. 已知函数是定义在上的函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； 17. 已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $