精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年七年级上学期拔尖创新初赛数学试卷

2023新初一数学综合能力测试卷 考试时间：1小时 满分：100 提醒：先易后难，解答题写清楚必要过程，所有答案直接写在试卷上． 一、选择题（每题4分，共12分） 1. 小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　） A. 同样多 B. 小丽的多 C. 小乐的多 D. 无法确定 2. 大学生小刘正在出售一批衬衫，每件提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则每件衬衫应降价（ ） A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 3. （组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 二、填空题（每题5分，共60分） 4. 如图所示是一个正方体的表面展开图，若在正方体上的各面填上数，使其对面两数之和为7，则的值是________． 5. 有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了________场． 6. 如图共有________条线段． 7. 如图，在四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、，若四边形的面积为S，则________． 8. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是________颜色（填“黑”或者“白”）． 9. 一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 10. 在1﹣100的所有整数中，不能被3整除的整数之和是_________． 11. 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数，则这个整数是________． 12. 如图，在的“幻方”中，满足每行、每列、及对角线的三个数的和都相等，则k的值为________． 5 k 3 6 13. 用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要______枚棋子，图n需要______枚棋子（用含n的代数式表示）． 14. 如图，点P是正方形内部的一点，连接、、，将绕着点B顺时针旋转到的位置．设，，则旋转到的过程中边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 15. 如图，一个盛有水圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高________cm． 三、解答题（共28分） 16. 阅读下面材料，并解答问题． 辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的算法，又叫欧几里得算法，下面具体讲解． 对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数为零，则较小的数即为两数的最大公约数；若余数不为零，则将除数与余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数． 举例：利用辗转相除法求228与1995的最大公约数． 解析：，， 与1995的最大公约数为57． 请你解决如下问题：求1734，816，1343最大公约数． 17. 计算下列各式值． （1） （2） 18. 有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023新初一数学综合能力测试卷 考试时间：1小时 满分：100 提醒：先易后难，解答题写清楚必要过程，所有答案直接写在试卷上． 一、选择题（每题4分，共12分） 1. 小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　） A. 同样多 B. 小丽的多 C. 小乐的多 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式加减的实际应用，根据题意分别求出两个图形剩下边角料的面积，再作比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则小丽所剪的圆的半径为，小乐所剪的圆的半径为， 则小丽剩下的边角料面积为：， 小乐剩下的边角料面积为：， 小丽剩下的边角料与小乐剩下的边角料同样多， 故选：A． 2. 大学生小刘正在出售一批衬衫，每件提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则每件衬衫应降价（ ） A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 【答案】B 【解析】 【分析】设每件衬衫原价为1，欲恢复原价，则每件衬衫应降价x%，由于每件提价25%后销售为1•（1＋25%），然后把它降价x%得到销售价为1，所以1•（1＋25%）•（1−x%）＝1，然后解此方程即可． 【详解】设每件衬衫原价为1，欲恢复原价，则每件衬衫应降价%， 根据题意得，，解得，． 即欲恢复原价，则每件衬衫应降价20%． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程并解答．注意：提价25%是在原价的基础上提价，欲恢复原价，则应降价是在提价之后的基础上进行的，要弄清题意． 3. （组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据和，得，根据题意求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形中的阴影部分的面积， 故选：C． 二、填空题（每题5分，共60分） 4. 如图所示是一个正方体的表面展开图，若在正方体上的各面填上数，使其对面两数之和为7，则的值是________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体展开图中对应面的关系．利用空间想象能力得出相对面的对应关系，得到B和2对应，A和1对应，C和4对应，即可求出结果． 【详解】解：若B是底面，则4是正面，A是左面，1是右面，C是后面，2是上面，得，，， ∴， 故答案为：． 5. 有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了________场． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，正确推论是解题关键．先分析第五个队，再依次分析第一个队，第二个队、第三个队、第四个队，由此即可得． 【详解】解：第五个队赛了5场，说明第五个队和第一个队、第二个队、第三个队、第四个队、第六个队各进行了1场， 第一个队赛了1场，说明第一个队只和第五个队赛了1场， 则第四个队是和第二个队、第三个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共4场， 则第二个队是和第四个队、第五个队各进行了1场，共2场， 则第三个队是和第四个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共3场， 综上，第六个队赛了3场， 画出表格如下： 第一个队 第二个队 第三个队 第四个队 第五个队 第六个队 第一个队 — ╳ ╳ ╳ √ ╳ 第二个队 ╳ — ╳ √ √ ╳ 第三个队 ╳ ╳ — √ √ √ 第四个队 ╳ √ √ — √ √ 第五个队 √ √ √ √ — √ 第六个队 ╳ ╳ √ √ √ — 故答案为：3． 6. 如图共有________条线段． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了线段的数量问题．线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此数出两个端点之间的线段即可． 【详解】解：图中共有6个端点，则共有线段（条）． 故答案为：15． 7. 如图，在四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、，若四边形的面积为S，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意得到，，再由即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点， ∴，， ∵四边形的面积为S， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是________颜色（填“黑”或者“白”）． 【答案】黑 【解析】 【分析】本题考查奇偶性问题和逻辑推理能力，根据题意，得到黑子和白子的变化规律，结合偶数相加，结果为偶数分析求解即可． 【详解】解：分析每次操作后白棋数量的变化：若拿出2枚白棋，则白棋数量减少2；若拿出2枚黑棋，则白棋数量不变；若拿出1黑1白，再补回1枚白棋，则白棋数量不变，综上，每次操作白棋的数量要么不变，要么减少2，其奇偶性始终不变，初始时白棋有200枚（偶数），所以盒中白棋的数量永远是偶数．经过399次操作后，盒中只剩下1枚棋子，因为1是奇数，所以这枚棋子不可能是白棋，只能是黑棋． 故答案为：黑． 9. 一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设原两位数的十位数为x，个位数为y，根据其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，列方程求出即可． 【详解】解：设原两位数的十位数为x，个位数为y， 由题意得：， 整理得：， ∵x、y均为小于10的正整数， ∴， ∴满足条件的两位数共有6个， 故答案为：6． 10. 在1﹣100的所有整数中，不能被3整除的整数之和是_________． 【答案】3367 【解析】 【分析】本题考查了能被3整除的数的特征，先找出在1﹣100的所有整数中，能被3整除的整数，再求出它们的和，用1﹣100的所有整数的和减去能被3整除的整数的和即可． 【详解】解：在1﹣100的所有整数中，能被3整除的整数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99， 它们的和为：， 1﹣100的所有整数的和为：， 在1﹣100的所有整数中，不能被3整除的整数之和为：， 故答案为：3367． 11. 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数，则这个整数是________． 【答案】19 【解析】 【分析】此题主要考查了同余问题的基本解法：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的公因数即是这几个数的共同的除数． 据此先两两相减求出差值，再对各差值分解质因数，得到它们的公因数，进而可求解． 【详解】解：， ， ， 因为， ， ， 所以38、95、57的公因数是1和19， 又因为这个整数除三个数得到的余数相同， 所以这个整数为19， 故答案为：19． 12. 如图，在的“幻方”中，满足每行、每列、及对角线的三个数的和都相等，则k的值为________． 5 k 3 6 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幻方问题、一元一次方程的应用，设左上角的数为x，根据题意可列式求出，再由可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设左上角的数为x， 由题意，得，则， 又， 所以，解得． 故答案为：． 13. 用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要______枚棋子，图n需要______枚棋子（用含n的代数式表示）． 【答案】 ①. 29 ②. 【解析】 【分析】根据已知图形找出规律求解即可． 【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：， 第②个图形中棋子的数量为：， 第③个图形中棋子的数量为：， 第④个图形中棋子的数量为：， ∴第⑤个图形中棋子的数量为：， 第n个图形中棋子的数量为：． 故答案为：29；． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 14. 如图，点P是正方形内部一点，连接、、，将绕着点B顺时针旋转到的位置．设，，则旋转到的过程中边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积，根据题意，得到，进而得到，进而根据扇形面积是对应圆面积的四分之一求解即可． 【详解】解：因为绕着点B顺时针旋转到， 所以，则， 又，， 所以， 故答案为：． 15. 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高________cm． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）． 【详解】解：设容器内的水将升高x cm， 依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x）， 1200+4（12+x）=100（12+x）， 1200+48+4x=1200+100x， 96x=48， x=0.5． 故容器内的水将升高0.5cm． 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 三、解答题（共28分） 16. 阅读下面材料，并解答问题． 辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的算法，又叫欧几里得算法，下面具体讲解． 对于给定两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数为零，则较小的数即为两数的最大公约数；若余数不为零，则将除数与余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数． 举例：利用辗转相除法求228与1995的最大公约数． 解析：，， 与1995的最大公约数为57． 请你解决如下问题：求1734，816，1343最大公约数． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查最大公约数和整除问题，理解辗转相除法是解答的关键．仿照例子求解过程，先求得1734与816的最大公约数是102，再求102与1343的最大公约数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴1734与816的最大公约数是102， ∵，， ∴102与1343的最大公约数是17， ∴1734，816，1343的最大公约数是17． 17. 计算下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分数的混合运算，灵活运用分数的混合运算法则和运算律是解答的关键． （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）利用乘法分配律求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【答案】他从乙站到甲站用了40分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，根据题意可知骑车的时间即为第四辆电车从甲出发到第十二辆电车恰好从甲出发的时间，再根据每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站进行求解即可． 【详解】解：由题意得，骑车的人一共看见了辆电车， 因为每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟， 所以骑车的人从乙出发时，15分钟前出发的电车刚好到达乙，第4辆电车恰好从甲出发， 所以骑车的人在路上遇到的是第四辆到第十一辆出发的电车，到达甲时，第十二辆电车恰好出发， 所以骑车的时间即为第四辆电车从甲出发到第十二辆电车恰好从甲出发的时间，即分钟， 答：他从乙站到甲站用了40分钟． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $