第13章三角形 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第13章三角形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，11，5 C．12，7，4 D．7，8，9 3．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 4．画出的边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．在“三角形拼角”实验中，明明把一副三角尺按如图所示的方式放置，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的高，且，平分交于点，过点作，分别交，于点，．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列条件： 在中，，都是锐角； 在中，； 在中，； 的三个内角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的条件有（    ）个． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，若，，则的度数是 ． 10．中，，，则的度数为 ． 11．小明准备用一根铁丝制作一个有两边相等的三角形，其中一边长，另一边长为，那么小明还应准备 cm长的铁丝． 12．如图，在中，为边上一点，的面积为15，则到直线的距离为 ． 13．如图是小李同学做立定跳远落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的大小为 度． 14．如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 15．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 18．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 19．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 20．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 21．如图，在中，的平分线交于点为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 22．综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图，，点，分别在，上运动不与点重合探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)①若，则______； 猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图，若，，求的度数． 23．已知：四边形，延长至点，分别作和的角平分线．    (1)如图1，当，时，和的角平分线交于点，则的度数为 ； (2)如图2，当，时，和的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)猜想：当与满足什么条件时，和的角平分线平行？画出图形，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查三角形的基本性质在实际生活中的应用．关键需理解各选项对应的几何性质及其适用场景． 【详解】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于另外两边之和即可． 【详解】解：A．最长边为5，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． B．最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． C．最长边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． D．最长边为9，，满足条件；且，，均成立，能组成三角形． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明． 【详解】解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意； B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意； C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意； D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可，正确理解三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作边的垂线，垂线段为边上的高， 所以选项的画法正确． 故选：． 5．A 【分析】本题考查了三角形的内角和及外角性质，三角形的高和角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义得，由三角形外角性质得，又由三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．C 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，证明即可判断正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断正确；根据，结合角平分线的定义即可判断，证明即可判断，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故错误． 故选:． 8．B 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数. 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个内角的度数之比是． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不为直角三角形；不符合题意； 能确定为直角三角形的有2个， 故选：B． 9．/度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 10．60 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，结合已知构造方程组解得即可． 本题考查了直角三角形的性质，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ， 故， 两式相加，得， 解得， 故答案为：60． 11．25 【分析】由题意，另一边长可能为或者，根据三角形三边之间的关系判定即可．本题考查了三角形三边之间的关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一边长，另一边长 ∴另一边长可能为或者， 当另一边长时，， ∴另一边长不能为， ∴小明应准备长的铁丝. 故答案为：25． 12．5 【分析】本题考查了点到直线的距离，三角形面积公式，掌握点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先由三角形面积公式求出，再由点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】解：∵的面积为15， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴到直线的距离为5， 故答案为：． 13．30 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和的性质，理解为的一个外角是解决本题的关键． 首先由平行线的性质，即“两直线平行，同位角相等”求解，再根据三角形的外角和定理，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”求解即可． 【详解】解：记作与的交点为点F， 因为， 所以， 又因为为的一个外角， 所以， 则， 所以的大小为30度． 故答案为：30 ． 14．/125度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，连接，根据三角形外角的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 16． 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 17．分别是的角平分线．分别是的中线．是的高． 【分析】此题考查三角形的角平分线、高和中线的定义，关键是理解三角形的高、角平分线和中线的定义解答．利用三角形的高、角平分线和中线的定义解答即可． 【详解】解：由可知， 分别是的角平分线； 由可知， 分别是的中线； 由可知， 是的高． 18．(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 19．． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质．由三角形的内角和为结合，求出是解决本题的关键． （1）要证明，根据平行线的判定定理，如果内错角相等，则两直线平行，已知是的平分线，可得，又已知，通过等量代换得到，从而证明． （2）要求的度数，先根据三角形内角和为以及已知条件求出的度数，再利用三角形的外角性质求出． 【详解】（1）证明：因为是的平分线， 所以， 已知， 得， 因为和是内错角且相等， 所以． （2）解：在中，， 因为是的平分线， 所以， 已知，，即， 所以， 即， 解得， 所以， 在中，是外角， 则． 22．(1)①；②的度数不会随，的运动而发生变化，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可得，再利用角平分线的定义可得，，然后再利用三角形的外角可得，进行计算即可解答； 利用的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 故答案为：； 的度数不会随A，的运动而发生变化， 理由：是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 的度数不会随A，的运动而发生变化； （2）是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ，， ， 的度数为． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和的角平分线交于点，得到，根据外角性质，得，解答即可； （2）仿照（1）的解题思路，解答即可； （3）根据；结合平行线的性质，得到，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性，角的平分线，三角形外角性质，四边形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：设分别在射线上取一点M，点N， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，设分别是的角平分线， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $