1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

济南市钱学森高级中学 1.1.2空间向量的数量积运算 济南市钱学森高级中学 导 学习目标 核心素养 1.类比平面向量数量积的概念及其物理意义，理解并计算 数学抽象 空间向量的数量积（重点） 2.理解并掌握空间向量数量积的性质，并能运用性质进行 数学运算 相关的判断和计算（难点） 济南市钱学森高级中学 导 复习引入 B 回顾平面向量夹角和数量积的定义： b 已知两个非零向量a,b(图6.2-19)，O是平面上的任意 -点，作OA=a,OB=b,则∠AOB=0(0≤0≤π)叫做向量 a与b的夹角. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数 图6.2-19 量ab cos0叫做向量a与b的数量积（或内积(inner product)),记作a·b,即 a·b=ab cos0. 类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 济南市钱学森高级中学 学 新知形成 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 1、空间向量的夹角及其表示 对非零向量a,b,在空间中任取一点O, A 作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b 的夹角，记作(a,b),(ab)e[0,π] 0 B 济南市钱学森高级中学 学 新知形成 b a 当0=0 a与同向 0 B A B 当6 b a与垂直记作a⊥b 2 当0 =元 a a与b反向 B 向量夹角范围为[0，π] 济南市钱学森高级中学 展+评 典型例题 题型一向量夹角 例1(2) 如图，在正方体ABCD-A'B'CD中，求向量AC分别与向量A'B, B'A,AD,CD,B'D的夹角. <AC,A'B>=≤AC,AB>=45°， <AC,BA>=180°-<AC,AB>=135°， ≤AC,AD>=∠D'AC=60°， <AC,CD>=180°-<CA,CD>=180°-60°=120°， <AC,B'Di>=<AC,BD>=90. 济南市钱学森高级中学 练 训川练1 (1)对于空间任意两个非零向量a,b,“∥b”是 “<a,b>=0”的(B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于120°； AC与DC的夹角等于60°一 济南市钱学森高级中学 学 新知形成 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积定义？ 知识点2：空间向量的数量积 2、定义：已知两个非零向量a,b,则abcos<-a,b>叫做a,b 的数量积，记作b.即ab=bcos<a,b>. 结果为数值 特别地，零向量与任意向量的数量积为0 济南市钱学森高级中学 学 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 数量积符号由cos0的符号所决定。 0≤0<元时，ab>0 9=T时，4.6=0 2 <0≤π时，a-b<0 2 济南市钱学森高级中学 学 3、向量数量积的性质 设a,b是非零向量，它们的夹角是0，e是多方向相同的单位向量， 则：（①ae=ea=acos8 (2)a1b台a.b=0 (3)a,b共线同向时，a·b=|ab1,a,b共线反向时，ab=-a万， (4)a-b≤1ab (5)a.a-_laf_cla-Va.a a.b (6)cos0=a6