2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及性质 x y O x y O a>0 a<0 ∆>0 PART 1 回顾二次函数 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及性质 x y O x y O a>0 a<0 ∆=0 PART 1 回顾二次函数 PART 1 回顾二次函数 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及性质 x y O x y O a>0 a<0 ∆<0 问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度时24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为x m， 则另一条边长为(12-x) m， 由题意，得(12-x)x>20， 其中x∈{x|0<x<12}.整理得 x2-12x+20<0,x∈{x|0<x<12}. ① 一元二次不等式 求得不等式 ① 的解集，就得到了问题的答案． 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 PART 2 一元二次不等式 　　一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0， 其中 a，b，c 均为常数，a≠0． PART 2 解一元二次不等式 探究 一元二次不等式 x2－12x＋20<0 与二次函数 y＝x2－12x＋20 之间的关系． y=x2－12x+20 y x O 15 2 5 10 20 5 10 －5 －10 －15 方程x2－12x＋20=0的两个实根 x1=2，x2=10 二次函数y=x2－12x＋20与x轴的两个交点 (2,0), (10,0) 不等式x2－12x＋20<0的解集，即为二次函数y<0对应的x的集合 零点：一般地，对于二次函数y=ax2＋bx＋c，我们把使 y=ax2＋bx＋c的实数叫做二次函数y=ax2＋bx＋c 的零点。 零点不是点！ 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 二次函数与一元二次方程、不等式的联系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c=0(a>0)的实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 x1 x2 x y O x1=x2 x y O x y O 有两个不相等的实数 根 x1，x2 (x1<x2) 没有实根 { x | x<x1，或 x>x2 } R ∅ ∅ { x | x1<x<x2 } 口诀：大于取两边，小于取中间 1. 求不等式 x2－5x＋6>0 的解集． 练习 y=x2－5x+6 y x O 3 －1 1 2 4 3 4 2 1 －1 5 6 解：对于方程x2－5x＋6=0， 因为∆>0，所以它有两个实数根， 解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2－5x＋6的图象， 结合图象得不等式x2－5x＋6>0的 解集为{x|x<2或x>3} 2. 求不等式 －x2＋2x－3>0 的解集． 练习 解：不等式可化为x2－2x+3<0， 因为∆<0， 所以方程x2－2x+3=0无实数根， 画出二次函数y=x2－2x+3的图象， 结合图象得不等式x2－2x+3<0的 解集为∅ 4 y=x2－2x+3 y x O －2 2 4 3 2 1 5 6 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 1.化标准 2.计算判别式 将原不等式化成 ax2+bx+c>0(a>0) 的形式 计算 =b2－4ac 的值 方程 ax2+bx+c＝0 有 两个不相等的实数根， 解得 x1，x2 (x1<x2) 方程 ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，解得 x1=x2=－ 方程 ax2+bx+c＝0 没有实数根 原不等式的解集为{ x | x<x1 或 x>x2 } 原不等式的解集为{ x | x≠－ } 原不等式的解集为 R >0 =0 <0 4.口诀（大于取两边，小于取中间） 3.求根（因式分解、求根公式） 探究一 一元二次不等式的求解 例1 解下列不等式. (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R. 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 探究二 一元二次不等式的应用 例2 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中 (1)求n的值; (2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少? 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 探究三 恒成立问题 例3.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 恒成立问题 最值问题 方法总结 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 课后巩固 1. 不等式-x2+3x-2>0的解集是(　　) A.{x|x<1} B.{x|x>2} C.{x|1<x<2} D.{x|x<1,或x>2} C 2.若不等式ax2－bx+4≤0的解集为{x|1≤x≤2}，则a=_____，b=_____． 2 6 课后巩固 3.已知mx2+2mx＋8≥0在R上恒成立，则m的取值范围是________. 0≤m≤8 二的a-c成二24<_2－系3等实1于象不T式0方，a2x2a.2及102x恒_.x图间1{口（取一aO≠列函次小|2个+y数=诀求4R1(1;1b次x取2解<问值x二集有x0Ox1|性．x=的次(1x次+，数2二>a<≤≠P}边的式式及2两≤两等}质不则≤x=b元x大回xx质__数为x顾bxx图.)与_次）联{y）的na2xx例_)程0x函_2)（=数的等不象中+下、y立于解-;，y函xbx+_。函根x1(若的数，题+不）=_A相c等2_二x（性 课堂小结 解法 定义 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0(a≠0) 应用 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 解 (1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2. 因为对应函数的图象是开口向上的抛物线, 所以原不等式的解集是. (2)不等式可化为3x2-6x+2<0. 因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是. (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是. 解 (1)由题意得 解得因为n∈N,所以n=6. (2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s≤12.6, 所以≤12.6,因此v2+24v-5 040≤0, 解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60, 即行驶的最大速度为60 km/h. $