1.1.1空间向量及其线性运算 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 一、空间向量的概念 1.在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的 叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母```表示. 2.长度为 的向量叫做零向量，记为0. 3.模为 的向量叫做单位向量. 4.与向量长度 而方向 的向量，叫做的相反向量，记为. 5.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 6. 与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥. 7.方向 且模 的向量叫做相等向量. 8.与平行的 称为直线l的方向向量. 二、空间向量的运算 1. 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）. （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，； 2.运算法则: 法则、 法则、平行六面体法则. 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3.运算律（其中） 交换律：； 结合律：； 分配律： ，. 三、共线向量 1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作∥. 2.共线向量定理：空间任意两个向量，∥ . 3．三点共线：三点共线(其中)． 4.与共线的单位向量为 . 四、共面向量 1. 定义：一般地，能平移到 叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. 2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是 ，使. 3. 证明四点共面的方法 方法一： 若要证明四点共面，只需要证明. 方法二：若要证明四点共面，只需要证明(其中). 1.1.2 空间向量的数量积运算 1.数量积定义：已知两个非零向量，则 叫做的数量积，记作.即 .特别地，零向量与任意向量的数量积为 . 2.空间向量的数量积满足如下的运算律： ； 交换律：； 分配律：. 3.数量积的应用： ①证明向量垂直：当，时，有； ②求向量模长或线段长：； ③求向量夹角或异面直线的夹角： . 【自主诊断】 1.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 答案 一、空间向量的概念 1.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母```表示. 2.长度为0的向量叫做零向量，记为0. 3.模为1的向量叫做单位向量. 4.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为. 5.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 6.零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥. 7.方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 8.与平行的非零向量称为直线l的方向向量. 二、空间向量的运算 1. 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）. （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，； 2.运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3.运算律（其中） 交换律：； 结合律：； 分配律：，. 三、共线向量 1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作∥. 2.共线向量定理：空间任意两个向量，∥存在实数使. 3．三点共线：三点共线(其中)． 4.与共线的单位向量为. 四、共面向量 1. 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. 2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 3. 证明四点共面的方法 方法一： 若要证明四点共面，只需要证明. 方法二：若要证明四点共面，只需要证明(其中). 1.1.2 空间向量的数量积运算 答案 1.数量积定义：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 2.空间向量的数量积满足如下的运算律： ； 交换律：； 分配律：. 3.数量积的应用： ①证明向量垂直：当，时，有； ②求向量模长或线段长：； ③求向量夹角或异面直线的夹角：. 【自主诊断】 1.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体，分别为棱的中点， ．故选． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $