专题07 抛物线（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题07 抛物线 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 抛物线的定义及应用 4 考点二 抛物线的标准方程 6 考点三 与抛物线上点有关的距离最值问题 8 考点四 抛物线的简单几何性质 10 考点五 抛物线的焦点弦问题 12 考点六 抛物线的光学性质 15 考点七 抛物线的实际应用 17 考点八 与抛物线有关的数学文化题 20 考点九 直线与抛物线的位置关系 24 考点十 抛物线的中点弦问题 26 考点十一 与抛物线有关的定点、定值问题 28 考点十二 与抛物线有关的最值、取值范围问题 31 考点十三 与抛物线有关的新定义题 35 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 说明：若定点在定直线上，则动点的轨迹为过点且垂直于的一条直线． 知识点02 抛物线的标准方程和几何性质 1.标准方程和几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中 2.四种不同抛物线方程的异同点 共同点 （1）原点都在抛物线上；（2）焦点都在坐标轴上；（3）准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即 不同点 （1）焦点在轴上时，方程的右端为，左端为；焦点在轴上时，方程的右端为，左端为；（2）开口方向与轴（或轴）的正半轴相同，即焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与轴（或轴）的负半轴相同，即焦点在轴（或轴）的负半轴上，方程的右端取负号． 【熟记重要结论(二级结论)】 1.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则： (1) (2) (3) (4)；(5)； (6)； (7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切； 2.焦点对在准线上射影的张角为 3.如图所示，以两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有： （1）M点必在准线上； （2）设线段AB的中点为N，则，即； （3） 4. AB的中垂线与X轴交于点R，则 5.以A为切点的切线斜率为 ，切线方程为 6.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有 ； 7.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有： 8.（或）的参数方程为（或）（为参数）. 9.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质： ①； ②恒过定点； ③中点轨迹方程：； ④，则轨迹方程为：； ⑤. 10.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： ①当时，顶点到点A距离最小，最小值为； ②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为. 11. 抛物线y2=2px(p>0)与直线相交于且该直线与轴交于点，则有 12. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线。 ※若点M是准线上任一点，则. 考点一 抛物线的定义及应用 1．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作图如下： 设点坐标为，因其在抛物线上，故； 以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径； 由题可知：，整理得：，故，. 故选：A. 2．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 3．已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 【答案】6 【详解】方法一、抛物线的焦点为，点在轴上，设. 又为的中点，，即， 又点在抛物线上，， 所以. 方法二、依题意，抛物线的焦点，准线， 是上一点，的延长线交轴于点为的中点， 点的横坐标为1，. 方法三、抛物线的焦点为，准线， 如图，设与轴的交点为，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 由为的中点，易知线段为梯形的中位线， ， 又由抛物线的定义得，且， . 考点二 抛物线的标准方程 4．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 5．已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程可得，，中点为的中点为，则，再利用直线平行，可得三点共线，可得即可求解. 【详解】根据题意联立， 可得，同理可得， 记中点为的中点为，则，    又为中线，为中线，， 所以三点共线，可得， 所以，即． 所以抛物线的方程为， 故选：D． 6．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 ． 【答案】 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 7．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 考点三 与抛物线上点有关的距离最值问题 8．已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义将所求距离之和转化为抛物线上的动点到焦点与定直线的距离之和加1，结合图形，判定当且仅当三点共线时，取得最小值即可. 【详解】 由可知抛物线的焦点为，准线方程为：， 如图过点作于点，作于点，交直线于点，则， 由图知，，则M到直线和的距离之和为： ， 因点M是抛物线上的动点，故当且仅当三点共线时，取得最小值， 即点到直线的距离，为，此时取得最小值为， 即M到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 9．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】设动点直线的距离分别为，根据抛物线的定义得到，结合图象分析求解. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 10．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】设直线方程，联立直线与抛物线方程，得到，，由得，从而求出直线方程，分和两种情况进行求解即可. 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，， 联立方程：，整理得：，， ，. ， 得或（舍）.故直线， 当时，点，点到直线的距离为； 当时，直线，又直线，消去整理得：， 即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆）， 点到直线的距离的最大值为， 综合可知点到直线的距离的最大值为8. 故选：C. 考点四 抛物线的简单几何性质 11．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 12．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 14．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 考点五 抛物线的焦点弦问题 15．（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即可；选项C设，由焦点弦公式可得；选项D过作，根据即可求出倾斜角. 【详解】如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可， 设中点为，点在抛物线的准线上的射影为， 所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确；      因为， 所以， 又因为， 所以，所以，故B错误； 设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确； 因为， 所以， 过作， 所以， 所以或，故直线的斜率为，故D正确. 故选：ACD 16．(多选)设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断；对于D，利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断. 【详解】对于A，对于抛物线， 则，其焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 17．(多选)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：ACD.    考点六 抛物线的光学性质 18．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 19．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出和直线与间的距离，从而可确定AD两项；表示出直线和的斜率即可确定C项；假设B项正确反推条件，从而可确定B项. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，    设直线AB的方程为， 将直线AB的方程代入中，得， 所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确； 若点关于x轴的对称点在直线上，则， 所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 直线与相交于点，所以直线OD的斜率为， 又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确； 直线与间的距离， 当时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 考点七 抛物线的实际应用 20．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为． 易知抛物线过点，则，得， 所以，所以． 故选：B． 21．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 22． 如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（    ）    A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出的准线方程，结合抛物线的定义及两点间距离公式求解. 【详解】以为原点，直线OA为轴，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接AF，BF，则，设抛物线的方程为， 则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为， ，又， 所以主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（米）． 故选：C    考点八 与抛物线有关的数学文化题 23．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直， 且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的上端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C 24．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设小球大圆圆周方程， 联立方程组，解得或， 要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点， 就是抛物线的顶点，所以或无效， 考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即， 所以，解得， 所以最大值为. 故选：C 25．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于②，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于③，将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于④，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故①正确； 对于B，根据①项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即②正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由，解得，由，解得, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即③错误； 对于④，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因， 则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故④正确. 故选：①②④ 26．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 . 【答案】 【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解. 【详解】设，由阿氏圆的定义可得， 即，化简得. 所以，所以点在圆心为，半径为的圆上， 因为抛物线的焦点为.所以， 因为.所以点在圆内， 因为点到与圆心的距离为， 所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为， 所以过点的最长弦与最短弦的和为. 考点九 直线与抛物线的位置关系 27．已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 28．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 29．已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 考点十 抛物线的中点弦问题 30．在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段的中点的坐标，利用点差法求出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得结果. 【详解】由点的坐标为且轴得，即，抛物线方程为， 设、，则相减可得， 所在直线斜率， 记中点为，又由为的重心，可知， 设点，则，可得，解得，即点， 所以，， 所以，所在直线方程为，即， 联立方程，得，， 由韦达定理可得，，得， 故：的面积为. 31．已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【分析】（1）由抛物线的性质可得p的值，即求出抛物线的方程； （2）设与平行的直线：，代入抛物线的方程求得t的值，进而求出点； （3）设A，B的坐标，由中点坐标公式，可得A，B的坐标的关系，结合点差法可得直线l的方程． 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． （2）设与平行的直线：， 联立，得， 由，得，∴切线：， 此时切线到直线的距离最短， 由，解得，即． （3）设，，则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 考点十一 与抛物线有关的定点、定值问题 32．已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长. （3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程， 联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 33．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么     所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 考点十二 与抛物线有关的最值、取值范围问题 34．已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 35．拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 【分析】（1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出，进而求出； （2）先求出点的坐标，设点，根据重心公式，求得，再利用点差法求得，又线段中点在直线上，由点斜式即可得到直线的方程； （3）设点，求得直线的方程，再与直线联立得到点坐标，则可得得表达式，转化为不等式恒成立问题，即可解出的取值范围. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内， 设点. 所以，解得，代入抛物线方程，解得， 所以. （2）根据题意作图如下：    由已知，代入抛物线方程，解得. 设点，又的重心为， 则，解得， 又在上，则，两式相减，得， 即，则直线的斜率. 又线段的中点，即也在直线上， 由点斜式，得，即， 所以直线的方程为. （3）根据题意作图如下：    由已知设且与不重合， 由两点式，得直线的方程，即， 因为直线交于，联立，得点. 又为在上的投影，所以， 所以，化简得， 即对于任意恒成立， 则当时，不等式左边取到最小值， 得，结合，解得， 综上，的取值范围为. 考点十三 与抛物线有关的新定义题 36．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中. (1)若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标. (2)证明：直线与抛物线相切； (3)设直线与抛物线相切于点G，求. 【分析】（1）分别写出切线和切线的方程，联立方程即可求出点C的坐标. （2）设出切点坐标，根据切点坐标写出切线的方程，从而求出点的坐标，根据点的坐标可求出的值，从而证明直线与抛物线相切. （3）首先根据（2）的结论求出， ；然后求和的值，再根据，，可得到，从而可求出答案. 【详解】（1）因为点E，F的纵坐标分别为，，所以， 所以在处的切线方程为，即， 同理在处的切线方程为， 两式联立，解得， 所以点C的坐标为. （2）设为抛物线上的一点，则， 抛物线在点处的切线方程为，即， 由，得，由，得， 所以， ，， 所以，， 取，则点为点，为点,此时满足， 所以直线与抛物线相切； （3）因为，所以，所以根据（2）可知，， 所以， 所以， 而， ， 所以， 所以. 37．定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”. (1)求抛物线的“孪生抛物线”的表达式； (2)若抛物线的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点，请判断的形状，并说明理由； (3)已知抛物线与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）根据题意可得，，，过点作轴，垂足为，进而得到，，即可得到，，进而求解； （3）先得到，抛物线的“孪生抛物线”的表达式为，进而分类讨论求解即可. 【详解】（1）抛物线化为顶点式为，顶点坐标为， 由于抛物线绕它的顶点旋转后, 顶点不变，开口变为向下， 则所得抛物线的表达式为. （2）为等腰直角三角形，理由如下： 因为抛物线， 则顶点坐标为，且， 所以其“孪生抛物线”的表达式为， 则，即， 过点作轴，垂足为，则，， 所以，又， 则为等腰直角三角形.    （3）由抛物线， 令，令或，则， 而抛物线的“孪生抛物线”的表达式为. 若为平行四边形的对角线，如图， 因为均在轴上，当以点A、C、、Q为顶点的四边形为平行四边形时， ，且， 所以轴，则； 若为平行四边形的边，点在轴左侧，如图， 因为均在轴上，当以点A、C、、为顶点的四边形为平行四边形时， ，且， 而的横坐标为， 把代入得，，则； 若为平行四边形的边，点在轴右侧，此时由平行四边形的性质可知， 点第一种情况相同. 综上所述，存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， 而点的坐标为或.    1．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线可化为，再根据图象平移规律可得答案. 【详解】抛物线可化为， 因为其图象是把的图象上的点先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 且的焦点坐标为，根据上面平移规律可得， 的焦点坐标为即为. 故选：A. 2．（第十届全国“枫叶新希望杯”联赛）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点坐标得到圆心坐标，由点到直线的距离求出半径，最后求出圆心到直线的距离，从而求出切线长最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，即圆心为，所以圆的方程为， 又圆与直线相切，所以， 所以圆的方程为， 则圆心到直线的距离， 所以最短切线长为. 故选：D． 3．（2023·安徽太和数学竞赛）已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】先利用双曲线的性质求得，再根据抛物线的定义，运用坐标表示关系式，然后借助于方程来求解点A的坐标. 【详解】因为抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合， 而双曲线中，，,,可知右焦点， 所以，即抛物线的方程为. 则抛物线的准线,故点K. 设点,满足，由，可知 ，解得， 故点A的横坐标为5. 故选：D 4．（2024·山东泰安冬季联赛）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（    ）． A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得. 【详解】设直线， 联立，则， 则，． 由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点， 又，满足，，且， ∴， 解得． 故选：A． 5．（多选）（2024清华大学强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 【答案】CD 【详解】 如图所示，切线记为，记为． 对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，故，故错误； 对于，因为，所以，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 联立，消去得，故，故正确； 对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）, ，，由D选项的证明知道，则 直线的方程为，当时，， 故，由选项知， 故 ，当且仅当，即时取等号， 即，所以，故错误． 对于，由直线的方程可得，，， 所以，故正确； 故选：CD. 6．（2024·江苏南京大学强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【详解】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 7．（第十四届“枫叶新希望杯”竞赛）已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义得，即当三点共线时取得最小值，把转化为，解出实数的取值范围即可. 【详解】抛物线焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知， ∴，即当三点共线时取得最小值，所以最小值为， 所以等价于. 8．（2023·全国数学联赛（预赛））平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 9．（2024·山东泰安冬季联赛）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 10．（2024·安徽淮南二中等校联赛）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【分析】（1）把点代入即可求解. （2）①由抛物线焦点和准线性质，及三点共线即可求最值； ②求出以为直径的圆的圆心，再求出圆心到准线的距离即可证明. 【详解】（1）把代入得: ，解得， 所以抛物线C的解析式为； 在中，令得，或，所以. （2）①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为. ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设 ，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.    11．（第十二届“枫叶新希望”杯竞赛）设抛物线的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设． (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：． 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可得的值，设出椭圆方程，结合题意计算即可得解； （2）令、，则，由得，欲证，只需证，即只需证，化简可得，设出直线方程，联立抛物线方程，借助韦达定理即可得，即可得证. 【详解】（1）由在抛物线上，故有，解得， 故抛物线的方程为，其准线方程为，故， 则椭圆焦点在轴上， 由在椭圆上，设该椭圆方程为， 则有，又，， 解得，，故椭圆的方程为； （2）令、，则， 由椭圆的方程为，则，， 由得：，则， 欲证：，只需证：，即， 即只需证，化简可得，即只需证， 由题意可得直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，与抛物线的方程联立， 有，即， ，即， 由韦达定理可得，即得证. 12．（2024·全国“鱼塘杯”数学竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【分析】（1）根据题意可得抛物线方程，设，不妨设，求出，求出过点T的切线方程，由到的距离不大于1，得到，得解； （2）设过点A的另一条切线与相切于，可得，所以直线，证明，可得，可证，进而，求得. 【详解】（1）根据题意，可得，，，抛物线方程为， 设，根据对称性，不妨设，则， 因为点在曲线上，在点处导数为， 所以的方程是， 存在A使得等价于到的距离不大于1， 所以，解得，所以. （2）设过点A的另一条切线与相切于， 由（1）同理可得，又因为点A分别在上， 所以直线， 先证明， 由. 联立直线和抛物线，得到是方程的两根，由根与系数的关系，， 代入， 得到，所以， 又因为 ， 因为，所以，， ， 所以，所以，当且仅当时等号成立. 13．（2024·全国数学联赛模拟（一试））已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 【分析】（1）设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程为. （2）设、、，利用点在抛物线上可用纵坐标表示三点，利用斜率关系可得三个纵坐标的关系，从而可以的斜率表示，结合基本不等式可求的最小值，故可求面积的最小值. 【详解】（1）设点，因为，且点在轴上，所以， 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. （2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、、， 不妨设，在轴的下方（包括轴），且， 则， 设直线的斜率为，则， 所以，，故，故. 又，所以， ，将，用表示， 得， 故， ，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 结合，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以正方形面积，当时取最小值. 14．（2024·广东汕头数学联赛）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， (1)若的面积为，求的值及圆的方程 (2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出. 【详解】（1）由对称性可知：， 设，由焦半径可得：， ， 解得： 圆的方程为： （2）由题意得：直线的斜率一定存在，其中， 设关于直线的对称点为， 则，解得：， 联立与得：， 设， 则， 则， 则 ， 解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或， 所以 ， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 抛物线的定义及应用 4 考点二 抛物线的标准方程 5 考点三 与抛物线上点有关的距离最值问题 5 考点四 抛物线的简单几何性质 5 考点五 抛物线的焦点弦问题 6 考点六 抛物线的光学性质 6 考点七 抛物线的实际应用 7 考点八 与抛物线有关的数学文化题 8 考点九 直线与抛物线的位置关系 9 考点十 抛物线的中点弦问题 10 考点十一 与抛物线有关的定点、定值问题 11 考点十二 与抛物线有关的最值、取值范围问题 12 考点十三 与抛物线有关的新定义题 13 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 说明：若定点在定直线上，则动点的轨迹为过点且垂直于的一条直线． 知识点02 抛物线的标准方程和几何性质 1.标准方程和几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中 2.四种不同抛物线方程的异同点 共同点 （1）原点都在抛物线上；（2）焦点都在坐标轴上；（3）准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即 不同点 （1）焦点在轴上时，方程的右端为，左端为；焦点在轴上时，方程的右端为，左端为；（2）开口方向与轴（或轴）的正半轴相同，即焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与轴（或轴）的负半轴相同，即焦点在轴（或轴）的负半轴上，方程的右端取负号． 【熟记重要结论(二级结论)】 1.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则： (1) (2) (3) (4)；(5)； (6)； (7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切； 2.焦点对在准线上射影的张角为 3.如图所示，以两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有： （1）M点必在准线上； （2）设线段AB的中点为N，则，即； （3） 4. AB的中垂线与X轴交于点R，则 5.以A为切点的切线斜率为 ，切线方程为 6.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有 ； 7.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有： 8.（或）的参数方程为（或）（为参数）. 9.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质： ①； ②恒过定点； ③中点轨迹方程：； ④，则轨迹方程为：； ⑤. 10.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： ①当时，顶点到点A距离最小，最小值为； ②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为. 11. 抛物线y2=2px(p>0)与直线相交于且该直线与轴交于点，则有 12. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线。 ※若点M是准线上任一点，则. 考点一 抛物线的定义及应用 1．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 2．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 考点二 抛物线的标准方程 4．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 5．已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 ． 7．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 考点三 与抛物线上点有关的距离最值问题 8．已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 10．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 考点四 抛物线的简单几何性质 11．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 12．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 抛物线的焦点弦问题 15．（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 16．(多选)设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（   ） A． B． C． D． 17．(多选)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 考点六 抛物线的光学性质 18．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 19．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 考点七 抛物线的实际应用 20．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 21．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 22． 如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（    ）    A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米 考点八 与抛物线有关的数学文化题 23．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 24．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 25．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 26．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 . 考点九 直线与抛物线的位置关系 27．已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 考点十 抛物线的中点弦问题 30．在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 31．已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 考点十一 与抛物线有关的定点、定值问题 32．已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 33．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 考点十二 与抛物线有关的最值、取值范围问题 34．已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 35．拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 考点十三 与抛物线有关的新定义题 36．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中. (1)若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标. (2)证明：直线与抛物线相切； (3)设直线与抛物线相切于点G，求. 37．定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”. (1)求抛物线的“孪生抛物线”的表达式； (2)若抛物线的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点，请判断的形状，并说明理由； (3)已知抛物线与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 1．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（第十届全国“枫叶新希望杯”联赛）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 3．（2023·安徽太和数学竞赛）已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．5 4．（2024·山东泰安冬季联赛）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（    ）． A．6 B．4 C．3 D．2 5．（多选）（2024清华大学强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 6．（2024·江苏南京大学强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 7．（第十四届“枫叶新希望杯”竞赛）已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 8．（2023·全国数学联赛（预赛））平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 9．（2024·山东泰安冬季联赛）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 10．（2024·安徽淮南二中等校联赛）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 11．（第十二届“枫叶新希望”杯竞赛）设抛物线的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设． (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：． 12．（2024·全国“鱼塘杯”数学竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 13．（2024·全国数学联赛模拟（一试））已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 14．（2024·广东汕头数学联赛）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， (1)若的面积为，求的值及圆的方程 (2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $