专题06 双曲线（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题06 双曲线 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 双曲线的定义及应用 5 考点二 双曲线的标准方程 7 考点三 双曲线中距离的最值问题 9 考点四 双曲线的焦点三角形 11 考点五 与双曲线有关的点的轨迹 13 考点六 双曲线的简单几何性质 14 考点七 双曲线的渐近线问题 16 考点八 双曲线的离心率问题 18 考点九 双曲线的实际应用 21 考点十 与双曲线有关的数学文化题 24 考点十一 双曲线的光学性质 27 考点十二 由直线与双曲线的位置关系求参 29 考点十三 中点弦及对称问题 32 考点十四 定点、定值问题 35 考点十五 最值与参数取值范围问题 39 考点十六 双曲线的切线问题 42 考点十七 与双曲线有关的新定义题 46 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题17道） 【归纳重点知识】 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零0常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合，其中为常数且． 知识点02 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 顶点坐标：， 顶点坐标：， 渐近线 离心率 的关系 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 【易错警示】 （1）若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定． （2）设双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为，则，这一条件不能忽略． ①若，则点的轨迹是分别以为端点的两条射线； ②若，则点的轨迹不存在； ③若，则点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点03 直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程， (1)当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； (2)当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【熟记重要结论(二级结论)】 1． （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。 （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： （6）与有相同的渐近线方程为：； 2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1); (2); 3. 双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,是双曲线上任意一点, 则有: ; 4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 5.有关的经典结论 (1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有 (3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有 (4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有 6. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 7.若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 8. 双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC的斜率为定值，（常数）. 10. 离心率e==、e2= 11. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为, 12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为 13. 与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为 14.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为 15.等轴双曲线 （1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 16．共轭双曲线 （1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 17.双曲线的第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为，则动点M的轨迹方程为双曲线：. 18.双曲线的第三定义：已知，，点是平面异于A，B的动点，且满足，则动点M的轨迹方程为双曲线：，. 19.焦点弦被焦点分成定比：若，则. 考点一 双曲线的定义及应用 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    2．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 3．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； 考点二 双曲线的标准方程 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，结合几何关系可得，，由勾股定理可得，化简即可求解. 【详解】如图，连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D， 则D为AB的中点，直线的倾斜角为30°，故，，， 所以，即，解得，故双曲线方程为． 故选：C 5．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 考点三 双曲线中距离的最值问题 7.已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 8. 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 9．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 考点四 双曲线的焦点三角形 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 11．如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 12．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 考点五 与双曲线有关的点的轨迹 13．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 14．已知，，是平面上一点，下列说法正确的是（   ） A．若，则轨迹是以为直径的圆 B．若，则与坐标原点间距离恒为4 C．若，则“轨迹是椭圆”的充要条件是“” D．若，则“轨迹是双曲线右支”的充要条件是“” 【答案】ABC 【详解】对于A，设，因为，，， 所以，即，表示圆心，半径为的圆，所以轨迹是以为直径的圆，正确； 对于B，设，因为，，， 所以， 即，表示圆心，半径为的圆，所与坐标原点间距离恒为4，正确； 对于C，若，又，则当时，， 根据椭圆的定义知轨迹是椭圆， 当时，，则轨迹是线段， 当时，，则轨迹不存在， 所以“轨迹是椭圆”的充要条件是“”，正确； 对于D，，又，若轨迹是双曲线右支时，则， 即由“轨迹是双曲线右支”得不到“”，充分性不成立，错误. 故选：ABC 15．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 考点六 双曲线的简单几何性质 16．设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. ∵，分别为的两条渐近线的倾斜角，∴. 又∵，∴，∴，∴. 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为， ∴，∴，， 双曲线的焦距为. 故选：C. 17．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 18．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（   ） A． B．的离心率为 C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的 【答案】BCD 【详解】选项：因为双曲线的一条渐近线为. 且根据双曲线性质可得：的渐近线为. 所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误； 选项：将代入方程，得到，所以的离心率为，故正确； 选项：将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则. 其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确； 选项：对于双曲线，焦点到渐近线的距离为. 其中即为半虚轴长． 由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确． 故选：． 考点七 双曲线的渐近线问题 19．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则双曲线焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】联立，解得，不妨令，，则， 边上的高为b，所以，， 故的焦距． 故选：B 20．已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 考点八 双曲线的离心率问题 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由双曲线的定义，可得， 由，且， 可得，且，解得． 方法1：在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得，所以， 所以双曲线的离心率． 方法2：由，可得，即， 解得，所以，可得， 所以，双曲线的离心率． 故选：B． 23．设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知， 因为直线， 所以点到直线的距离为， 所以， 由题意知，， 所以，，即直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 联立， 由题意知，直线与双曲线的左右两支各有一个交点， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率， 对比选项可知，只有选项D符合题意． 故选：D． 24．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 25．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一：求得过与渐近线平行的直线方程，进而可得点到的距离，可得，求解即可.解法二：数形结合可得，求解即可. 【详解】法一：由题意可得，双曲线的一条渐近线为， 则过与渐近线平行的直线方程为， 即， 则点到的距离， 若到直线的距离是，则可得，所以， 所以，所以，所以，所以双曲线离心率的取值范围是. 法二：如图10，因为点在右支上， 所以，，， 即，可得． 考点九 双曲线的实际应用 26．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 27．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为，利用实轴长为20，（），（）在双曲线上，且，可求得，得离心率． 【详解】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为， 则，， （），（）在双曲线上，且， 由，即，，， 由，得，所以，，， 离心率为． 故选：B． 28．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 【答案】85.83 【分析】由题意根据双曲线定义确定M轨迹，再由双曲线定义结合图象当三点共线时求出最小值. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示： ，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故，，，，故轨迹方程为：. 由题意修建的三条公路总费用 ， 由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值， 由题意，所以， 所以. 考点十 与双曲线有关的数学文化题 29．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 30．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（    ） A．2π B．3π C．2π D．4π 【答案】C 【分析】利用该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为， 且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设， 代入方程，即可解得， 即杯身最细处圆的半径为 ，从而得解. 【详解】该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为， 且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设 代入双曲线方程可得 ， 即， 作差可得，解得 ， 所以杯身最细处的周长为 . 故选：C 31．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【答案】 【分析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论. 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 考点十一 双曲线的光学性质 32．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 33．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 34．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ． 【答案】2 【分析】由双曲线的光学性质结合，可得垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求出. 【详解】由双曲线的光学性质知，平分，延长与的延长线交于点E， 由，得为的中点，又是中点， 所以. 故答案为：2 考点十二 由直线与双曲线的位置关系求参 35．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 36．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B.    37．已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为．过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)设直线与双曲线交于两点（位于轴同侧），若以线段为直径的圆经过坐标原点，试判断圆的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据渐近线方程建立间关系由双曲线渐近线方程得，然后根据建立间关系，从而求出双曲线的方程； （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值，设均位于轴右侧．当直线的斜率不存在时，求出交点坐标，由，化简可得圆的半径，从而求出圆的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为。联立双曲线方程，由韦达定理可得，利用，化简可得，从而可得，令，则，化简即可求解. 【详解】（1）由渐近线方程建立间关系，由双曲线渐近线方程为可知， 所以． 由题知，当轴时，将代入双曲线方程可得， 设，则， 又，即，化简得， 结合，解得， 故双曲线的方程为． （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值． 根据双曲线的对称性，设均位于轴右侧． 如图①，当直线的斜率不存在时， 设直线的方程为，， 因为以为直径的圆经过原点，所以，故，所以， 又，所以，即，所以圆的半径， 故圆的面积为． 如图②，当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 联立消得， 所以， 整理得，， 因为均在轴右侧，所以，则． 由得，即， 所以， 整理得， 所以 ， 令，即， 因为，所以， 故 ， 所以此时圆的面积． 综上，当直线的斜率不存在时，圆的面积取得最小值． 考点十三 中点弦及对称问题 38．已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，， ，N两点均在双曲线C上，， 由①-②得， 知，，即，即，， 设直线MN的方程为，即， 联立得， 消去y并整理得，， 则，． ， 令，解得或，因为故． 故选:C． 39．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【分析】（1）由点在双曲线上，离心率的定义和的关系列方程组可得； （2）直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 40． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 考点十四 定点、定值问题 41．已知双曲线，设其左、右顶点分别为，中心为. (1)求双曲线的焦点； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点满足直线与在轴上的截距之比为，判断直线是否过定点，并说明理由. 【详解】（1）由双曲线，易知，则， 所以双曲线的焦点为. （2）由题意设直线l的方程为，且， 联立直线l和双曲线方程得，消并整理得， 所以，且， 则， 因为，则，即， ，则， ，解得， 弦长 . （3）由题意得，则设直线的方程为，则直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， . 若直线过定点，由对称性得定点在x轴上，设定点为， 则，即，化简得， ，解得， 直线MN过定点. 42．已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，双曲线方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为，则， 解得，，所求双曲线方程为． （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设， 所以， 所以， 由题意知，，， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以， 即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为， 即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为， 即，，即直线的倾斜角为定值． 43．已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 【详解】（1）由于，故， 又，且关于对称，所以,因此， 在中，， 取椭圆左焦点,连接，根据对称性可得， 由椭圆定义可得,即， 由于，所以，进而可得， 故双曲线方程为， （2）设，，,， 由（1）知,即， 联立与的方程可得 则， ， 则直线方程为，令，则， 故 同理可得, 由于，所以在线段的垂直平分线上，故， 故， ，， 化简得 代入韦达定理可得 即，故， 故，或， 若，此时直线经过定点，该点与重合，不满足题意， 故 考点十五 最值与参数取值范围问题 44．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）由双曲线的方程知，，又离心率，故， 因为， 故双曲线的方程为； （2）（i）直线的方程为， 联立，得， 故且， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， （ii）由题意，右焦点，故， ， 所以，则由知， 所以，即， 所以的取值范围为. 45．已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【分析】（1）先判断出不经过点，将，代入双曲线方程，得到方程组，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程； （2）设，，根据，得到，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）表达出直线，变形得到，求出点到直线的距离为，故直线与定圆相切. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入得：，解得， ，的渐近线方程为； （2）设，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； （3）显然，直线， 即， 其中，， 即，， 故点到直线的距离为 ， 存在定圆与直线相切. 考点十六 双曲线的切线问题 46．已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【分析】（1）根据斜率公式以及点斜式即可求解直线方程； （2）联立直线与曲线方程可得，根据判别式为0即可求解； （3）根据以及（2）中得QR的方程：，验证（2）的结论即可求解. 【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 47．已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【分析】（1）根据题意，得到，再由双曲线经过点，列出方程，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，得到过点的切线方程为，即，得到过三点的圆的圆心为，根据，求得，即可证得四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程，得到切线交轴于点的角平分线交切线于点，由角平分线定理，求得，进而得到的角平分线方程，设点，联立方程组，求得，即可求得点的轨迹方程； 方法二：设切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，设圆与延长线，点，求得，再由切线的垂线方程，代入求得，进而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即， 又由双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即， 又由，则过三点的圆的圆心为， 因为，即， 所以， 又， 即，所以四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程为， 令切线交轴于点的角平分线交切线于点， 由角平分线定理得：， 所以，代入坐标得， 故的角平分线方程为， 设点，联立方程组 ，可得， 所以点的轨迹方程为． 方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心， 设圆与延长线、延长线的切点分别为，点， 则 ，即， 又由切线的垂线方程为， 代入得，所以，所以点的轨迹方程为． 考点十七 与双曲线有关的新定义题 48．已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）设，再利用新定义求出的坐标即可求解； （2）（i）双曲线上任取一点，根据新定义得出其旋转过后的点坐标，再将其坐标代入中即可求得双曲线的标准方程，进而求得离心率； （ii）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再分别用点坐标求出线段的中垂线方程，设，将点坐标代入两条中垂线方程中，再利用同构思想得出是方程的两个根，再根据两次韦达定理建立关系式，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，，因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，，故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. 49．在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 1．（2024·全国“极光杯”竞赛）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 【答案】AD 【分析】由题意得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】由题意，所有， 所以的实轴长为2，的焦距为，的离心率为，的渐近线方程为. 故选：AD. 2．（2023·安徽太和数学竞赛）已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】先利用双曲线的性质求得，再根据抛物线的定义，运用坐标表示关系式，然后借助于方程来求解点A的坐标. 【详解】因为抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合， 而双曲线中，，,,可知右焦点， 所以，即抛物线的方程为. 则抛物线的准线,故点K. 设点,满足，由，可知 ，解得， 故点A的横坐标为5. 故选：D 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设右焦点，则，结合椭圆与双曲线的定义计算即可求解. 【详解】椭圆的半焦距为，则， 所以，设右焦点，则， 所以. 故选：D 4．（2024·全国集英苑冬季联赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 【答案】1 【分析】将双曲线的焦点坐标代入椭圆方程，解方程求得的值即可. 【详解】由题可得双曲线的焦点坐标为，代入椭圆方程得，解得. 5．（2024·河北保定竞赛）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率. 【详解】圆即，圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为， 依题意，即，又，所以， 所以离心率. 6．（2024·全国数学联赛一试）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】分析可知两圆圆心恰好就是双曲线的焦点.要求的最大值即：的最大值减去的最小值来求解.通过可得到圆外一点和圆上一点距离的最大值和最小值即可. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心. 所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得. 7．（2023·湖南吉首解题大赛）已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可. 【详解】易知MN关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴， ∴． 8．（2024·清华大学强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 9．（2024·南京大学强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率. 【详解】， 当时，，， 则，所以， 所以， 因为为正方形，所以， 所以，化简得 所以， 所以，解得， 因为，所以 10．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设点及，再应用双曲线定义结合边的关系计算求解，最后计算离心率即可. 【详解】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知， 从而. 由知，可得. 又由及可得， 解得. 于是，可得离心率. 11．（2024·广东汕头数学竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则 . 【答案】40 【分析】设，，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，即可得结果. 【详解】设，， 由在以为直径的圆上可得：， 故，且四边形为矩形， 由双曲线可知：， 即， 又因为，则， 可得， 则， 所以. 12．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 13．（2023·安徽十校联盟高二竞赛）已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支交于、两点，若以为直径的圆过原点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当轴直接求出离心率，当不与轴垂直时，设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据与右支有两个交点得到，再由表示出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】当轴时，令，则，解得，依题意， 即，即，解得或（舍去）． 当不与轴垂直时，设， 与联立得， ， 设，，则，， 则，， 所以，即， 则． 由题意得， 所以 ． 综上，双曲线离心率的取值范围是． 14．（2023·安徽安庆“校长杯”数学竞赛）已知双曲线：，圆：与x轴交于两点，是圆О与双曲线在x轴上方的两个交点，点在y轴的同侧，且交于点C.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据向量等式推出M点为的中点，根据双曲线的对称性可知N为的中点，结合可求出，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意可知，故不妨设，即为双曲线的焦点，， 因为可得 ，即， 故M点为的中点，根据双曲线的对称性可知N为的中点， 又因为，故，同理， 即为正三角形， 故， 由点M在双曲线左支上，故， 则. 15．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则 . 【答案】 【分析】先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解. 【详解】如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q， 因为，所以， 所以是等边三角形，所以， 则，即； 又因为，所以， 解得，，， 在中，，，， 由余弦定理，得. 16．（2024·贵州贵阳“圆周率”竞赛）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 【分析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到 ，进而证明点恒在定直线上. 【详解】（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得， 故双曲线的方程为； （2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点， 则，， ，因此点的坐标为， 故直线的斜率，直线的斜率为， 因此直线与直线的斜率之积为， 由于点在双曲线上，所以，所以， 于是有 （定值）； （3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，， 设，则，即， 整理得， 由①③，②④得，， 将，，代入⑥得，⑦， 将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上； 证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由， 消去得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、， 则有， 设点，由，得， 整理得， 将②③代入上式得， 整理得，④ 因为点在直线上，所以，⑤ 联立④⑤消去得，所以点恒在定直线. 17．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 双曲线的定义及应用 5 考点二 双曲线的标准方程 6 考点三 双曲线中距离的最值问题 6 考点四 双曲线的焦点三角形 7 考点五 与双曲线有关的点的轨迹 7 考点六 双曲线的简单几何性质 8 考点七 双曲线的渐近线问题 8 考点八 双曲线的离心率问题 9 考点九 双曲线的实际应用 10 考点十 与双曲线有关的数学文化题 11 考点十一 双曲线的光学性质 12 考点十二 由直线与双曲线的位置关系求参 12 考点十三 中点弦及对称问题 13 考点十四 定点、定值问题 14 考点十五 最值与参数取值范围问题 16 考点十六 双曲线的切线问题 17 考点十七 与双曲线有关的新定义题 18 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题17道） 【归纳重点知识】 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零0常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合，其中为常数且． 知识点02 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 顶点坐标：， 顶点坐标：， 渐近线 离心率 的关系 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 【易错警示】 （1）若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定． （2）设双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为，则，这一条件不能忽略． ①若，则点的轨迹是分别以为端点的两条射线； ②若，则点的轨迹不存在； ③若，则点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点03 直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程， (1)当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； (2)当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【熟记重要结论(二级结论)】 1． （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。 （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： （6）与有相同的渐近线方程为：； 2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1); (2); 3. 双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,是双曲线上任意一点, 则有: ; 4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 5.有关的经典结论 (1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有 (3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有 (4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有 6. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 7.若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 8. 双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC的斜率为定值，（常数）. 10. 离心率e==、e2= 11. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为, 12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为 13. 与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为 14.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为 15.等轴双曲线 （1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 16．共轭双曲线 （1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 17.双曲线的第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为，则动点M的轨迹方程为双曲线：. 18.双曲线的第三定义：已知，，点是平面异于A，B的动点，且满足，则动点M的轨迹方程为双曲线：，. 19.焦点弦被焦点分成定比：若，则. 考点一 双曲线的定义及应用 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 3．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 考点二 双曲线的标准方程 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 考点三 双曲线中距离的最值问题 7.已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8. 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 考点四 双曲线的焦点三角形 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 11．如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 考点五 与双曲线有关的点的轨迹 13．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知，，是平面上一点，下列说法正确的是（   ） A．若，则轨迹是以为直径的圆 B．若，则与坐标原点间距离恒为4 C．若，则“轨迹是椭圆”的充要条件是“” D．若，则“轨迹是双曲线右支”的充要条件是“” 15．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 考点六 双曲线的简单几何性质 16．设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 17．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 18．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（   ） A． B．的离心率为 C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的 考点七 双曲线的渐近线问题 19．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则双曲线焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 20．已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 考点八 双曲线的离心率问题 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（    ） A． B． C． D． 24．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 考点九 双曲线的实际应用 26．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 27．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 28．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 考点十 与双曲线有关的数学文化题 29．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 30．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（    ） A．2π B．3π C．2π D．4π 31．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 考点十一 双曲线的光学性质 32．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 33．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 34．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ． 考点十二 由直线与双曲线的位置关系求参 35．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 36．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为．过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)设直线与双曲线交于两点（位于轴同侧），若以线段为直径的圆经过坐标原点，试判断圆的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 考点十三 中点弦及对称问题 38．已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 40． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 考点十四 定点、定值问题 41．已知双曲线，设其左、右顶点分别为，中心为. (1)求双曲线的焦点； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点满足直线与在轴上的截距之比为，判断直线是否过定点，并说明理由. 42．已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 43．已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 考点十五 最值与参数取值范围问题 44．设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 45．已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 考点十六 双曲线的切线问题 46．已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 47．已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 考点十七 与双曲线有关的新定义题 48．已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 49．在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 1．（2024·全国“极光杯”竞赛）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 2．（2023·安徽太和数学竞赛）已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．5 3．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国集英苑冬季联赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 5．（2024·河北保定竞赛）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 6．（2024·全国数学联赛一试）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ． 7．（2023·湖南吉首解题大赛）已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为 ． 8．（2024·清华大学强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 9．（2024·南京大学强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 10．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 . 11．（2024·广东汕头数学竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则 . 12．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 13．（2023·安徽十校联盟高二竞赛）已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支交于、两点，若以为直径的圆过原点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 14．（2023·安徽安庆“校长杯”数学竞赛）已知双曲线：，圆：与x轴交于两点，是圆О与双曲线在x轴上方的两个交点，点在y轴的同侧，且交于点C.若，则双曲线的离心率为 . 15．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则 . 16．（2024·贵州贵阳“圆周率”竞赛）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 17．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $