3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质应用，涵盖直线与双曲线位置关系、弦长公式、中点弦方程及直接法求轨迹方程。通过高速公路隧道、城市天桥等实际情境导入，结合视频感受，回顾椭圆第二定义形成对比，搭建从双曲线性质到应用的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，如冷却塔建模、步道长度计算；通过点差法、韦达定理应用训练数学思维，题型分类强化与真题感知提升数学语言表达。学生能提升知识应用能力，教师可获得系统教学资源，提高课堂效率。

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) ·选择性必修第一册· 学习目标 掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． 掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. 掌握直接法求动点的轨迹方程. 会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 目录 CATALOG 01.直线与双曲线位置关系的判断 03.应用新知 02.直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 01 直线与双曲线位置关系的判断 导入新知1：高速公路——双曲线隧道与直线道路交会 某山区高速公路需要穿越一座双曲线造型的隧道口，隧道截面的边缘为双曲线 （单位：米）。道路中心线（视为直线）与隧道口相交，工程师需要确定道路是否能够安全穿过。 问题1：道路中心线与隧道口边缘可能有几种位置关系？如果道路恰好与隧道边缘相切，此时有几个交点？如果道路与隧道边缘没有交点，道路是否在隧道外？ 问题2：如果道路中心线的倾斜角度恰好与隧道的渐近线方向一致，道路与隧道口会有几个交点？为什么这与相切不同？ 导入新知2：城市规划——双曲线形天桥与观光步道 某城市公园有一座双曲线形景观天桥，天桥轮廓线所在双曲线方程为 （单位：米）。公园管理处计划在天桥内部修建一条观光步道，步道为直线，与天桥轮廓交于两点，需要测量步道在天桥内的长度，以便铺设材料。 问题1：如果步道恰好经过天桥轮廓的中点位置（即弦的中点），能否快速确定步道所在直线的方程？这需要利用什么数学方法？ 问题2：与椭圆相比，双曲线是开放曲线，步道是否存在“穿过天桥两支”和“仅在单支上”两种情况？如何从直线的斜率判断？ 视频感受，引入新知 观看视频，感受双曲线的应用之美 回顾复习，引入新知 双曲线的几何性质 回顾复习，引入新知 等轴双曲线 离心率越大，双曲线的“张口”越大 应用新知 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如下图）．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 应用新知 解析 应用新知 解析 应用新知 例5 解析 有明显的等式关系 直接法求轨迹方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求共渐近线的双曲线的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求共渐近线的双曲线的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线方程求a、b、c、 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 02 直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 探究新知 方法总结 直接法求动点轨迹方程 找等式：找到题干中的一个“等式关系” 第2步 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. 第3步 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 第4步 若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 判断方法 设动点：比如设动点P(x,y) 第1步 一般步骤 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 第5步 探究新知 将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？ 思考 探究新知 共同点 将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 都是动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为定值 椭圆和双曲线的第二定义 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等轴双曲线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的实轴、虚轴、等轴双曲线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线 03 应用新知 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 探究新知 例6 解析 探究新知 例6 解析 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 设而不求 的重要数学思想 应用新知 弦长公式 应用新知 要求 利用弦长公式，重新解答例5. 解析 04 题型强化训练 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 重要题型专练 题型一 求共焦点的双曲线方程 例题 解析 重要题型专练 题型二 求双曲线的中点弦方程 例题 解析 重要题型专练 点差法求中点弦方程 总结 重要题型专练 题型三 直接法求轨迹方程 例题 解析 重要题型专练 题型四 求弦长 例题 解析 重要题型专练 题型五 直线与双曲线的位置关系问题 例题 解析 重要题型专练 题型五 直线与双曲线的位置关系问题 例题 解析 重要题型专练 题型五 直线与双曲线的位置关系问题 例题 解析 总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 重要题型专练 题型六 双曲线的简单应用 例题 重要题型专练 题型六 双曲线的简单应用 解析 05 真题感知 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 课堂小结 双曲线的简单几何性质 作业 作业1：完成教材：第127页 练习1,2,3,4,6. 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第2课时》.  3.2.2 双曲线的简单几何性质 (第2课时) 课后作业答案 练习（第126页） 课后作业答案 练习（第126页） 课后作业答案 练习（第126页） 课后作业答案 练习（第126页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 17 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 5.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ P O Q A l 根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线． 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 9. 相距1400m的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340 m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？ 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） y x A M B O 课后作业答案 习题3.2 （第127页） y x A M B O 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 涉及中点的问题用点差法 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 涉及中点的问题用点差法 课后作业答案 习题3.2 （第127页） 涉及中点的问题用点差法 课后作业答案 习题3.2 （第127页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(_____，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 ________ 范围 _______ ，y∈R _______ ，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，_____)，(0，a) 轴长 实轴长＝________，虚轴长＝________ 离心率 e＝____ > 1 渐近线 ____________________ y＝±eq \f(a,b)x 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在x轴上； λ<0时，焦点在y轴上 性质 ①离心率：e＝eq \r(2) ②渐近线方程：y＝±x 2.（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的渐近线，则 的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是．故选：D. 1.（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线 与双曲线 ： 的渐近线相同，且过点 ，则双曲线 的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的方程为，，代入点， 则，则方程为，即. 故选：B. 3.（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】由题可知该双曲线中，解得，又双曲线的一条渐近线为， 因此，又，得，所以实轴长为. 故选：B. 4.（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即，所以，解得． 故选：A. 5.（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线 的一条渐近线倾斜角为 ，则双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】双曲线的渐近线为.因为一条渐近线倾斜角为，所以，即.所以双曲线的离心率. 故选：D. 6.（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点 ，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得，因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 7.（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为 ，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【详解】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程可化为，由焦点可知，，则，于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D 8.（2025·云南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为8，过 的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，由题意，得， 解得，所以的半焦距，所以的离心率. 故选：D 9.（25-26高三下·重庆·开学考试）瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即， 双曲线的焦点在轴上，设为，则，故离心率. 故选：D. 10.（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线 的两渐近线的夹角为 ，且实轴长小于虚轴长，则 的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的标准方程为（），则它的渐近线方程为，已知实轴长小于虚轴长，即，所以因为渐近线的夹角为， 所以渐近线的倾斜角为和，所以，即，由， 代入，得 ，即，虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为.故选：C. 在平面直角坐标系 中，动点 与定点 的距离和P到直线l： 的距离之比是常数 ．求动点P的轨迹方程； 由题意可知， ， 化简得 ，于是，动点 的轨迹方程为 ． 已知双曲线C： ，直线l： 交双曲线C于A，B两点，求弦长|AB|. 令 ， ， 把 代入 ，消去y得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10 米，水面宽 米，若水面上升5米，则水面宽为（     ） A． 米 B． 米 C． 米 D．30米 设双曲线方程为 ，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D ，其中 . 又由题可得 ，代入双曲线方程可得： ，则D . 将D点坐标代入双曲线方程可得： ，则D . 又由对称性可得 ，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 1.（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 双曲线右顶点为，渐近线.顶点到渐近线的距离. 因为双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍， 所以，即，化简得，进而. 已知，则，因为，所以.故选：D. 2.（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 双曲线的顶点为，依题意，椭圆的焦点为，则椭圆的半焦距为，半短轴长为，因，则椭圆的离心率为．故选：B. 3.（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 双曲线的标准方程为，则， 其渐近线方程为：．故选：B. 4.（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 由题意得，，则. 故选：A. $