专题11 分段函数、二次函数的单调性及二次函数根的分布问题（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题11 分段函数、二次函数的单调性及二次函数根的分布问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、分段函数的单调性及参数问题 1 类型二、二次函数单调性求参数 8 类型三、二次函数的最值（范围）及参数问题 10 类型四、一元二次方程根的零分布 15 类型五、一元二次方程根的k分布 19 类型六、一元二次方程根在区间上的分布 22 压轴专练 29 类型一、分段函数的单调性及参数问题 分段函数中的单调性 （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） （3）由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出函数的分段函数性质，结合二次函数性质判断单调减区间. 【详解】由， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数单调减区间为. 故选：D 2．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端点右边函数值，得到整个函数在上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，从而得出的取值范围. 【详解】化简得到， ∴函数在区间上单调递增， ∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增， 又因为，∴函数在区间上单调递增， ∵， ∴，∴. 故选：B. 3．在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解. 【详解】在R上是增函数， 则有，解得， 所以在R上是增函数的充要条件是， 则充分不必要条件要求是的真子集，只有D选项满足，即. 故选：D 4．（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 5．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 6．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果． 【详解】函数, 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C； 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D. 故选：A． 二、填空题 7．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数，的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象如图， 当时，或1， 由图象可知，当时，函数在上单调递增. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可. 【详解】由题设，显然在上递增， 要使函数在区间上是严格增函数，则，即. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 【答案】 【分析】对于一次函数，要有最小值，则一定不能单调递增，所以，对于二次函数要在取得最小值，则对称轴在右侧，从而，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以时，不能单调递减，所以，解得， 时，对称轴为，要使得在时取得最小值，所以， 所以，的取值范围为. 故答案为：. 10．设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将代入解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出上的值域，由的值域为，只需在上的值域包含，分析二次函数的开口方向，对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 类型二、二次函数单调性求参数 二次函数的单调性与最值 一元二次函数 时，函数有最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 时，函数有最大值，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 一、单选题 1．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式即可求解. 【详解】由题意，，得. 所以的取值范围是， 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·周测）函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解. 【详解】因为函数的对称轴为，且开口向上， 函数在区间上单调，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 类型三、二次函数的最值（范围）及参数问题 一元二次函数在区间[m,n]上的最值 当 ， 当， 当时， 时， 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性和对称性求解. 【详解】二次函数的对称轴为，且， 当时，解得，由二次函数的图象与性质得的取值范围是. 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（    ）． A．或 B．或 C．6或 D．6 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质分三种情况讨论：当，当，当，分别求出的值. 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，对于，随着的增大而减小，故当时，取得最大值，即，解得，符合题意； ②当，即时，在处取得最大值， 即，得，解得或（舍去）； ③当，即时，对于，随着的增大而增大， 故当时，取得最大值， 即，解得（舍去）． 综上所述，或6． 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 二、填空题 4．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数的最大值为3，那么实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按照、和分类讨论，根据二次函数的性质求得最大值，根据最大值列式求解即可. 【详解】． （1）当时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 故当时，有最大值，，则． （2）当时，二次函数图象开口向下，对称轴为， 故当时，有最大值，，则． （3）当时，，显然不成立． 综上知． 故答案为： 5．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用二次函数的图象，开口向上，可知最大值一定在端点处取到，再结合不等式的加法性质即可求得的最大值. 【详解】因为过点，所以， 所以，即． 因为是开口向上的抛物线，所以． 由得，两式相加得，解得， 当时，有，满足题意， 即的最大值为1． 故答案为：1 6．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 【答案】或 【分析】对二次函数的对称轴与所给区间进行讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，对称轴为，开口向下， 当时，即，此时函数在单调递增，故时，函数取最小值， ，当时，函数取最大值，解得， 当时，即，此时函数在单调递减，故时，函数取最大值， ，当时，函数取最小值，解得， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，故时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，当时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上可知：或 故答案为：或 三、解答题 7．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 类型四、一元二次方程根的零分布 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，定点坐标（，）． 二、一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 1、方程有两个不等正根 2、方程有两个不等负根 3、方程有一正根和一负根，设两根为 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，结合函数图象，从对称轴、判别式、特殊点的函数值三个角度列不等式求解即可得. 【详解】设， 根据题意，作出的图象(如图). 则，即， 解得或．    故选：A. 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是， 故选：C． 二、多选题 3．（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 三、填空题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【答案】 【分析】由韦达定理及充要条件的定义求解即可. 【详解】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 四、解答题 5．（23-24高一上·广西玉林·开学考试）当取什么实数时，方程分别有： (1)两个正实数根； (2)一正根和一负根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程两个正根，结合判别式和韦达定理，列出不等式组，即可求解. （2）根据题意，方程一正一负根，结合判别式和两根之积，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：若方程有两个正实数根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：若方程有一正一负根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 类型五、一元二次方程根的k分布 一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 一、填空题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数零点分布结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1， 又，则，函数的对称轴方程为， 当时，函数的示意图如下： 所以，解得， 当， ，此时无解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 二、解答题 2．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）关于的方程，当分别在什么范围取值时，方程的两个根： (1)都大于1； (2)一个大于1，一个小于1？ 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围. 【详解】（1）因为的两个实数根均大于1， 所以，解得， 所以的取值范围为． （2）因为的两个实数根，一个大于1，一个小于1， 所以，解得， 所以的取值范围为． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)实数为何值时，方程有两个不同的正根； (2)实数为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2； (4)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】根据根的个数及根的分布列不等式组计算求参. 【详解】（1）由题意知 （2）由题意知． （3）由题意知． （4）由题意知． 类型六、一元二次方程根在区间上的分布 一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【详解】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案. 【详解】要满足题意，则，解得． 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是 . 【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可） 【分析】令，根据条件，先假设在区间内有零点，利用二次函数根的分布，建立的不等关系，通过取值，即可求解. 【详解】令，由得到， 当时，假设在区间内有零点，则有①， 不妨取，显然满足①式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 当时，假设在区间内有零点，则有②， 不妨取，显然满足②式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 故答案为：（答案不唯一，，满足时，或时，即可）. 三、解答题 5．设k为实数，若函数在区间上无零点，求k的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，利用判别式、对称轴及区间端点值的符号列不等式组，求k的取值范围. 【详解】由题设，的开口向上且对称轴为，， 当时，在上无零点，此时； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 综上，在上无零点k的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简函数解析式，作出图象，结合图象即可得函数解析式. 【详解】因为图象如图所示： 所以函数的单调递增区间为. 故选：B． 2．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 5．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判别式及韦达定理即可判断. 【详解】由题意可得不等式组 解得：且， 所以实数k的取值范围是. 故选:C 6．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 7．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立，是上的减函数， ，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 8．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 二、填空题 9．（23-24高一上·广东江门·期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 【答案】 【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得. 【详解】的对称轴为，且开口朝上， 因函数在区间上是增函数，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数有两个正零点转化为方程有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布可得的不等式组，解不等式组可得的范围. 【详解】由题可知方程有两个不相等的正实数根， 所以，即， 解得：，所以的取值范围为. 故答案为： 11．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合零点定义，参变分离后利用对勾函数的单调性计算即可得. 【详解】由题意可得在上有解， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故当时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】要使有最大值，只需且，然后求出的取值范围即可． 【详解】当时，无最大值， 当时，要使函数存在最大值，则且， 即，所以， 所以的取值范围为,． 故答案为：,． 14．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高一上·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，先验证符合题意，再验证，时符合题意，最后根据题意计算，且时，满足或，解出不等式，即可求解. 【详解】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 16．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论研究函数的单调性，由是函数减区间的子区间可得a的范围. 【详解】由题意得，， 当时，，不符合题意； 当时，，由， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 由在单调递减得，， 解得； 当时，开口向上，对称轴为， 则在单调递增，不存在单调递减区间； 当时，，由， 由，只需研究在区间的单调性， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 则在单调递减恒成立. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高一上·北京丰台·期中）设函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】第一空：当时，， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数c的取值范围是. 故答案为：；. 三、解答题 18．已知函数，. （1）若函数的值域为，求的值； （2）若函数在上无零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可得，进而可求得实数的值； （2）分析函数在区间上单调递增，由题意可得，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的值域为， ，解得； （2）函数的图象开口向上，其对称轴方程为， 所以，函数在上单调递增， 由函数在上无零点，则，即， 解得. 【点睛】本题考查利用二次函数的值域求参数，同时也考查了利用二次函数的零点个数求参数，考查计算能力，属于中等题. 19．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 20．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意只需对称轴大于1，即可， （2）根据题意只需即可， （3）根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的零点均大于1， 所以，解得， （2）因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1， 所以，解得， （3）因为函数的一个零点在内，另一个零点在内， 所以，解得. 21．已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根； (2)至少有一个正实数根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根的分布可得答案； （2）先求关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时的范围，再求对立面可得答案. 【详解】（1）关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与轴有2个大于1的不同实根， 可得，解得； （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 22．若函数在上有零点，则参数的取值范围是什么？如果没有零点，那么的取值范围又如何？ 【答案】若函数在上有零点，参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，参数的取值范围是. 【分析】对函数解析式中的绝对值内式子的正负进行分类讨论，再结合函数零点的定义来确定参数的取值范围即可. 【详解】当时，，则， 的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，且， 若函数在上有零点，则，即，解得， ，； 当时，， ①当，即时， 若，此时，， 函数在上没有零点； 若，此时，令，则，， 函数在上也没有零点； ②当，即时， 若，则在上有零点时， 有，即，解得，； 若，则函数在上有零点时， 有，； 综上，若函数在上有零点，则参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，则参数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 分段函数、二次函数的单调性及二次函数根的分布问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、分段函数的单调性及参数问题 1 类型二、二次函数单调性求参数 4 类型三、二次函数的最值（范围）及参数问题 4 类型四、一元二次方程根的零分布 6 类型五、一元二次方程根的k分布 8 类型六、一元二次方程根在区间上的分布 9 压轴专练 12 类型一、分段函数的单调性及参数问题 分段函数中的单调性 （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） （3）由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 6．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ． 8．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 9．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 10．设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 . 类型二、二次函数单调性求参数 二次函数的单调性与最值 一元二次函数 时，函数有最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 时，函数有最大值，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 一、单选题 1．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·全国·周测）函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 5．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 类型三、二次函数的最值（范围）及参数问题 一元二次函数在区间[m,n]上的最值 当 ， 当， 当时， 时， 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（    ）． A．或 B．或 C．6或 D．6 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数的最大值为3，那么实数的取值范围为 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为 ． 6．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 三、解答题 7．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 类型四、一元二次方程根的零分布 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，定点坐标（，）． 二、一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 1、方程有两个不等正根 2、方程有两个不等负根 3、方程有一正根和一负根，设两根为 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B． C． D． 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 四、解答题 5．（23-24高一上·广西玉林·开学考试）当取什么实数时，方程分别有： (1)两个正实数根； (2)一正根和一负根. 类型五、一元二次方程根的k分布 一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 一、填空题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 二、解答题 2．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）关于的方程，当分别在什么范围取值时，方程的两个根： (1)都大于1； (2)一个大于1，一个小于1？ 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)实数为何值时，方程有两个不同的正根； (2)实数为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2； (4)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0． 类型六、一元二次方程根在区间上的分布 一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是 . 三、解答题 5．设k为实数，若函数在区间上无零点，求k的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一上·广东江门·期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 10．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 15．（24-25高一上·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 16．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 17．（24-25高一上·北京丰台·期中）设函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 三、解答题 18．已知函数，. （1）若函数的值域为，求的值； （2）若函数在上无零点，求的取值范围. 19．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 20．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 21．已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根； (2)至少有一个正实数根. 22．若函数在上有零点，则参数的取值范围是什么？如果没有零点，那么的取值范围又如何？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $