专题10 函数值域求法技巧全归纳（压轴题7大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题10 函数值域求法技巧全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、直接法 2 类型二、配方法 2 类型三、换元法 3 类型四、分离常数法 4 类型五、基本不等式法 4 类型六、单调性法 5 类型七、判别式法 6 压轴专练 7 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)对勾函数：对勾函数： 值域： 类型一、直接法 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 一、单选题 1．（24-25高一上·四川·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．函数，的值域是 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 类型二、配方法 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法 即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 一、单选题 1．如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 类型三、换元法 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．函数的值域为 ． 类型四、分离常数法 分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 一、填空题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 2．（24-25高一上·浙江台州·期中）函数在的值域是 . 3．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）若，则的最小值为 . 4．函数的值域是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为 ． 类型五、基本不等式法 基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 一、填空题 1．函数的值域为 . 2．当时，函数的值域为 . 3．函数 的值域为 ． 4．已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 类型六、单调性法 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 二、解答题 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）已知函数 (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求在区间上的值域. 类型七、判别式法 判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域 一、单选题 1．已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、填空题 3．函数的最大值为 ． 三、解答题 4．求函数的值域． 一、单选题 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 二、填空题 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 7．函数的值域是 . 8．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 9．函数的值域为 ． 10．函数的值域是 ． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ． 12．若实数x，y满足，则x的最大值是 . 13．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 15．若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 三、解答题 16．求函数的值域． (1) (2) 17．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 18．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 19．（23-24高一上·北京·期末）已知，. (1)当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； (3)当时，求函数在区间上的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 函数值域求法技巧全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、直接法 2 类型二、配方法 3 类型三、换元法 4 类型四、分离常数法 7 类型五、基本不等式法 9 类型六、单调性法 11 类型七、判别式法 16 压轴专练 18 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)对勾函数：对勾函数： 值域： 类型一、直接法 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 一、单选题 1．（24-25高一上·四川·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的单调性求值域即可. 【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以， 所以值域为． 故选：D 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，进而可求值域. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，所以值域为. 故选：B. 二、填空题 3．函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性可得最值. 【详解】由函数，在上单调递减， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由得出答案. 【详解】因为，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 类型二、配方法 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法 即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 一、单选题 1．如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 类型三、换元法 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复合函数求值域，先令根号内的函数为新函数，利用配方法得到函数值域，再由外函数的单调性得到最值，从而求出值域. 【详解】令， ∵在上单调递减， 且当时，， ∴. 故选：A. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 二、填空题 5．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，，利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 类型四、分离常数法 分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 一、填空题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 2．（24-25高一上·浙江台州·期中）函数在的值域是 . 【答案】 【分析】化简函数解析式，得到函数在的单调性，然后求出值域. 【详解】， ∵当时，，∴函数在上单调递减， 则， ∴，即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法可得，利用换元法，根据函数的单调性求最值即可. 【详解】， ， ， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，. 即的最小值为. 故答案为：. 4．函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】且. 【分析】由题意得，其中且，由此即可得解. 【详解】，其中且， 所以， 所以且， 所以函数的值域为且. 故答案为：且.. 类型五、基本不等式法 基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 一、填空题 1．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式即可解出． 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号． 故答案为：． 2．当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 则，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】，分别讨论和时，由基本不等式求得的范围即可求解. 【详解】定义域为， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 4．已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 【答案】 【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可. 【详解】由题知，函数，， 当时，， 此时， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，值域为； 当时， 因为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，. 故答案为：；. 类型六、单调性法 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，，利用对勾函数的单调性求得的值域，进而求在上的值域，最后结合进而得解. 【详解】由，定义域为，且， 当时，. 令，， 由对勾函数的单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 所以，即， 所以当时，，又， 所以当时，函数的值域为. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 二、解答题 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）已知函数 (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)在区间上的单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （2）结合函数的奇偶性及单调性即可求解． 【详解】（1）在区间上的单调递增，证明如下： 任取，， 则， 因为，所以，所以，所以， 即，所以，即在区间上的单调递增； （2）因为，即为奇函数， 由可得在上单调递增， 由奇函数的对称性可知，在上单调递增， 因为，， 故函数的值域为 . 类型七、判别式法 判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域 一、单选题 1．已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 二、填空题 3．函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 三、解答题 4．求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 一、单选题 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到函数的单调性，从而得到函数值域. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 故当处取得最大值，最大值为， 又时，，当时，， 故值域为. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，进而将原问题等价于求函数，的值域，再利用二次函数的性质可得解． 【详解】设，则， 又，则， 则原问题等价于求函数的值域， 由二次函数的性质可知，的对称轴为，且开口向下， 当时，， 所求值域为． 故选：C． 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 5．已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由函数解析式得到，再通过换元结合基本不等式求解即可； 【详解】，， 所以， 设，由，可得：， 则，所以，，则 ，当且仅当，即，即时等号成立． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】求出函数的定义域，分离常数，结合反比例函数的值域即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 7．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数以及反比例函数性质计算可得结果. 【详解】易知函数的值域为， 再根据反比例函数性质可得的值域即为. 故答案为： 8．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 9．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 10．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】易知， ， 当时， ， 当且仅当时取等号， 当时，， ， 当且仅当时取等号， 综上可得函数的值域为， 故答案为：. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，有，可得， 所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立， 故函数的值域为. 故答案为：. 12．若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【答案】/ 【分析】把已知条件整理为的形式，利用，求得的取值范围，从而得出最大值. 【详解】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 13．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将采用分离常数法得到，然后当取到最小值时，函数有最大值，即得到答案. 【详解】，因为， 所以，当时等号成立，所以． 故答案为：. 15．若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【答案】 / / 【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值. 【详解】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 三、解答题 16．求函数的值域． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式求出函数值域； （2）由对勾函数单调性求出值域. 【详解】（1），由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故值域为； （2），由对勾函数性质得， 在上单调递增，在上单调递减， 其中当时，， 当时，，当时，， 故值域为 17．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解． 【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．      （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．    （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 18．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 19．（23-24高一上·北京·期末）已知，. (1)当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； (3)当时，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)判断见解析，减区间是，增区间是； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用对勾函数单调性判断单调性，再写出单调区间. （2）先由函数式组成判断函数的单调性，再运用函数单调性定义进行证明. （3）根据给定区间及双勾函数的图象进行分类讨论，再进行合并表述即得. 【详解】（1）当时，函数定义域为， ，函数是奇函数， 由对勾函数知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是；递增区间是. （2）当时，在上单调递增. 任取，有， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增，则； ②当，即时，在上单调递减，则； ③当，即时，， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $