精品解析：山东省济南市长清区第三初级中学2021-2022学年上学期九年级数学期末复习试卷

2021-2022长清三中第一学期期末复习九年级数学通关试卷（时间：120分钟，满分：150） 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看到的是两个矩形，中间的线是实线， 故选：D． 【点睛】本题考查常见几何体的三视图，主视图是从物体正面看到的图形． 2. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （﹣2，1） D. （﹣1，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和性质即可解答．先判断出反比例函数图象的一分支所在象限，即可得到另一分支所在象限． 【详解】解：由于点（1，2）在第一象限，则反比例函数的一支在第一象限，另一支必过第三象限． 第三象限内点的坐标符号为（﹣，﹣） 故选：D． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数图像的对称性． 3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】设方程的另一个根为x1， 则-1+x1=-=-3 ∴x1=-2 故选B． 【点睛】此题主要考查方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系． 4. 在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， 则cosB=． 故选：B． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系．熟练运用三角函数的定义进行求解是解题关键． 5. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题． 【详解】四边形为平行四边形， ； ， ； 点是边的中点， ， ．故选B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键． 6. 如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C，D出口离开的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知所有可能的结果有6种，设小红从入口A进入景区并从C，D出口离开的概率是P．∵小红从入口A进入景区并从C，D出口离开的有2种情况，∴P==．故选B． 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( ) A. x1＝－3，x2＝0 B. x1＝3，x2＝－1 C. x＝－3 D. x1＝－3，x2＝1 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据（-3,0）找到另一个交点即可解题. 【详解】解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称, ∵对称轴为x=-1,其中一个交点为（-3,0） ∴另一个交点为（1,0）, 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键. 8. 函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 10. 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 11. 如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为，在A点测得D点的仰角为，在B点测得D点的仰角为，则乙建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度． 【详解】如图，过点A作于点F，在中， ，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即乙建筑物的高度为． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键． 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a-b+c=0，求出a-2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=-2a，得出8a+c＞0． 【详解】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：． ①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1， ∴．∴b+2a=0．故命题①错误． ②∵a＞0，，∴b＜0． 又c＜0，∴abc＞0．故命题②错误． ③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c． ∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0．∴﹣4b+4c=﹣4a． ∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0．故命题③正确． ④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0． 由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0．故命题④正确． ∴正确的命题为：①③三个． 故选B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____． 【答案】． 【解析】 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率． 【详解】由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的， 所以指针指向每个扇形的可能性相等， 即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果， 所以指针落在红色区域的概率是； 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 14. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 【答案】8 【解析】 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 15. 如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于______海里. 【答案】 【解析】 【详解】解：设BD为x， 因为C位于北偏东30°， 所以∠BCD＝30° 在RT△BCD中，BD＝x，CD＝， 在RT△ADC中，AB＝20，AD＝20＋x， 又∵∠CAD＝30°， ∴△ADC∽△CDB， 所以， 即：， 求出x＝10， 故CD＝. 故答案为：． 16. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 125(1−x)2=80 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去) 故答案为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键． 17. 已知，，是函数图象上的三点，且，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由即可推出． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵，，是函数图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 【答案】． 【解析】 【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】过点作，，垂足为、， 由折叠得：是正方形，， ，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得， ， 解得：， ∵，， ∴∽， ∴， 设，则，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：. 【答案】x=-1或x=0.5. 【解析】 【分析】移项后提取公因式x+1后求解可得 【详解】∵2x(x+1)=x+1. ∴2x（x+1）-（x+1）=0， （x+1）（2x-1）=0， 则x+1=0或2x-1=0， 解得：x=-1或x=0.5. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 20. 计算：2sin60°•tan30°+cos230°﹣tan45°． 【答案】． 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可求值． 【详解】解：2sin60°•tan30°+cos230°﹣tan45° ＝2××+（）2﹣1 ＝1+﹣1 ＝． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，解题的关键是熟练掌握60°，30°，45°的三角函数值． 21. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】的长为 【解析】 【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， 在中，， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴（）， 即的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 23. 学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （3）补全条形统计图； （4）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）72；40 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，列举法求概率等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用A等级的人数及百分比求出总人数； （2）根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；根据C等级的人数除以总人数得到C等级所占百分比，从而求得的值； （3）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可； （4）先利用列表法求出总数，再利用概率公式求概率． 【小问1详解】 由表可知，A等级的人数为3人，占比， 参加比赛的学生人数共有名． 故答案为：20． 【小问2详解】 ． 在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为． C等级占比，所以． 故答案为：72；40． 【小问3详解】 B等级人数为人． 补全条形统计图如图所示： 【小问4详解】 由题知，A等级中男生有1名，女生有2名，根据题意，列出表格如下： 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰好是一男一女的概率为． 24. 清华美女杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，每天获得的利润3000元？ （3）再问一下，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； （3）当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，最大值为4000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意得到利润为，根据每天获得的利润3000元得到一元二次方程，解方程即可； （3）设利润为，根据题意可得，即，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为； 将代入得： 解得 y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意可得，利润为， 则， 解得 答：当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； 【小问3详解】 设利润为，则， 即 ，开口向下 当时， 当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，最大值为4000元． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由 【答案】（1）y1=-x-2，；（2）6；（3）（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；再将点B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，然后运用待定系数法确定一次函数解析即可； （2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，再运用三角形的面积公式求解即可； （3）分PA=PO、PA=AO、PO=OA三种情况，分别建立方程分别求解即可． 【详解】解：（1）∵A（-4,2）， ∴将点A坐标代入反比例函数解析式可得：m=-8 ∴该反比例函数的解析式为， 将点B的坐标代入，可得n=-4 ∴点B的坐标（2，-4） 将A与B坐标代入一次函数解析式中，可得： ，解得： ∴一次函数解析式为y1=-x-2； （2）当-x-2=0时，解得x=-2， ∴直线AB与x轴的交点为（-2,0） ∵点A（-4,2）、点B（2，-4）， ∴△AOB的面积为：； （3）设点P（m，0）， ∵点A、O的坐标分别为：（-4,2）、（0，0） ∴AO2= =20, PO2== m2， PA2==m2+20+8m， 当AO=PO时，有20=m2，解得：m=； 当PA=OA时，m2+20+8m=20，解得：m=-8或m=0（不合题图舍去） 当PA=PO时，有m2+20+8m= m2，解得：m=-2.5， 综上点P的坐标为：（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）时，△PAO为等腰三角形 【点睛】本题主要考查了待走系数法求函数解析式、两点间的距离公式、三角形的面积公式、等腰三角形的定义等知识点，掌握数形结合思想和待定系数法成为解答本题的关键． 26. 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD， ∴AB⊥BC，PA=PC. ∵PE⊥AB，BC⊥AB， ∴PE∥BC. ∴∠APE=∠PCF. ∵PF⊥BC，AB⊥BC， ∴PF∥AB. ∴∠PAE=∠CPF. ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）. ∴PE=CF. 在Rt△PCF中，， ∴； （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. 由（1）知，， ∴. （3）变化.证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB. ∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN. ∴△APM∽△PCN. ∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，， ∴. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. ∴的值发生变化. 27. 如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°． 如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1； 如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=． 综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形； （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）． 将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）． （4）如图④所示： 设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）． ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点M的坐标为（1，4）． ∴MB=． 当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0， △=32-4×1×3＜0，无解： 当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=． ∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022长清三中第一学期期末复习九年级数学通关试卷（时间：120分钟，满分：150） 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （﹣2，1） D. （﹣1，﹣2） 3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( ) A. B. C. D. 5. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 6. 如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C，D出口离开的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( ) A. x1＝－3，x2＝0 B. x1＝3，x2＝－1 C. x＝－3 D. x1＝－3，x2＝1 8. 函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 10. 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 11. 如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为，在A点测得D点的仰角为，在B点测得D点的仰角为，则乙建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____． 14. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 15. 如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于______海里. 16. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 17. 已知，，是函数图象上的三点，且，则，，的大小关系是______． 18. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：. 20. 计算：2sin60°•tan30°+cos230°﹣tan45°． 21. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数） 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 23. 学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （3）补全条形统计图； （4）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 24. 清华美女杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，每天获得的利润3000元？ （3）再问一下，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由 26. 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 27. 如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $