6—8 利用相似三角形测高 相似三角形的性质 图形的位似 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

6—8 利用相似三角形测高 相似三角形的性质 图形的位似 一、利用相似三角形测高 （1）利用阳光下的影子测高：太阳光可近似看作平行光线，同一时刻物高与影长成正比例。通过测量同一时刻观测者身高、观测者影长及旗杆影长，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，进而求出旗杆高度。。 （2）利用标杆测高：观测者的眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶端必须“三点共线”，且标杆与地面垂直。测量观测者眼睛离地面的高度、观测者到标杆底端的距离、观测者到旗杆底端的距离以及标杆的高度，通过相似三角形对应边成比例的关系求解旗杆高度。 （3）利用镜子的反射测高：根据物理学中“反射角等于入射角”的知识，入射光线和反射光线与镜面的夹角相等。在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，观测者移动位置直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量观测者眼睛离地面的高度、观测者到镜子的距离、镜子到旗杆底端的距离，利用相似三角形对应边成比例求出旗杆高度。 二、相似三角形的性质 （1）对应角相等：相似三角形中，每一组对应的内角都相等。 （2）对应边成比例：相似三角形对应边的比值相等，这个比值称为相似比。 （3）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比：在相似三角形中，对应的高、中线、角平分线的长度之比与相似比相同。 （4）周长的比等于相似比：相似三角形的周长之比等于它们的相似比。 面积的比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 三、图形的位似 （1）位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′ = k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k叫做相似比。位似中心可能在两个图形之间、同一侧、图形上或图形内部。 （2）位似多边形的性质：位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；任意一组对应点所在的直线都相交于同一点，该点即位似中心；对应边互相平行或在同一直线上。 （3）位似图形的画法：确定位似中心，找出原图形的关键点（通常是多边形的顶点）；分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（相似比不等于1时，所作图形一般有两种情况）；根据已知的相似比，确定所画新图形中关键点的位置；顺次连接各关键点，即可得到所求作的图形。 （4）平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。当k > 0时，位似图形与原图形在位似中心的同侧；当k < 0时，位似图形与原图形在位似中心的两侧。 巩固课内例1:旗杆影长问题 1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 【答案】C 【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可． 【详解】 如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米， 同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似， 即 ， 代入得： 解得：树高= 6米． 故选：C． 【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般． 2．雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为 ． 【答案】15米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用. 利用相似三角形对应线段成比例解题，因为人和旗杆均垂直于地面，所以平行，构成两个相似三角形． 【详解】解：假设旗杆高x米，则， ∴x=15． 3．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，，即得，，再根据可得，即得，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 巩固课内例2:《海岛算经》问题 1．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出． 【详解】解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度． ，，， ，， ，， 即， 解得，， 故． 故选：D． 2．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 3．三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 【答案】古塔的高度为82米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 巩固课内例3:相似三角形的性质——高之比 1．已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　） A．和的周长比是 B．边和边上的高之比是 C．和的面积比是 D．边和边上的中线之比是 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比以及周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：和的周长比是，故选项A符合题意； 边和边上的高之比是，故选项B不符合题意； 和的面积比是，故选项C不符合题意； 和边上的中线之比是，故选项D不符合题意． 故选：A． 2．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的对应中线之比等于． 故答案为：． 3．在△ABC中，AB＝4，BC＝8，则△ABC的高AD和CE之比是多少？ 【答案】1：2． : 【分析】根据三角形的面积公式得到AD•BC＝CE•AB，从而得到． 【详解】∵S△ABC＝AD•BC＝CE•AB， ∴， 答：△ABC的高AD和CE之比是1：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 巩固课内例4:相似三角形重叠阴影面积问题 1．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：沿边平移到的位置， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 过点作，交于点，由等边三角形的性质和含角的直角三角形，可得，，继而可求出，即，再由判定是等边三角形，进而求出，再根据中线的性质得出，进而根据两个三角形重叠部分面积为得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是边长为4的等边上的高， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边上的高， ∴，， ∴， , 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴，同理， ∴两个三角形重叠部分面积为， 故答案为：． 3．如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 由平移的性质可得四边形是矩形，，，由此可证得，，于是可得，，进而可得，于是可证得矩形矩形，由题意可得，于是得解． 【详解】解：由平移的性质可得： 四边形是矩形，，， ，， ，， ， 矩形矩形， 由题意可得：， ，即：． 巩固课内例5:画位似图形 1．如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ， ， ， ， 的周长的周长 的周长为6， 的周长为24． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据位似图形与坐标性质计算即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：2缩小， 则变换后的点的坐标为或，即或， 故答案为：或 3．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)在y轴上确定一个点P，使的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ___________． (2)画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为，并写出所画图中点的坐标（只需画出一个满足题意的即可）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称）以及位似图形的画法，解题的关键是掌握轴对称的性质和位似图形的定义与画法． （1）利用轴对称性质找到点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理求的最小值； （2）在第四象限画出 ，把点、、 的横纵坐标都乘以 得到、、 的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，点为所作； 的最小值是， 故答案为：； （2）解：如图，为所作，点的坐标为． 巩固课内例6:求出位似图形的位似比 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 2．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先求出，再根据位似图形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即， 故答案为：． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 【答案】(1)画图见解析，，，，，，； (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，位似图形的性质； （1）分别确定的三个顶点的位似对应点，再顺次连接即可，再根据点的位置可得其坐标； （2）根据位似图形的性质可得答案. 【详解】（1）解：如图，，即为所求； ； ∴，，，，，； （2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． ∴； 类型一、相似三角形的性质——角平分线之比 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质． 2．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是， 故答案为：． 3．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 类型二、相似三角形的性质——中线之比 1．如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的对应中线的比为， 故选：B． 2．如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的对应中线之比等于． 故答案为：． 3．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型三、位似图形 1．方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 2．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 3．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 类型四、位似中心 1．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 3．已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）对应点连线的交点P即为所求的旋转中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P的坐标为 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 类型一、相似三角形的性质——周长之比 1．将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 2．已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，位似比是， ∴与相似，相似比是， ∴与的周长比为， ∵的周长是12， ∴周长为8； 故答案为：8． 3．如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，由位似图形的性质可得，，且相似比，再由得到，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比， ， ， ． 类型二、相似三角形的性质——面积之比 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， 故选：D． 2．如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与四边形的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定．解题的关键是掌握正方形的四边相等，对边平行，相似三角形面积比等于相似比的平方． 根据正方形的性质得出，，则，进而得出，，，设，则，，，即可解答． 【详解】解：∵正方形，F是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于 (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，得到根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ∽， 类型三、利用相似求坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 2．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点．将矩形沿着对角线折叠，使得点落在点处．已知点的坐标为，的长度为，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理可求出的值，再根据全等三角形的判定，设，根据勾股定理可得的值，过点作轴于点，运用相似三角形的判定可得，结合相似三角形的性质可求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∵四边形是矩形，对角线交于点， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，，即，则， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴负半轴上，点在第四象限， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）已知直线交轴于点，根据函数图象上的点的坐标满足函数方程，代入点求解即可． （2）设，根据轴，从而表示出，由，轴，进一步推导出证的条件，利用相似三角形的性质求出的值，进而求出点的坐标． （3）过点作于点，过点作于点，易证和为等腰直角三角形，设，由勾股定理得，，解得，即，利用两点间的距离关系表示出，根据勾股定理得，再根据以及，构造三角形，由相似三角形的性质得， 即，解关于的方程即可． 【详解】（1）交轴于点， ， 解得， 故的值为． （2）由（1）知，则 设， 轴， 点横坐标为， 把代入， 得， ，， ， 又， ， ， 由，可知，， ， 解得， 当时，，， 当时，，， 综上，点的坐标为或 （3）如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ，，， 轴轴， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得，， 即， 解得，即， ，， ， ， 即， ， ， ， 即， 解得， 点位于第四象限， 故的值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及两点间的距离公式，本题的综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是利用数形结合的思想，通过添加辅助线证明三角形相似． 类型一、小孔成像问题 1．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 2．小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 3．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【答案】小孔到的距离为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明得到，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为． 类型二、相似三角形的实际应用 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 2．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    【答案】9 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9．    3．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 类型三、新定义问题 1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 2．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 故答案为：；或． 3．模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、如图 求证：； （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，，，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，，，连接，，，，直接写出的长度为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）可得出，，从而； 将绕点A逆时针旋转的度数至，连接，从而得出，，由（1）知，∽，从而，，从而得出，，进一步得出结果； 将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X，从而得出，，，，进而得出，从而，解三角形得出结果． 【详解】证明：， ， ， 绕点A逆时针旋转某个角度得， ，，， ，， ， ∴； 如图1，将绕点A逆时针旋转的度数至，连接， ，，，， ∵， ∴， ∴∽， ， ， ∵ ， ， ， ； 如图2，将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X， ，，， ∴ ， ， ， ， ， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线，构造相似三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6—8 利用相似三角形测高 相似三角形的性质 图形的位似 一、利用相似三角形测高 （1）利用阳光下的影子测高：太阳光可近似看作平行光线，同一时刻物高与影长成正比例。通过测量同一时刻观测者身高、观测者影长及旗杆影长，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，进而求出旗杆高度。。 （2）利用标杆测高：观测者的眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶端必须“三点共线”，且标杆与地面垂直。测量观测者眼睛离地面的高度、观测者到标杆底端的距离、观测者到旗杆底端的距离以及标杆的高度，通过相似三角形对应边成比例的关系求解旗杆高度。 （3）利用镜子的反射测高：根据物理学中“反射角等于入射角”的知识，入射光线和反射光线与镜面的夹角相等。在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，观测者移动位置直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量观测者眼睛离地面的高度、观测者到镜子的距离、镜子到旗杆底端的距离，利用相似三角形对应边成比例求出旗杆高度。 二、相似三角形的性质 （1）对应角相等：相似三角形中，每一组对应的内角都相等。 （2）对应边成比例：相似三角形对应边的比值相等，这个比值称为相似比。 （3）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比：在相似三角形中，对应的高、中线、角平分线的长度之比与相似比相同。 （4）周长的比等于相似比：相似三角形的周长之比等于它们的相似比。 面积的比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 三、图形的位似 （1）位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′ = k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k叫做相似比。位似中心可能在两个图形之间、同一侧、图形上或图形内部。 （2）位似多边形的性质：位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；任意一组对应点所在的直线都相交于同一点，该点即位似中心；对应边互相平行或在同一直线上。 （3）位似图形的画法：确定位似中心，找出原图形的关键点（通常是多边形的顶点）；分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（相似比不等于1时，所作图形一般有两种情况）；根据已知的相似比，确定所画新图形中关键点的位置；顺次连接各关键点，即可得到所求作的图形。 （4）平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。当k > 0时，位似图形与原图形在位似中心的同侧；当k < 0时，位似图形与原图形在位似中心的两侧。 巩固课内例1:旗杆影长问题 1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 2．雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为 ． 3．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 巩固课内例2:《海岛算经》问题 1．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 2．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 3．三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 巩固课内例3:相似三角形的性质——高之比 1．已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　） A．和的周长比是 B．边和边上的高之比是 C．和的面积比是 D．边和边上的中线之比是 2．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 3．在△ABC中，AB＝4，BC＝8，则△ABC的高AD和CE之比是多少？ 巩固课内例4:相似三角形重叠阴影面积问题 1．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A．1 B．3 C． D． 2．如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 3．如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 巩固课内例5:画位似图形 1．如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．24 D．30 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 3．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)在y轴上确定一个点P，使的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ___________． (2)画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为，并写出所画图中点的坐标（只需画出一个满足题意的即可）． 巩固课内例6:求出位似图形的位似比 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 类型一、相似三角形的性质——角平分线之比 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 2．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 3．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 类型二、相似三角形的性质——中线之比 1．如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A． B． C． D． 2．如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 3．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 类型三、位似图形 1．方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 2．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 3．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 类型四、位似中心 1．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 2．如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    3．已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 类型一、相似三角形的性质——周长之比 1．将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 2．已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是 ． 3．如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 类型二、相似三角形的性质——面积之比 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与四边形的面积之比是 ． 3．如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于 (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 类型三、利用相似求坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点．将矩形沿着对角线折叠，使得点落在点处．已知点的坐标为，的长度为，则点的纵坐标为 ． 3．已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 类型一、小孔成像问题 1．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 2．小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 3．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 类型二、相似三角形的实际应用 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 2．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    3．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 类型三、新定义问题 1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 3．模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、如图 求证：； （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，，，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，，，连接，，，，直接写出的长度为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $