第四章 图形的相似 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第四章 图形的相似 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 2．下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 3．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，E为边上的点，，、交于点，的面积为9，则的面积为（   ） A．80 B．60 C．50 D．40 8.在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9．已知，则 ． 10．学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 11．如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 13．如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 15．已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 16．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置并写出点的坐标 ． (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的位似比为． (3)直接写出（2）中点的坐标 ． 17．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接是的中点． (1)实践与操作：利用尺规作出，交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 18．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)若点C为直线上第二象限的点，且，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 19．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 20．如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． (1)线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； (2)当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边的中点落在的边上时，求的值． (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的相似 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，解题的关键是理解位似变换的定义和特征．结合平移、轴对称、位似、旋转变换的定义，根据皮影戏中实物与影子的形成原理，判断变换类型． 【详解】解：平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系； 轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合； 旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合； 位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义． 综上，实物与其影子之间的变换是位似变换， 故选C． 2．下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【答案】C 【详解】解：A．，成比例； B．，成比例； C．，不成比例； D．，成比例． 故选：C． 3．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 4．四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的性质．根据位似多边形的面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：C． 5．如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，E为边上的点，，、交于点，的面积为9，则的面积为（   ） A．80 B．60 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积的计算，由平行四边形的性质得出，，证明，由相似三角形的性质得出，，根据，推出，再由的面积为9，得，，，求出平行四边形的面积为，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：A． 8.在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，重点考查对比例基本性质的理解与运用。 根据比例的基本性质，将已知等式变形为比例式，从而求出的值。 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 【答案】3.8 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据黄金分割的比例关系为是解决本题的关键 ． 设出他的位置离点，再根据黄金比例关系求解即可 ． 【详解】解：设他的位置离点， ∵学校报告厅舞台的宽为， 由题意可得， 解得， ∴他选择的位置离点至少． 故答案为： ． 11．如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故，即， ， 故答案为：． 13．如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴． 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则原式． （2）解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 15．已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 16．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置并写出点的坐标 ． (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的位似比为． (3)直接写出（2）中点的坐标 ． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)或 【分析】（1）根据位似的定义和性质，连接，，线段，的交点即为位似中心； （2）与的位似比为，位似中心是，延长，反向延长，延长，反向延长，根据位似比即可求解； （3）根据作图即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，连接，，线段，交与点， ∴点即为所求位似中心， ∴点的坐标为， 故答案为：． （2）解：位似比为，位似中心为点，如图所示，延长，反向延长，使得，，延长，反向延长，使得，， ∴与均为所求图形． （3）解：由（2）作图可知， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中作位似图形，求点的坐标，掌握位似的定义和性质是解题的关键． 17．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接是的中点． (1)实践与操作：利用尺规作出，交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)图见解析 (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质及判定以及尺规作图，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理和平行四边形对边平行且相等的性质． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法，作出与相等的角，从而得到； （2）先证明，得到，结合是的中点，从而证明，结合平行四边形对边相等的性质，推导与的数量关系． 【详解】（1）以为顶点，用尺规作，所作射线交于，则（同位角相等，两直线平行）， （2）解：猜想：． 证明： ， ， 由（1），又， ， ， 是的中点，， ， ， 是平行四边形， ， ． 18．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)若点C为直线上第二象限的点，且，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点或 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）先判断出，得出，再求出，代入即可得出结论； （2）先判断出点A与点B是对应点，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴交x轴于D， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，则， ∵点C为直线上第二象限的点， ∴； （2）解：直线上是存在点Q，使得与相似， 如图7， 由（1）知，， ∴， ∴， 当点Q在射线上时，， ∴与不可能相似； 当点Q在的延长线上时， 设， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∵与相似， ∴①， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ②， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 即：满足条件的点或． 19．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 【答案】【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）；（2）6 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质是解题的关键． 【教材呈现】根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可解答； 【结论应用】（1）由【教材呈现】可得 ，然后由勾股定理可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得点O为的中点，，再由【教材呈现】可得，，从而得到，即可求解． 【详解】【教材呈现】证明：连结， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论应用】（1）∵为矩形， ∴， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点，， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，，即，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴． 20．如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． (1)线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； (2)当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边的中点落在的边上时，求的值． (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2) (3)或6 (4)4或或1或7 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）分别求出当点M落在上时；当点M落在上时，t的值，即可求解； （3）分两种情况：当的中点F落在边上时，当的中点F落在边上时，即可求解； （4）分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10；； （2）解：当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形，过点Q作于点G，过点P作于点K， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为； （3）解：当的中点F落在边上时，如图，过点Q作于点G，过点Q作于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵F是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当的中点落在边上时，如图，过点Q作于点E，过点N作于点T，过点M作，交的延长线于点R，交的延长线于点H，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或6； （4）解：当时，点在上，此时，点M落在上， 由（2）得：； 当时，与的交点为O，过点Q作于点E， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，当时，过点Q作于点E，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点Q作于点E，延长至点K，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴所在的直线平分， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为4或或1或7． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，对称的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $