精品解析：湖北省部分学校2025-2026学年高三上学期九月测试数学试题

2026届普通高等学校招生全国统一模拟考试 数 学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则可能的取值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ） A. 17.1 B. 8.4 C. 6.6 D. 3.6 5. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，在以、为球心，为半径的两个球在正方体内的公共部分所构成的几何体中，被平行于平面的平面所截得的截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的重心坐标为 C. 若，则 D. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为 10. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 11. 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ） A. B. 以为直径的圆与直线相切 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 13. 已知，则的解集为______. 14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8． （1）①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率； ②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率． （2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升．改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）． 就餐满意程度 A餐厅改造提升情况 合计 改造提升前 改造提升后 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计 40 60 100 根据以上数据，是否有的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求前n项和． 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：四边形为正方形； （2）求体对角线的长度； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 已知. （1）当时，讨论在上的单调性； （2）若在上为单调递增函数，求的取值范围. 19. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射） （1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． （2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高等学校招生全国统一模拟考试 数 学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算、复数的模的运算即可求解． 【详解】由题得复数，则. 故选：C． 2. 已知，则可能的取值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，得到得情况，即可得到答案. 【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得， 所以为或或； 当时，由知，， 所以为或； 当，则，所以为综上，共有8种取值． 故选：D． 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 4. 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ） A. 17.1 B. 8.4 C. 6.6 D. 3.6 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由已知可得. 故选：D 5. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，然后根据题意得到，再根据函数在上单调和正弦函数的图像得到，解之即可. 【详解】因为， 由已知条件时取得最大值，有，即． 又由已知得，于是， 由于，故在．所以函数， 因为，所以， 因为在上单调，所以， 解得，故． 故选：D． 6. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B 7. 已知正方体的棱长为，在以、为球心，为半径的两个球在正方体内的公共部分所构成的几何体中，被平行于平面的平面所截得的截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为两个半径相等的球相交部分是两个球缺拼接而成，又正方体中平面，所以截面是以为球心，为半径的球中与垂直的截面圆，根据对称性找到截面圆半径最大时候，进而求解即可. 【详解】如图，因为两个半径相等的球相交部分是两个球缺拼接而成，又正方体中平面，所以题目所求截面， 由于球的截面是圆，所以令截面是以为圆心且与垂直的截面圆， 如后图所示，当圆心是中点时，圆半径最大，即截面面积最大. 令截面圆半径，球半径，由正方体中棱长为，则， 所以，截面圆面积为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：球的定义，球截面圆的定义，正方体性质是基础，空间想象力是突破关键. 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的重心坐标为 C. 若，则 D. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据新定义判断A，由新定义得出三点坐标，再由重心坐标公式判断B，根据向量的数量积是否等于0判断C，由向量的夹角公式判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，，所以, 所以，即，故B正确； 因为，，所以， 所以错误，故C错误； 因为，，所以， 故面直线AP与BC所成角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 10. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列递推公式以及首项，可得第二项，可得A的正误；根据题意整理，可得B的正误；根据等比数列的定义，由递推公式整理，可得C的正误；由C得也是等比数列，求出的通项公式，利用作差法，可得D的正误. 【详解】由，， 则，故A正确； 由， 则显然非常数，故B错误； 由， 又，则， 则数列是以5为首项，以5为公比的等比数列，故C正确； 由C可得也是以5为首项，以5为公比的等比数列， 故，即， 由， 则，故D正确. 故选:ACD. 11. 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ） A. B. 以为直径的圆与直线相切 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解. 【详解】对于A，令， 联立，消可得， 则，， ， 则 故， 同理，故A正确； 对于C，设与轴交于，， 则，，故C正确； 对于D， 则 ， 而， 所以，故D正确； 对于B，中点，即 则到直线的距离， 以为直径的圆的半径， 所以， 当时相切，当时不相切，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 【答案】9 【解析】 【分析】根据分步分类结合组合数计算求解. 【详解】某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种． 故答案为：9. 13. 已知，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【详解】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将解析式变形为，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可. 【详解】 ， 令，， 因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即． 又，， 所以 ， 当且仅当，，即，，等号成立． 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到，从而利用“1”的妙用得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8． （1）①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率； ②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率． （2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升．改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）． 就餐满意程度 A餐厅改造提升情况 合计 改造提升前 改造提升后 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计 40 60 100 根据以上数据，是否有的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）①；② （2）有的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联 【解析】 【分析】（1）设出事件，再用全概率公式即可求解； （2）提出零假设后算出，与表中数据对比即可求解. 【小问1详解】 设事件：第i天去A餐厅用餐，事件：第i天去B餐厅用餐，其中． ①王同学第2天去A餐厅用餐的概率为： ． ②如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为： ． 【小问2详解】 提出零假设：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联． ， 故不接受零假设，即有的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联． 16. 已知为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式运算求解；（2）先根据前n项和与通项之间的关系求得，可得为等比数列，利用等比数列的前n项和公式运算求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，则，即， ∴， 故数列的通项公式. 【小问2详解】 ∵， 当时，则； 当时，则， 两式相减得，则； 综上所述：. 又∵，故数列是以首项，公比的等比数列， ∴数列的前n项和. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：四边形为正方形； （2）求体对角线的长度； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量相等证明四边形为平行四边形，再证明邻边垂直即可得证； （2）利用空间向量的数量积计算模长即可； （3）利用空间向量的数量积求夹角即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，而不共线，所以四边形为平行四边形， 又， 所以，即，所以四边形为正方形； 【小问2详解】 由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以，即； 【小问3详解】 因为，， 所以 ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知. （1）当时，讨论在上的单调性； （2）若在上为单调递增函数，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，结合三角函数的性质即可的在单调递增，又，即可求解. （2）将单调性转化为导函数恒为正，求导，结合分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 时， 令则，所以在单调递增， 又， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 在上为单调递增函数，在上恒成立， 令， ①当时，,所以， 又（1），所以，符合题意； ②当时，， 若，则，，所 又，， 在上单调递增， 故，符合题意； （ii）若，令则， 在上单调递增， 又， 存在，使得， 故当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，不符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射） （1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． （2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 【答案】（1）为双曲线的一部分，解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，化简、整理即可得解； （2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可. 【小问1详解】 设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为， 则，， 由题意得，得，化简得， ，．令，得， 为双曲线的一部分，解析式为； 【小问2详解】 由题意知． 设，，，， 则，，， ，，， 易知，，得，， 即，． 将点的坐标代入，得， 化简整理得． 同理可得， 与为方程的两个解， ． 由题知，，解得， 点的坐标可能为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $