第4章 平面直角坐标系 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第4章 平面直角坐标系4.1点的位置与坐标系 第1课时 认识平面直角坐标系 提优点：1.会正确画出平面直角坐标系，并能够根据点的坐标找到点的位置，由点的位置写出点的坐标；2.掌握平面直角坐标系内不同象限点的坐标特征，并会熟练运用. 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度 1.(2025·泰州期末)在平面直角坐标系中，点P(-1,m²+1)位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2023·大庆中考)已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是 ( ) A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b) 3.(2025·连云港期末)如图,在平面直角坐标系xOy中，直线l₁过点(3，0)且平行于y轴,直线l₂过点(0,-4)且平行于x轴，点P 的坐标为(a，b)，根据图中点P 的位置，下列结论正确的是 ( ) A. a<-4,b>3 B.0<a<3,b<3 C. a>3,b<-4 D. a>3,-4<b<0 4.若第四象限内的点 P(x，y)满足| 25,则点 P 的坐标是 . 5. (1) 若点 P (m-2, m+1)在x轴上,则m= ; (2)(扬州中考)在平面直角坐标系中，若点P(1-m,5-2m)在第二象限,则整数 m 的值为 . 6.(1)(攀枝花中考改编)若点A(-a,b)在第一象限,则点 B(a,b)在第 象限; (2)(广安中考)若点 P(m+1,m)在第四象限,则点 Q(-3,m+2)在第 象限. 7.教材变式(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列 4 个点并顺次连接：A(0，2)，B(-1,0),C(5,0),D(3,4); (2)求(1)中四边形ABCD 的面积. 第2关练准确率⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5题为准，你做对题 8.在平面直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取 OA,OB,使OA=OB,再分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径作弧，两弧交于第二象限的点 N，若点 N的坐标为(2-n,2n-6),则n的值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.(2025·福州期中)在平面直角坐标系中，点A(2+a,0),点B(2-a,0),点C(2,1),且A在B的右侧,连接AC,BC,若在AB,BC,AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数的点的个数为4，则a的取值范围为() A.0<a≤1 B.1≤a<2 C.1<a≤2 D.1≤a≤2 10. 一题多变 (1)已知点A 的坐标为(n+3,3),点B的坐标为(n-4,n),AB∥x轴,则线段AB= . (2)在平面直角坐标系中,点A(-3,2),B(3,4),C(x,y),若AC∥y轴,则线段BC的最小值为 . 11.(贵港中考改编)在平面直角坐标系中，点P(m-3,4-2m)不可能在第 象限. 12.(2024·汕头期中)如图，在平面直角坐标系中,AB ∥EG∥x 轴, BC ∥DE∥HG∥AP∥y轴,点D,C,P,H在x轴上,A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),把一条长为2 024个单位长度且没有弹性的细线(粗细忽略不计)的一端固定在点A 处,并按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 . 13.已知点 P(2m+4,m-1).试分别根据下列条件，求出点 P 的坐标. (1)点P在y轴上; (2)点 P在x轴上; (3)点 P到x轴、y轴的距离相等； (4)点 P 在过点A(2,-3),且与x轴平行的直线上； (5)点A 的坐标为(m-4,m),且 PA与y轴平行. 第3关练思维宽度 14.(2024·无锡校级月考)阅读下列一段文字，然后回答问题. 已知平面内两点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则这两点间的距离可用下列公式计算： 例如：已知P(3,1),Q(1,-2),则这两点间的距离 特别地，如果两点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为 或 (1)已知A(1,2),B(-2,-3),试求A,B 两点间的距离. (2)已知A，B在平行于x轴的同一条直线上，点A 的横坐标为5，点B 的横坐标为-1，试求A，B两点间的距离. (3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4),B(-1,2),C(4,2),你能判定△ABC 的形状吗?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 建立合适的平面直角坐标系 提优点：1.建立适当的平面直角坐标系表示点的位置；2.实际问题数学化，用平面直角坐标系解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度 1.小明家位于公园的正东200 m处，从小明家出发向北走300 m就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m 长，则公园的坐标是 ( ) A.(-300,-200) B.(200,300) C.(-200,-300) D.(300,200) 2.(金华中考)如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是 ( ) A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校 3.在平面直角坐标系中,A,B,C,D,M,N的位置如图所示,若点 M 的坐标为(-2,0),点N 的坐标为(2，0)，则在第二象限内的点是() A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 4.在方格纸上有A，B两点，若以点B 为原点建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(2，5).若以点 A 为原点建立平面直角坐标系，则点 B的坐标为 . 5.(2024·南昌校级月考)小明和小颖下棋，小明执圆子，小颖执方子.如图，棋盘中心方子的位置用(0，-1)表示，右上角方子的位置用(1，0)表 示.小明将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置可以表示为 . 6.(2025·咸阳期中)你玩过五子棋吗?它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的5个同色棋子先成一条直线就算胜.如图是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为(-3,-2),黑棋②的坐标为(-1,0). (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，请写出这一步黑棋的坐标. 第2关 练准确率 7. 如图,在正方形OABC中,点A 的坐标是(-3,1),则点 C的坐标是 ( ) A.(1,3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,1) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A在x轴正半轴上，顶点 C在y轴正半轴上,点 B(8,6),将△OCE 沿 OE 折叠,使点 C恰好落在对角线 OB 上的 D 处，则点 E 的坐标为 ( ) A.(3,6) B. ( ,6) c. ( ,6)D.(1,6) 9.如图，在平面上取定一点O 称为极点.从点 O出发引一条射线 Ox 称为极轴.线段 OP 的长度称为极径.点P 的极坐标就可以用线段 OP的长度以及从 Ox转动到 OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°) 3或P(3,-300°)或P(3,420°)等,则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标可以表示为 . 10.如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中,顶点A 的坐标为(3,0),点 P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2 025 次后，点 P 的坐标为 . 11.在某河流的北岸有A，B两个村子，A村距河北岸的距离为 1 千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，B在A 的右边，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上(单位：千米). (1)请在图中建立平面直角坐标系，并描出A，B两村的位置，写出其坐标.(图中每个小正方形的边长代表1千米) (2)A，B两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置?在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度. 第 关练思维宽度 12.(2024·南通期末)如图,在长方形OABC中,O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(a,0),点 C 的坐标为(0,b),且a,b满足 点 B 在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O 的线路移动. (1)点B 的坐标为 ;当点 P 移动3.5秒时,点 P 的坐标为 . (2)在移动过程中，当点 P 到x轴的距离为4个单位长度时，求点 P 移动的时间. (3)在移动过程中，当△OBP 的面积是10时，求点 P 移动的时间. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第1 课时 平移与坐标变化 提优点：掌握平移和点的坐标变化之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 1关练速度4.2图形变换与坐标变换 1.(2024·海南中考)平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A'(2，1)，则点A的坐标是 ( ) A.(5,1) B.(2,4) C.(-1,1) D.(2,-2) 2.(温州中考)如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为(-1,0),(0, ).现将该三角板向右平移使点A 与点 O 重合,得到△OCB',则点 B的对应点 B'的坐标是 ( ) A.(1,0) C.(1, D.(-1, 3.(1)(2024·江西中考)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点 B，则点 B 的坐标标为 ； (2)在平面直角坐标系中，把点 P 先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点 Q 的坐标是(-2,3),则点 P 的坐标为 . 4.(2023·黄石中考)如图,已知点A(1,0),B(4,m),若将线段AB平移至 CD,其中点 C(-2,1),D(a,n),则m-n的值为 . 5.(2025·南京期末)如图,在8×8的网格中,每个小正方形的边长都为1个单位长度. (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点 B 的坐标为(-2,0),点 C 的坐标为(3,0),则点A的坐标为 ； (2)将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A'B'C'； (3)在(1),(2)的条件下,若线段AC 上有一点 P(m，n)，则平移后的对应点 P'的坐为 . 第2关练准确率3题为准，你做对题 6.(2025·马鞍山期中)若实数 m 和 n 都是整数,m<0,n>2,将A(2m-4,n-3)向右平移10个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点 B.若B 点位于第四象限，则点 C(m，n)的可能位置有 ( ) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7.如图,在△OAB中,已知OA=OB=4,∠AOB=120°.点 C 为OB 的中点,过点 C 作 CD⊥y轴,垂足为 D.将△OCD 向右平移，当点 C 的对应点 C'落在AB 边上时，点D 的对应点 D'的坐标为 ( ) A.(2, )B.(2, ) C.(3, ) D.(3, 8.(2024·大连模拟)如图，已知点A 的坐标为(-1,3),点 B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△DEF，若平行四边形AEFB 的面积为6,则点 E 的坐标为 . 9.如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：先把每个点的横、纵坐标都乘 ，再将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度(m>0,n>0),得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'.已知正方形 ABCD 内部的一点 F 经过上述操作后得到的对应点 F'与点 F 重合，则点 F 的坐标是 . 第3关练思维宽度 10.(2024·重庆期末)阅读材料：对于平面直角坐标系xOy中的图形 G和图形 G上的任意一点 P(x,y),给出如下定义:将点 P(x,y)平 移到P'(x+a,y-a)称为将点 P 进行“a型平移”，点P'称为将点 P 进行“a型平移”的对应点；将图形 G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”. 例如:将点 P(x,y)平移到 P'(x+1,y-1)称为将点 P 进行“1型平移”,将点 P(x,y)平移到P'(x-1,y+1)称为将点 P 进行“-1型平移”.已知点A(1,1)和点B(3,1). (1)将点A(1，1)进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为 ；将线段AB 进行“-1型平移”后得到线段A'B'，线段A'B'的中点坐标为 . (2)若线段 AB 进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围. (3)已知点 C(4,0),D(6,-2),将线段 CD 进行“1型平移”后得到的对应线段为 C'D'，在坐标轴上确定一点 M，使得 请写出所有符合条件的点 M 的坐标，并选择一种情况写出求解过程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提优点：掌握轴对称和点的坐标变化之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 第1关练速度第2课时 轴对称与坐标变化 1.(2023·湘西州中考)在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称,则a+b= ( ) A.-1 B.-3 C.1 D.3 2.点 P(a+2,2a-5)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是 ( ) A. a<-2 3.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(-2，1). (1)作点 P 关于x轴的对称点，得到点 P'，再作点 P'关于y轴的对称点，得到点 P"，则点 P'的坐标是 ，点P"的坐标是 ； (2)点P 关于原点对称的点的坐标是 4.(2025·济南校级月考)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E 的坐标为(-2，-n)，其关于y轴对称的点 F 的坐标为(2,-m+1),则( 5.(2025·北京期末)如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是点 . 6.如图是一个不完整的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1,△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，点A'是点A 的对称点. (1)请在图中画出缺少的y轴，并写出点 B 的坐标； (2)请在图中画出△A'B'C',并写出点 C'的坐标； (3)在上述的基础上，连接AA'，CC'，判断线段AA'与线段CC'是否关于x轴对称. 第2关练准确率 7.在平面直角坐标系中,A(a,b)(b≠0),B(m,n).若a-m=4,b+n=0,则下列结论正确的是 ( ) A.把点A 向左平移4个单位长度后，与点 B关于x轴对称 B.把点A 向右平移4个单位长度后，与点 B关于x轴对称 C.把点 A 向左平移4个单位长度后，与点 B关于y轴对称 D.把点A向右平移4个单位长度后，与点 B关于y轴对称 8.已知点B(1,0)与点 B'关于y轴对称,直线 m过点B(1,0)且与y轴平行,点 C(4,2)与点 C'关于直线m 对称，则B'C'的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9.新题型新定义在平面直角坐标系xOy 中，直线l为第一、三象限角平分线，点P 关于y轴的对称点称为 P 的一次反射点，记作P₁；P₁关于直线l的对称点称为点 P 的二次反射点，记作P₂.例如,点(-2,5)的一次反射点为(2,5),二次反射点为(5，2).根据定义，回答下列问题： (1)点(3，4)的一次反射点为 ，二次反射点为 ； (2)当点 A 在第三象限时,点 M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)中可以是点A 的二次反射点的是 ； (3)若点A 在第二象限，点A₁，A₂分别是点A的一次、二次反射点， 求射线OA 与x轴所夹锐角的度数. 第3关 练思维宽度 10.(2025·兰州期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点 M(m,n),过点(m,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=m，过点(0，n)且垂直于y轴的直线记为直线y=n.给出如下定义：将图形 G关于直线x=m对称得到图形G₁，再将图形 G₁关于直线y=n对称得到图形 G₂，则称图形 G₂是图形 G关于点 M 的双对称图形. (1)已知点 M 的坐标为(0,1),点 N(2,3)关于点 M 的 双 对 称 图 形 点 N₂ 的 坐标为 . (2)如图,△ABC 的顶点坐标是A(-2,3),B(-4,1),C(0,1). ①已知点M 的坐标是(1,-1),写出点A,B,C 关 于 M 的 双 对 称 图 形 点 的 坐 标A₂ ,C₂ ,B₂ ; ②已知点 M 的坐标为(1,-1),点 P(4,n),点Q(4,n+1),线段 PQ 关于点 M 的双对称图形线段 P₂Q₂位于△ABC 内部(不含三角形的边)，求n的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提优点：掌握在不同条件下点的坐标特征. 学科网（北京）股份有限公司 1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，3)，点 B 的坐标为(3，-3)，则线段AB的位置特征为 ( )第3 课时 点的运动规律的坐标表示 A.与x轴平行 B.与y轴平行 C.在第一、三象限的角平分线上 D.在第二、四象限的角平分线上 2.(2024·吕梁期末)点A 是第二象限角平分线上的一点,OA=2,则点A 的坐标为 () A.(-2,2) B.(-2, 3.(1)在平面直角坐标系中,点A(1,5),B(m-2,m+1),若直线AB与y轴垂直,则m的值为 ; (2)在平面直角坐标系中，已知点A(-5，2)，点 B到y轴的距离为3，若线段 AB 与x轴平行，则线段AB 的长为 . 4.(2024·邢台期中)设计院按实际情况建构平面直角坐标系，并标注A，B，C三镇的坐标，如图所示(单位：km)，有一条笔直的河流经过A，B两镇，现计划修建一条从 C 镇到河流的最短公路l，并在l上建一个通讯站D，使D到B，C 两镇的距离相等，则D 的坐标为 . 5.在平面直角坐标系中，点B(x，y)在第二象限，且满足|x|+|y|=3. (1)当x=-1时,求y的值. (2)求满足条件的所有 B 点与坐标轴围成的图形面积. 6.新题型新定义(2024·济宁期中)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点 A 和点 B的关联值[A，B]如下：若O，A，B在一条直线上,[A,B]=0;若O,A,B不在一条直线上, 已知点A 坐标为(4,0),点 B 坐标为(0,4),回答下列问题： (1)[A,B]= ; (2)若[P,A]=0,[P,B]=1,则点 P 坐标为 ; (3)若点A 和点 B 的关联值满足[P,A]=[P,B],请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点 P形成的路径图形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 直接求图形的面积专题提优17 平面直角坐标系中图形面积的求法 1.(2025·西安期中)梯形AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图,已知AB=10,点A(0,a),B(b,0),C(b,8),其中a满足 (1)直接写出a= ; (2)求点 B,C 的坐标; (3)若在第二象限有一点 D(m,2),连接DA,DO,已知△ADO 的面积是△ABC 面积的一半,求点 D 的坐标. 类型二 分割法求图形的面积 2.(2024·包头中考改编)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点的坐标分别是O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0),求四边形OABC 的面积. 类型三 补形法求图形的面积 3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-1,3),点 B 的坐标为(-2,0),点 C 的坐标为(2,2),求三角形ABC 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 沿x轴或y轴运动的点的坐标规律探究专题提优18 与点的坐标变化有关的规律探究题 1.(2024·绥化中考)如图,已知 A₂(3,- ),A₃(4,0),A₄(6,0),A₅(7, ),A₆(9, ),A₇(10,0),A₈(11,- ),…,依此规律，则点A₂₀₂₄的坐标为 . 2.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m .其行走路线如图所示，第1次移动到A₁，第2次移动到A₂,…,第n次移动到 An,则△OA₂A₂₀₂₄的面积是 m². 类型二 绕原点呈“回”形运动的点的坐标规律探究 3.(潍坊中考改编)在平面直角坐标系中，点A₁从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为A₂(1,0),A₃(1,1),A₄(-1,1),A₅(-1,-1),A₆(2,-1),A₇(2,2),….若到达终点An(507,-506),则n的值为 . 4.(毕节中考)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A₁(1，1)；把点A₁向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A₂(-1,3);把点A₂向下平移3个单位,再向左平移3个单位,得到点A₃(-4,0);把点A₃向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A₄(0,-4);…;按此做法进行下去,则点A₁₀的坐标为 . 5.(朝阳中考)如图，动点 P 从坐标原点(0，0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1，0)，第2秒运动到点(1,1),第3秒运动到点(0,1),第4秒运动到点(0,2),…,则第2068秒点 P 所在位置的坐标是 . 类型三 与图形变换有关的点的坐标规律探究 6.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 A 的坐标是(a，b)，经过第1次变换后所得的点A₁的坐标是(a，-b)，则经过第2025 次变换后所得的点A₂₀₂₅的坐标是 . 7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3，0)，B(0,4),对△OAB 连续作旋转变换,依次得到 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 △₁,△₂,△₃,△₄,…,则△₉₉₉的直角顶点的坐标为 . 8.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA₁B₁C₁，依此方式，绕点 O 连续旋转2 025 次得到正方形 ,如果点A 的坐标为(1,0),那么点 B₂₀₂₅的坐标为 . 9.如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿如图所示方向运动，每当小球碰到正方形 DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为 P₁(-2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为 P₂，…，第n次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P₂₀₂₆的坐标是 . 类型四 新定义型 10.已知整点(横、纵坐标都是整数)P₀在平面直角坐标系内做“跳马运动”(即中国象棋“日”字型跳跃).例如在图①中，从点A 做一次“跳马运动”，可以到点 B，也可以到达点 C.设P₀做一次“跳马运动”到点 P₁，做第二次“跳马运动”到点 P₂，做第三次“跳马运动”到点P₃，…，如此依次进行. (1)若 P₀(1,0),则 P₁ 可能是下列的点 D(-1,2);E(-2,0);F(0,2). (2)已知点 P₀(4,2),P₂(1,3),则点 P₁的所有可能坐标为 . (3)若 P₀(0,0),则 P₁₂,P₁₃可能与 P₀重合的是 . (4)如图②,点 P₀(1,0)沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”，若P₀跳到 Q₁ 位置，称为做一次“正横跳马”；若P₀跳到 Q₂位置，称为做一次“正竖跳马”.当点 P₀连续做了a次“正横跳马”和b 次“正竖跳马”后，到达点Pn(14,11),求a+b的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一图形变换问题专题提优 19 直角坐标系中的几何问题 1.(2024·锦州期中)如图所示，把长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点 F 处，折痕为AE,且 EF=4,C 点坐标为(9,0).求 D 点坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点分别为O(0,0),A(2a,0),B(0,-a),线段EF 两端点分别为E(-m,a+1),F(-m,1)(2a>m>a);直线l∥y轴交x轴于P(a,0),且线段EF与 CD关于y轴对称,线段 CD 与 MN 关于直线l对称. (1)求点 N,M 的坐标(用含 m,a的代数式表示). (2)△ABO 与△MFE 通过平移能重合吗? 能与不能都要说明其理由.若能，请你写出一个平移方案.(平移的单位数用m，a表示) 类型二 存在性问题 3.在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点A的坐标是(a,-a),点B 的坐标是(b,c),且a,b,c满足 (1)若a为不等式2x+8≤0的最大整数解，判断点A 在第几象限，说明理由. (2)在(1)的条件下,求点 B 的坐标. (3)在(2)的条件下,若有两个动点 M(k-1,k),N(-3h+10,h),请探索是否存在以两个动点 M,N 为端点的线段 MN∥AB,且MN=AB，若存在，求M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图,已知点A(0,2),B(3,0). (1)在第二象限有一点P(m， ),请用含 m的 代 数 式 表 示 四 边 形 ABOP 的面积: . (2)在(1)的条件下，是否存在点 P，使四边形ABOP 的面积为△AOP 的面积的2倍?若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)若 C(3,4),在 x轴上确定一点 P,使△OCP 为等腰三角形，求出点 P 的坐标. 类型三 最值问题 5.在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有A，B两个村庄.若以公路为x轴建立平面直角坐标系，如图，已知A，B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车(看成点 P)在x轴上行驶. (1)汽车行驶过程中到A，B两村距离之和最小为多少? (2)汽车行驶过程中到A，B两村距离之差最大为多少? 类型四 新定义问题 6.新题型新定义【了解概念】 在平面直角坐标系xOy中,若P(a,b),Q(c,d),式子|a-c|+|b-d|的值就叫作线段 PQ 的“勾股距”，记作 同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”. 【理解运用】 在平面直角坐标系xOy中,A(2,3),B(4,2),C(m,n). (1)线段OA 的“勾股距’ (2)若点 C在第三象限，且 ,求dAc并判断△ABC 是否为“等距三角形”； 【拓展提升】 (3)若点 C 在 x轴上,△ABC 是“等距三角形”，请直接写出m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.观察下图.书店在小玲家北偏西30°方向距离800米处，书店应该在 ( )数学探究 用方向和距离确定位置 A.点A 处 B.点 B 处 C. 点 C 处 D.以上均可 2.某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示.例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示，按这种表示方式，南偏东30°方向78千米的位置，可用代码表示为 . 3.有一张地图，图上有A，B，C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C 地在A 地的北偏东30°方向上，在 B 地的南偏东45°方向上，你能确定C地的位置吗? (1)画出确定C地位置的图示方法，保留作图痕迹； (2)画出 C 地到直线AB 的最短距离路线图，保留作图痕迹. B. ·A 4.如图①，将射线 OX 按逆时针方向旋转β°角，得到射线 OY，如果点 P 为射线 OY 上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点 P在平面内的位置，并记为P(a，β)，例如，图②中，如果OM=8,∠XOM=110°,那么点 M 在平面内的位置记为 M(8，110)，根据图形，解答下面的问题： (1)如图③，如果点 N在平面内的位置记为N(6，30),那么ON= ,∠XON= ; (2)如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5,30),B(12,120),试求A,B 两点之间的距离并画出图形； (3)如图④,点A,点 B 在射线 OX 上,点A,B在平面内的位置分别记为(a,0),(2a,0),点A，E，C在同一条直线上，且OE=BC.用等式表示∠OEA 与∠ACB 之间的数量关系，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 新趋势项目式学习综合与实践 设置“绿波带”交通控制方案 素材：“绿波带”是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题.当车辆驶入“绿波带”后，若以一定速度行驶，则到达前方各路口时会遇到绿灯，可节约能源和提高通行效率. 任务1：用“不等式”解决绿波问题. (1)如图①是绿波路段的一部分，该路段限速60 km/h,AB间的距离为1 000 m,在路口 B 处绿灯时间为30 s,小车过路口A 后,以36 km/h 的速度匀速行驶1m in后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B 路口，则小车行驶速度v的取值范围为 . 任务2：用“图象”解决绿波问题. (2)小亮爸爸行驶在最高限速 80 km/h 的路段上，某时刻的导航界面如图②所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s、60s. ①若小亮爸爸行驶的车速为72 km/h，用横轴表示时间，纵轴表示各路口的位置，建立如图平面直角坐标系，请在坐标系中画出小亮爸爸行驶运动的图象和各路口绿灯时间的图象，并标出小亮爸爸到达各路口时的时间(t≤110s). ②由图象判断此时小亮爸爸 (填“是”或“否”)能以72 km/h 的速度匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过). ③若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口，则车速v(km/h)的取值范围应为多少?试结合图象分析并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第4章平面直角坐标系 学科网（北京）股份有限公司 4.1点的位置与坐标系 第1课时 认识平面直角坐标系 1. B 2. D 3. D 4.(3,-5) 归 纳总结 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值. 5.(1)-1 (2)2 6.(1)二 (2)二 7.(1)如图所示. (2) 如图, 作 DE ⊥x 轴,垂足为 E,则, 8. B解析：由作图可知，点N在∠AOB的平分线上，两弧交于第二象限的点N，∴点N的横坐标与纵坐标互为相反数，∴2-n+2n-6=0，∴n=4,故选 B. 9. B 解析:∵点A(2+a,0)在点B(2-a,0)的右侧,∴2+a>2-a,解得a>0，记边AB，BC，AC所围成的区域(含边界)为区域M，则落在区域M的横、纵坐标都为整数的点有4个，∵点A，B，C的坐标分别是(2+a,0),(2-a,0),(2,1),∴区域M的内部(不含边界)没有横、纵坐标都为整数的点，∴已知的4个横、纵坐标都为整数的点都在区 域M 的边界上.∵点C(2，1)的横、纵坐标都为整数且在区域M 的边界上，∴其他的3个点都在线段AB 上，如图， 解得1≤a<2.综上所述,a的取值范围为1≤a<2.故选 B. 10.(1)7 解析:由AB∥x轴可得3=n,即点A的坐标为(6,3),点B的坐标为(-1,3),∴线段AB 的长度为7. (2)6 解析:∵AC∥y轴,∴x=-3.根据垂线段最短,当BC⊥AC于点C 时,点B到AC的距离最短,即BC的最小值=3-(-3)=6. 技法点拨 若AB∥x轴,则A,B两点的纵坐标相等;若AB∥y轴,则A,B 两点的横坐标相等. 11.一 解析:①当m-3>0,即m>3时,-2m<-6,4-2m<-2,所以点P(m-3,4-2m)在第四象限;②当m-3<0,即m<3时,-2m>-6,4-2m>-2,点 P(m-3,4-2m)可以在第二或第三象限.综上所述,点P 不可能在第一象限. 12.(-1,0) 解析:∵AB∥EG∥x轴,BC∥DE∥HG∥AP∥y轴,且A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),∴AB=2,BC=AP=2,CD=HP=2,DE=HG=2,EF=GF=3,∴绕“凸”一圈,线长20个单位长度,∵2 024÷20=101……4,AB+BC=4,∴细线另一端在C点，∴细线另一端所在位置的点的坐标是(-1，0). 13.(1)令2m+4=0,解得m=-2,∴点P 的坐标为(0,-3). (2)令m-1=0,解得m=1,∴点P的坐标为(6,0). (3)令2m+4=m-1或2m+4+m-1=0,解得m=-5或m=-1.当m=-5时,2m+4=-6,m-1=-6,则P(-6,-6);当m=-1时,2m+4=2,m-1=-2,则P(2,-2).∴点P的坐标为(-6,-6)或(2,-2). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)令m-1=-3,解得m=-2∴点P 的坐标为(0,-3). (5)令m-4=2m+4,解得m=-8.∴点P 的坐标为(-12,-9). (2)AB=|5-(-1)|=6. (3)△ABC是直角三角形.理由:∵ 是直角三角形. 第2课时 建立合适的平面直角坐标系 1. C 2. A 3. A 4.(-2,-5) 5.(0,0) 6.(1)建立平面直角坐标系如图： (2)由坐标系得,黑棋③坐标为(-1,2),白棋④坐标为(2,2). (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，这一步黑棋的坐标为(3,-2)或(-2,3). 7. A 解析:如图所示,过点C作CD⊥x轴于 D,过点A作AE⊥x轴于 E,则∠AEO=∠ODC=90°,∴ ∠OAE+∠AOE=90°.∵ 四边形 OABC是正方形,∴ OA = CO = BA,∠AOC = 90°,∴∠AOE+∠COD=90°,∴ ∠OAE=∠COD.在 △AOE 和 △OCD 中,∴△AOE≌△OCD(AAS),∴AE=OD,OE=CD.∵点A的坐标是(-3,1),∴OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,∴C(1,3).故选 A. 8. A 解析:由题可得,OC=6=OD,BC=8,∴在Rt△BOC中,BO=10,∴BD=10-6=4.设 CE=x,则DE=x,BE=8-x.∵∠ECO=∠EDO=∠BDE=90°,∴ 在 Rt△BDE中, 即 解得x=3,∴E(3,6). 9.(3,240°) (答案不唯一) 10.(6077,2) 解析:第一次 P₁(5,2),第二次 P₂(8,1),第三次P₃(10,1),第四次 P₄(13,2),第五次 P₅(17,2)······发现点 P在正方形中的位置4次一个循环.∵2025÷4=506……1,∴点 P2025的纵坐标与点 P₁的纵坐标相同,为2,横坐标为5+12×506=6077,∴ P₂025(6077,2). 11.(1)建立平面直角坐标系并描出A，B两村的位置，如图所示. A(0，1),B(4,4).(坐标系的位置不唯一) (2)如图，作点A 关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点 P，则点 P 即为水泵站的位置(两点之间线段最短).PA+PB=PA'+PB=A'B，A'B即为所用水管的最短长度.过B，A'分别作x轴、y轴的垂线交于点E.∵ 点A的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(4,4),∴点A'的坐标为(0,-1).∵ A'E =4,BE = 5,∴ 在 Rt△A'BE中,A'B = 故所用水管的最短长度为 千米. 12.(1)(4,6) (1,6) 解析:∵a,b满足 -4+|b-6|=0,∴a-4=0,b-6=0,解得a=4,b=6,∴点B的坐标是(4,6).∵点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，∴2×3.5=7.∵OA=4,OC=6,∴当点 P 移动3.5秒时,在线段CB上,离点C 的距离是7-6=1,∴点 P 的坐标是(1,6). (2)由题意可得，在移动过程中，当点 P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况. 第一种情况,当点 P 在OC上时,点 P 移动的时间是 4÷2=2(秒);第二种情况,当点P 在BA上时,点 P 移动的时间是(6+4+2)÷2=6(秒).故在移动过程中，当点 P到x轴的距离为4个单位长度时， 点P移动的时间是2秒或6秒. (3)如图①所示,∵△OBP 的面积为1( 即 4×OP=10,解得OP=5,∴此时点P移动的时间是 秒. 如图②所示，∵△OBP的面积为1 即 PB=10,解得 此时点 P 移动的时间是 秒.如图③所示,∵ △OBP 的面积为10 即 PB=10,解得BP=5,∴此时点P移动的时间是 秒. 如图④所示,∵ △OBP 的面积为110,∴ 即 OP=10,解得 此时点 P移动的时间是 秒.综上所述，点P移动的时间是 秒或 秒或 秒或 秒. 4.2图形变换与坐标变换 第1课时 平移与坐标变化 1. C 2. C 3.(1)(3,4) (2)(0,-1) 4.-1 解析:∵线段CD由线段AB 平移得到,且A(1,0),C(-2,1),B(4,m),D(a,n),∴m-n=0-1=-1. 5.(1)(-1,2) (2)如图,△A'B'C'即为所求. (3)(m+2,n-3) 6. D 解析:∵A(2m-4,n-3)向右平移10个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到点B,∴B(2m+6,n-5).∵B点位于第四象限,又∵m<0,n>2,m和n都是整数,∴m可能是-1,-2,n可能是3,4,∴C(m,n)可能是(-1,3),(-1,4),(-2,3),(-2,4).故选 D. 7. B 解析:如图,∵OA=OB=4,∠AOB=120°,点 C 为OB 的中点,∴∠B=∠A=30°,OC=2,∵∠AOD=90°,∴∠COD=30°,∴ CD= 点 D 的坐标为(0, ).将△OCD 向右平移,当点C的对应点 C'落在AB边上时,O'C'=OC=2,可得∠C'O'A=∠AOB=120°,∵∠A=30°,∴∠O'C'A=∠A=30°,∴O'C'=O'A=2,∴OO'=4-2=2,∴点 D 的对应点 D'的坐标为(2, ).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8.(1,3) 解析:∵点A 的坐标为(-1,3),四边形AEFB的面积为6,∴平行四边形AEFB的高为3,底为6÷3=2,即△OAB 沿x轴向右平移到△DEF，平移的距离为2，将点A(-1，3)向右平移2个单位长度，所得到的点 E 的坐标为(1，3). 9.(1,4)解析:由题 可 知,由点 A 到 A',可得方程组 由 B 到 B'可得 方程组 解 得 设点 F 的坐标为(x，y)，则F'的坐标为 由点 F'，F重合，得方程组 解得 即F(1,4). 10.(1)(2,0) (1,2) (2)线段AB进行“a型平移”后,则A'(1+a,1-a),B'(3+a,1-a),当线段A'B'与x轴有公共点,即1-a=0,解得a=1;当线段A'B'与y轴有公共点,即1+a≤0,3+a≥0,解得-3≤a≤-1,故a 的取值范围为-3≤a≤-1或a=1. (3)∵点C(4,0),D(6,-2),将线段CD进行“1 型平移”后得到的对应线段为C'D',∴C'(5,-1),D'(7,-3).∵A(1,1),B(3,1),O(0,0 ①当点M在y轴上时,设M(0,a),则 解得a=-1,∴M₁(0,-1); ②当点 M在x轴上时,设M(b,0),则 1)= |b-4|=5,解得b=-1或b=9,∴M₂(9,0),M₃(-1,0); ③当点 M在y轴上且在x轴上方时，设M(0，m)，则 解得 m=9,∴ M₄(0,9).综上,点 M 的坐标为M₁(0,-1),M₂(9,0),M₃(-1,0),M₄(0,9). 第2课时 轴对称与坐标变化 1. C 2. D3.(1)(-2,-1) (2,-1) (2)(2,-1) 4.-15. D6.(1)如图,y轴为所求,B(2,-4). (2)如图,△A'B'C'为所求,C'(-4,-3). (3)如图，线段AA'与线段CC'关于x轴对称. 7. A 解析:∵a-m=4,∴a-4=m.又∵b+n=0(b≠0),∴b=-n,∴把点A 向左平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称.故选 A. 8. 解析:∵点B(1,0)与点B'关于y轴对称,∴点B'(-1,0).∵直线m过点B(1,0)且与y轴平行,∴作直线m如图所示.∵点C(4,2)与点 C'关于直线m对称，∴点 9.(1)(-3,4) (4,-3) (2)M(-4，1)解析：∵点A 在第三象限，∴一次反射点在第四象限,二次反射点在第二象限,∴点M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)中可以是点A 的二次反射点的是M(-4，1). (3)如图,∵ 与x轴的夹角为20°或70°，根据对称性可知，OA 与x轴所夹锐角的度数为20°或70°. 10.(1)(-2,-1) (2)①(4,-5)(6,-3) (2,-3) ②如图,∵M(1,-1),∴两条对称轴分别为直线x=1 和直线y=-1,点P(4,n),Q(4,n+1)关于直线x=1的对称点分别为P₁(-2,n),Q₁(-2,n+1),点P₁(-2,n),Q₁(-2,n+1)关于直线y=-1的对称点分别为P₂(-2,-2-n),Q₂(-2,-3-n),∴P₂Q₂在直线x=-2上，若P₂Q₂位于△ABC内部，则需要满足 第3 课时 点的运动规律的坐标表示 1. B 2. D 3.(1)4 (2)2或8 4.(-1,-7) 解析:连接AC,BC,∵C(-1,-17),A(-1,-1),B(7,-1),∴CA⊥AB,AC=-1-(-17)=16(km),AB=7-(-1)=8(km),∴如图，直线AC 即为直线l，作直线 DE垂直平分BC，直线 DE 交直线l于点D,则D到B,C的距离相等.连接BD,设CD=DB= xkm,∵AC=16km,CD= xkm,∴AD=AC-CD=(16-x) km.∵AB=8k m,CA⊥AB,∴AB²+AD²=BD²,即 解得x=10,即CD=10 km,∴点 D 的纵坐标为-17+10=-7,∴D(-1,-7). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5.(1)∵点B(x,y)在第二象限,∴x<0,y>0.∵ |x|+|y|=3,∴y-x=3.当x=-1时,y=2. (2)可得所有点B 与坐标轴围成的图形为如图所示的三角形，其面积为 6.(1)8 或 解析:∵[P,A]=0,∴点P在x轴上.∵[P,B]=1,∴S△POB=1.设P(t,0), 解得 或 (3)设点 P 坐标为(x,y),则[P,A]=2|y|,[P,B]=2|x|, ∴|x|=|y|,∴y=x或y=-x,即为第一、三象限和第二、四象限的角平分线.画图如下： 1.(1)6 (2)由(1)得,a=6,∴A(0,6),∴OA=6,∴ OB = √AB²-OA²= 即B(8,0),C(8,8). (3)∵B(8,0),C(8,8),∴BC=8,∴S△ABC= ×8×8=32.∵S△ADO= O的面积是△ABC 面积的一半， D在第二象限， 点D的坐标为 2.如图,过A 作 AM⊥OC 于 M,过B 作 BN⊥OC 于 N,∵O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0),∴OM=1,AM=2,ON=BN=3,CO=5,∴MN=ON-OM=2,CN=OC-ON=2,∴四边形 OABC 的面积为 3.如图,因为A(-1,3),B(-2,0),C(2,2),所以D(2,0),E(-2,3),F(2,3),所以BD=2-(-2)=4,BE=3,AE=1,AF=3,FC=1,CD=2,所以 S长方形BDFE-S△ABE-S△AFC-S△BDC=4×3- ×3×1- 专题提优 18 与点的坐标变化 有关的规律探究题 1.(2891,- ) 解析:∵A₁(1,- ),A₂(3,- ),A₃(4,0),A₄(6,0),A₅(7, ),A₆(9, ),A₇(10,0),A₈(11,- ),…,∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环,A₇n的坐标为(10n,0),A₇n+1(10n+1,- ).∵2024÷7=289……1,∴A₂0₂₃的坐标为(2890,0). ∴A₂024的坐标为(2891,- ). 2.506 解析：取坐标轴的单位长度为1m .根据题意，可知点A₁，A₂，A₃,A₄,A₅,A₆,A₇,A₈的坐标分别为(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(3,0),(3,1),(4,1),(4,0),结合点的坐标特点,易知动点的坐标每4个完成一次循环,即点 A4n-3,A₄n-2,A₄n₋₁,A₄n的坐标分别为(2n-1,0),(2n-1,1),(2n,1),(2n,0).∵2 024=4×506,∴点A₂₀₂₄的坐标为(2×506,0),即点 A₂₀₂₄的坐标为(1 012,0). .根据题意,可知△OA₂A₂₀₂₄的高为 1 m,∴△OA₂A₂024日的面积 3.2026 解析:∵(507,-506)是第四象限的点,∴An(507,-506)落在第四象限.由题得在第四象限的点为A₆(2,-1),A₁₀(3,-2),A₁₄(4,-3),…, An(507,-506).∵6=4×|-1|+2,10=4×|-2|+2,14=4×|-3|+2,18=4×|-4|+2,…,∴n=4×|-506|+2=2026. 4.(-1，11)解析：可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面第四个点的横坐标不发生变化，纵坐标每次向下平移4个单位，∴点A₈的坐标为(0,-8),∴点A₈到A₉的平移方式与O到A₁的平移方式相同(只指平移方向)，即A₈向右平移9个单位，向上平移9个单位到A₉,∴A₉的坐标为(9,1),同理A₉到A₁₀的平移方式与A₁到A₂的平移方式相同(只指平移方向)，即A₉向上平移10个单位，向左平移10个单位到A₁₀,∴A₁₀的坐标为(-1,11). 5.(45,43) 解析:由题意分析可得,动点 P 第(2×4)秒运动到(2,0),动点 P 第(4×6)秒运动到(4,0),动点 P 第(6×8)秒运动到(6,0),…,以此类推,动点P 第2n×(2n+2)秒运动到(2n,0),∴动点 P第2024=44×46秒运动到(44,0).2068-2 024=44,∴按照运动路线,点P 到达(44，0)后，向右移动一个单位长度，然后向上移动43个单位长度,∴ 第2068秒点 P 所在位置的坐标是(45,43). 6.(a,-b) 7.(3996,0) 解析:∵点A(-3,0),B(0,4),∴ 由题图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12.∵999÷3=333,∴△₉₉₉的直角顶点是第333个循环组的最后一个三角形的直角顶点.∵ 333×12=3 996,∴△₉₉₉的直角顶点的坐标为(3996,0). 8.(0, ) 解析:如图,∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1).连接OB，由勾股定理得，( 由旋转得， ·将正方形OABC 绕点 O 逆时针旋转45°后得到正方形OA₁B₁C₁,，相当于将线段OB 绕点 O 逆时针旋转45°，依次得到 ), 发现是8次一循环,2025÷8=253……1,∴点B₂₀₂₅的坐标为(0, ). 9.(-2，4)解析：如图，根据反射角等于入射角画图，可知小球从P₂反弹后到P₃(0,3),再反弹到P₄(-2,4),再反弹到P₅(-4,3),再反弹到P(0,1)之后,再循环反弹,每6次一循环.∵2026÷6=337……4,∴点 P₂026的坐标是(-2,4). 10.(1)F(0,2) (2)(2,1)或(3,4) 解析:P₀至P₂经过两次运动,则有2种情况,一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位,纵坐标变化2个单位,∴P₁可能为(2,1)或(3,4). (3)P₁₂ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)做“正横跳马”时，横坐标增加2，纵坐标增加1，做“正竖跳马”时，横坐标增加1，纵坐标增加2， 解得 专题提优19 直角坐标系中的几何问题 1.∵EF=4,∴BE=EF=4.∵C点坐标为(9,0),∴EC=9-4=5,由勾股定理得,CF=3. 在直角三角形ABC中,设AB=x,由折叠可知AF=AB=x,,则AC=x+3，由勾股定理得， 解得：x=12,∴AB=12=CD,∴D点坐标为(9,12). 2.(1)∵ EF 与CD关于y轴对称,EF 两端点分别为E(-m,a+1),F(-m,1),∴C(m,a+1),D(m,1).设CD与直线l之间的距离为x,∵CD与MN关于直线l对称，l与y轴之间的距离为a，∴MN与y轴之间的距离为α-x.∵x=m-a,∴M的横坐标为a-(m-a)=2a-m,∴M(2a-m,a+1),N(2a-m,1). (2)能重合.理由:∵EM=2a-m-(-m)=2a=OA,EF=a+1-1=a=OB.又∵EF∥y轴,EM∥x轴,∴∠MEF=∠AOB=90°.易证△ABO≌△MFE.∴ △ABO与△MFE 通过平移能重合.平移方案:将△ABO 向上平移(a+1)个单位后，再向左平移m个单位，即可重合.(平移方案不唯一) 3.(1)点A 在第二象限.理由：∵a为不等式2x+8≤0的最大整数解，解不等式得x≤-4,∴a=-4.∵ 点A的坐标是(a,-a),∴A(-4,4),∴点A 在第二象限. (2)∵a,b,c满足 由(1)可得a=-4,∴方程组为 解得 点 B 的坐标是(b,c),∴点 B 的坐标为(-4,7). (3)存在.∵M(k-1,k),N(-3h+10,h),MN∥AB,且MN=AB,又A(-4,4),B(-4,7),∴AB=3,且AB∥y轴, 或 解得 或 . M(4,5),N(4,2)或 4.(1)3-m 解析:∵A(0,2),B(3,0),∴OA=2,OB=3,∴S△AOB= 在第二象限，. (2)存在.∵S四边形ABOP=2S△AOP,∴3-m=2(-m),∴m=-3,∴存在点P，使得四边形ABOP的面积为△AOP 面积的2倍， (3)∵C(3,4),∴ ，当OC=OP=5时,点 P 的坐标为(5,0)或(-5,0);当 CO=CP 时,过点 C 作 CH⊥OP 于点 H,∴OH=HP=3,∴点 P的坐标为(6,0);当PC=PO时,设点 P 的坐标为(t,0),∴ 解得 . 点 P的坐标为( ,0)..综上,点P 的坐标为(5,0)或(-5,0)或(6,0)或( ,0). 5.(1)如图①,作点A 关于x轴的对称点A'(2,-2),连接A'B,交x轴于点P.则汽车行驶过程中到A，B两村距离之和最小为A'B的长. 延长A'A，过点B作A'A的垂线，交A'A的延长线于点C，易得C点坐标为(2,4),∴A'C=6,BC=5,∴在 Rt△BCA'中, 则汽车行驶过程中到A，B两村距离之和最小为 (2)如图②，延长BA，交x轴于点 P，则此时汽车到A，B两村距离之差最大，为AB 的长. 过点A作x轴的平行线，过点B作x轴的垂线，两线交点为 D，易得D点坐标为(7,2),∴AD=5,BD=2, ∴在Rt△BDA 中, 则汽车行驶过程中到A，B两村距离之差最大为 6.(1)5 (2)∵dAB=|2-4|+|3-2|=2+1=3,∴2dAB=6.∵点 C在第三象限，∴m<0,n<0.∴d₀c=10-m|+|0-n|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n). ，即m+n=-6.∴dAc=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11,dBc=|4-ml+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12.∵3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11,∴△ABC不是“等距三角形”. (3)m的取值范围是 m≥4且m≠8.解析:点 C 在x轴上时,点C(m,0),则(dAC=12-ml+3,dBC=|4-ml+2.①当m<2时, 3=5-m,dBC=4-m+2=6-m.若△ABC是“等距三角形”,∴5-m+6-m=11-2m=3,解得m=4(不合题意).又∵5-m+3=8-m≠6-m,6-m+3=9-m≠5-m,∴当m<2时,△ABC不是“等距三角形”. ②当2≤m<4时,dAc=m-2+3=m+1,dBc=4-m+2=6-m,若△ABC是“等距三角形”,则m+1+6-m=7≠3,6-m+3=m+1,解得m=4(不合题意).又由m+1+3=6-m,解得m=1(不合题意),∴当2≤m<4时,△ABC不是“等距三角形”. ③当m≥4时,dAc=m+1,dBc=m-2,若△ABC 是“等距三角形”,则m+1+m-2=3,解得 m=2(不合题意).又∵m+1+3=m+4≠m-2(舍去),m-2+3=m+1恒成立,∴当m≥4时,△ABC是“等距三角形”.当m=8时，点A，B，C在同一直线上，无法构成三角形，∴m≠8.综上所述，当△ABC 是“等距三角形”时，m的取值范围是m≥4且m≠8. 数学探究 用方向和距离确定位置 1. B 2.050078 解析：南偏东30°方向，在钟面上的时刻为5：00，因而代码前4位是0500，78 千米的位置，则代码的后两位是78，则代码是050078. 3.(1)A 的北偏东30°方向线与B 的南偏东45°方向线的交点就是所求 C 地，如图所示. (2)过点 C 作AB 的垂线,交AB 于点 D,如图所示.则CD的长就是C 地到直线AB的最短距离. 4.(1)6 30° (2)如图①所示,∵A(5,30),B(12,120),∴ ∠BOX= 120°,∠AOX = 30°,∴∠AOB = 90°. ∵OA=5,OB=12,∴在 Rt△AOB中, (3)∠OEA=∠ACB.证明:如图②,过点O 作BC 的平行线交 CA 的延长线于点 F,∴∠ACB=∠F.∵ 点A,B在平面内的位置分别记为(a,0),(2a,0),∴OB = 2OA,∴OA = AB.在 △AOF 和△ABC 中, ∴△AOF≌△ABC(AAS),∴OF=BC.∵ OE=BC, ∴OE=OF,∴∠F=∠OEA.又∵∠ACB=∠F,∴∠OEA=∠ACB. 综合与实践 设置“绿波带” 交通控制方案 (1)48 km/h≤v≤ 60 km/h 解析:根据题意得 解得48≤v≤60,∴小车行驶速度v的取值范围为48km/h≤v≤60km/h.(2)①作图如下，其中小亮爸爸到达第一个路口的时间为24s，到达第二个路口的时间为44s： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②是 解析：由图象可得小亮爸爸经过两个路口时均为绿灯，故能通过. ③由图象可得72km/h为全程匀速“绿波”通过这两个路口的最大速度，若速度大于72km/h，则经过第二个路口时为红灯.且由图象可得，第一个路口的绿灯持续到32s，若此时小亮爸爸通过第一个路口，则为全程匀速“绿波”通过这两个路口的最小速度，此时的速度为480÷32×3.6=54(km/h).故小亮爸爸车速v的取值范围应为54 km/h≤v≤72km/h. $