22.3实际问题与二次函数知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 精选题练习 一、单选题 1．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 2．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 5．位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 6．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 8．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒． 10．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售单价（为偶数）提高 元． 11．已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为 时，获得的利润最大，最大利润为 元． 12．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 13．跨生物学学科  已知某种生物酶的活性值y（单位：IU）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示．当温度到达该种酶的最适宜温度时，该种酶的活性值为 IU． 14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 15．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ． 16．如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 三、解答题 17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 18．A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 19．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 20．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 21．投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 22．综合与实践 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 水面高度的变化量 无 （1）计算表中每隔水面高度观察值的变化量，则______，_______； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系； （2）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足（2）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小； （3）计算（2）中得到的函数解析式的w值； （4）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间； （5）请你简要写出时间刻度的设计方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D A D C D 1．C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 2．A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，设抛物线的解析式为，又由题意，抛物线过点，从而求出，可得抛物线的解析式为，再由一个孔的水面宽度为12时，可令，求出y即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 从18和72可以看出对称轴约为， 从18和54可以看出对称轴约为， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了二次函数的应用，当得，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 10．8或10 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设销售价为x元，利润为y元．每件利润为元，销售量为根据利润=每件利润销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；再根据函数关系式，利用二次函数的性质求最大利润. 【详解】解：设销售单价为x元，利润为y元． 依题意，得， ∴当时，y取最大值，最大值为605． 销售单价为偶数， 为18或20． 当时，；当时，， 为18或20时，y的值相同， ∴应将销售单价提高8元或10元． 故答案为：8或10． 11． 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 【详解】解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得， ∵， ∴当时，烟花可以达到的最大高度是米， 故答案为：． 13．240 【分析】本题考查了二次函数的应用． 将二次函数化为顶点式，进而判断即可． 【详解】解：， 当时，y有最大值240． 故当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为． 故答案为：240． 14． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 15．8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：8． 16． 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 17．(1) (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键． （1）定价为每件元，比原价60元上涨了元，每涨价1元少卖出10件，所以少卖出的件数为件，原销量为300件，因此售出数量等于原销量减去少卖出的件数； （2）利润等于每件的利润乘以售出数量．每件的利润为定价元减去进价40元，即元；售出数量为件．因此利润可表示为，展开后得到二次函数，根据二次函数的性质，当时，函数取得最大值； 【详解】（1）， 即； （2）设利润为元， 则， 对于二次函数，其中， 对称轴为， 将代入， 得． ∴每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元． 18．(1)与的函数表达式为 (2)当时，周销售利润最大，最大利润为元； 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． （1）设，把和代入可得解析式． （2）根据利润（售价进价）数量，得，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大值． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）由题意得：， ， 当时，周销售利润最大，最大利润为元． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．(1) (2)，w的最大值为338；最小值为240 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到答案； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，即可求得w；由二次函数的性质可求得w的最大值和最小值． 【详解】（1）根据题意，得． 与x之间的函数关系式为，其中且为正整数. （2）根据题意，得,其中且为正整数. ，抛物线的开口向下． 当时，w取最大值，． 抛物线的对称轴为直线，且， ∵， 当时，取最小值，． 与x之间的函数关系式为，w的最大值为338，最小值为240． 21．(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 22．（1），；（2）；（3）；（4）；（5）见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格计算即可得解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意列式计算即可得解； （4）设，表示出，再结合二次函数的性质即可得解； （5）根据（4）中计算的结果设计方案即可． 【详解】解：（1），； （2）设， ∵时，；时，， ∴， 解得：， ∴； （3）由题意可得：； （4）设， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小，为； （5）将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $